2020-2021学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

这是一份2020-2021学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 4}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝（ ）
A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{3}C.{1, 2}D.{0, 4}

2. 下列函数中，既是奇函数又在(0, +∞)上是增函数的是（ ）
A.f(x)＝2−xB.f(x)＝x3C.f(x)＝lgxD.

3. 已知点A(1, −1)，B(3, 4)，则＝（ ）
A.B.5C.D.29

4. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数y=ex的图象关于直线y=x对称，则f(x)=( )
A.ln(x−1)B.lnx−1C.ln(x+1)D.lnx+1

5. 已知矩形ABCD中，，若，则＝（ ）

A.B.C.D.

6. 2020年11月5日−11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区．现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ）
A.B.C.D.

7. 已知2x＝3，，则2x+y＝（ ）
A.3B.4C.8D.9

8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90, 100]，样品数据分组为[90, 92),[92, 94),[94, 96),[96, 98),[98, 100]．已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（ ）

A.45B.60C.75D.90

9. 已知四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是矩形”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10. 已知函数f(x)＝x2−k．若存在实数m，n，使得函数f(x)在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A.(−1, 0]B.(−1, +∞)C.(−2, 0]D.(−2, +∞)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

已知命题p:∀x∈(2, +∞)，x2>4，则￢p为________．

已知函数y＝3x，则函数在区间[1, 3]上的平均变化率为________．

已知x>1，则的最小值为________，当y取得最小值时x的值为________．

已知向量a→=(1, k)，b→=(2, 2)，且a→+b→与a→共线，那么k=________．

某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的75%分位数为________；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为________．


已知函数f(x)＝．
(Ⅰ)若a＝1，则函数f(x)的零点是________；
(Ⅱ)如果函数f(x)满足对任意x1∈(−∞, a)，都存在x2∈(a, +∞)，使得f(x2)＝f(x1)，称实数a为函数f(x)的包容数．
在给出的①；②1；③三个数中，为函数f(x)的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

已知全集U＝R，A＝{x|x≤a−2或x≥a}，B＝{x|x2−5x<0}．
(Ⅰ)当a＝1时，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩B；
(Ⅱ)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．

已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3＝0有两个不等实根．
(Ⅰ)求实数m的取值范围；
(Ⅱ)设方程的两个实根为x1，x2，且(x1+x2)2−(x1+x2)−12＝0，求实数m的值；
(Ⅲ)请写出一个整数m的值，使得方程有两个正整数的根．（结论不需要证明）

某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：
(Ⅰ)试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；
(Ⅱ)若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；
(Ⅲ)试判断该班男生锻炼时长的方差s12与女生锻炼时长的方差s22的大小．（直接写出结果）

已知函数f(x)＝lga(a>0且a≠1)．
(Ⅰ)试判断函数f(x)的奇偶性；
(Ⅱ)当a＝2时，求函数f(x)的值域；
(Ⅲ)若对任意x∈R，f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．

已知集合Sn＝{X|X＝(x1, x2, ..., xn), xi∈{k, 1}, i＝1, 2, ..., n}(n≥2)．对于A＝(a1, a2,…,an)，B＝(b1, b2,…,bn)∈Sn，定义：A与B的差为A−B＝(|a1−b1|, |a2−b2|…,|an−bn|)；A与B之间的距离为．
(Ⅰ)当k＝2，n＝5时，设A＝(1, 2, 1, 1, 2)，B＝(2, 1, 1, 2, 1)，求A−B，d(A, B)；
(Ⅱ)若对于任意的A，B，C∈Sn，有A−B∈Sn，求k的值并证明：d(A−C, B−C)＝d(A, B)．
参考答案与试题解析
2020-2021学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】
∵ A＝{0, 1, 5, 4}，2，4}，
∴ A∩B＝{1, 2}，
2.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由基本初等函数的性质逐一判断即可．
【解答】
对于A，f(x)＝2−x为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝x3为奇函数，且在R上是增函数；
对于C，f(x)＝lgx为非奇非偶函数；
对于D，为奇函数，+∞)上是减函数．
3.
【答案】
C
【考点】
两点间的距离公式
向量的概念与向量的模
平面向量的坐标运算
【解析】
直接利用两点间距离公式求解即可．
【解答】
点A(1, −1)，7)，
所以．
4.
【答案】
C
【考点】
反函数
【解析】
与函数y=ex的图象关于直线y=x对称的函数为y=lnx，只需把y=lnx向左平移一个单位长度即可．
【解答】
解：由题意可知与函数y=ex的图象关于直线y=x对称的函数为y=lnx，
只需把y=lnx向左平移一个单位长度得到y=ln(x+1)，
∴ f(x)=ln(x+1)，
故选：C
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量基本定理进行求解即可．
【解答】
＝++＝--+-+＝--，
6.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先求出基本事件总数，再求出选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区包含的基本事件个数，由此能求出选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率．
【解答】
现从“高档家用电器”、“智能家居”、“服务机器人”，
基本事件总数n＝＝10，
选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区包含的基本事件个数m＝＝4，
则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是P＝＝＝．
7.
【答案】
A
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
【解析】
利用指数式与对数式的互化求出x＝lg23，再由对数的运算法则能求出2x+y．
【解答】
∵ 2x＝3，，
∴ x＝lg23，
∴ 2x+y＝＝lg24＝3．
8.
【答案】
D
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由频率分布直方图求出样本中产品净重小于94克的频率，再由样本中产品净重小于94克的个数为36，求出样本单元数，再求出样本中净重大于或等于92克并且小于98克的频率，由此能求出样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数．
【解答】
由频率分布直方图得：
样本中产品净重小于94克的频率为：
(0.050+0.100)×2＝0.3，
∵ 样本中产品净重小于94克的个数为36，
∴ 样本单元数n＝＝120，
∵ 样本中净重大于或等于92克并且小于98克的频率为：
(0.100+5.150+0.125)×2＝2.75，
∴ 样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为：
0.75×120＝90．
9.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
平行向量（共线）
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】
必要性：因为，四边形ABCD为矩形⇒其对角线相等⇒”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件；
充分性：反例，四边形ABCD为等腰梯形时，，但四边形ABCD不是矩形，
即“”不是“四边形ABCD是矩形”的充分条件；
所以“”是“四边形ABCD是矩形”的必要不充分条件．
10.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
函数的值域及其求法
二次函数的图象
【解析】
求出函数f(x)在定义域上单调递增，由此建立方程，得到为方程x2−2x−k＝0的两个不相等的非负实数根，再由，求出k的范围．
【解答】
由函数f(x)＝x2−k，可知函数f(x)在区间[，
要使得函数f(x)在区间上的值域为，
只需，即，
所以为方程x2−4x−k＝0的两个不相等的非负实数根，
所以，解得−1即实数k的取值范围为(−1, 0]，
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【答案】
∃x∈(2, +∞)，x2≤4
【考点】
命题的否定
【解析】
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】
根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
所以命题p:∀x∈(2, +∞)，x2>4，则￢p为∃x∈(2，x2≤8．
【答案】
12
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
利用函数解析式求出区间两个端点的函数值，再根据平均变化率公式求出函数在区间[1, 3]上的平均变化率．
【解答】
因为y＝f(x)＝3x，且f(3)＝38＝27，f(1)＝3，
所以该函数在区间[1, 5]上的平均变化率为
＝＝＝12．
故答案为：12．
【答案】
3,2
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
可知x−1>0，然后将原函数变成，从而根据基本不等式即可求出原函数的最小值，并得出对应的x的值．
【解答】
∵ x>1，∴ x−1>7，
∴ ，当且仅当，
∴ 的最小值为8．
【答案】
1
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量共线定理即可得出．
【解答】
解：a→+b→=(3, 2+k)，
∵ a→+b→与a→共线，
∴ 3k−(2+k)=0，解得K=1．
故答案为：1．
【答案】
77.5,200
【考点】
茎叶图
【解析】
根据75%分位数的求法，结合题中数据，即可得到答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数．
【解答】
将男生成绩从小到大排列可得：64、76、78，且4×75%＝3＝77.5．
设高一年级学生总数为n，
因为用分层抽样的方法抽取10人中，男生有4人，
所以＝，解得n＝200．
【答案】
2,②③
【考点】
分段函数的应用
【解析】
(Ⅰ)把a＝1代入函数解析式，分段求解得答案；
(Ⅱ)由题意可得f(x1)的值域为f(x2)的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性求得值域，即可判断．
【解答】
当x≥1时，由3−|x|＝0．
∴ 若a＝1，则函数f(x)的零点是2(1)(2)由题意可得f(x1)的值域为f(x2)的值域的子集，
当a＝时，由x<​x−1∈(0，），
由x≥，得f(x)＝1−x∈(−∞，]，
而(0，）⊈(−∞，](2)当a＝6时，由x<1x−1∈(7, 1)，
由x≥1，f(x)＝4−x∈(−∞，
而(0, 1)⊆(−∞，满足题意（3）当a＝时，由x<​x−1∈(0，），
由x≥，得f(x)＝6−x∈(−∞，]，
而(5，）⊆(−∞，]．
综上可得函数f(x)的包容数是②③．
故答案为：(Ⅰ)2；(Ⅱ)②③．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【答案】
（1）当a＝1时，A＝{x|x≤−1或x≥5}2−5x<3}＝{x|0则∁UA＝{x|−3所以A∩B＝{x|1≤x<2}，A∪B＝{x≤−1或x>5}UA)∩B＝{x|2（2）若A∩B＝B，则B⊆A，
因为B＝{x|x2−4x<0}＝{x|0所以a−2≥5或a≤7，
解得a≥7或a≤0，
故实数a的取值范围为(−∞, 3]∪[7．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
(Ⅰ)先求出集合A和B，然后利用交集、并集、补集的定义求解即可；
(Ⅱ)将A∩B＝B转化为B⊆A，然后利用集合子集的定义列出不等关系，求解即可．
【解答】
（1）当a＝1时，A＝{x|x≤−1或x≥5}2−5x<3}＝{x|0则∁UA＝{x|−3所以A∩B＝{x|1≤x<2}，A∪B＝{x≤−1或x>5}UA)∩B＝{x|2（2）若A∩B＝B，则B⊆A，
因为B＝{x|x2−4x<0}＝{x|0所以a−2≥5或a≤7，
解得a≥7或a≤0，
故实数a的取值范围为(−∞, 3]∪[7．
【答案】
（1）由题意得：△＝4(m+1)4−4(m2−2)>0，
解得m>−2，
故m的取值范围是(−3, +∞)；
（2）由题意：x1+x2＝6(m+1)，
故(x1+x8)2−(x1+x5)−12＝0，
即4(m+8)2−2(m+3)−12＝0，
解得m＝1或m＝-，
由(Ⅰ)得：m>−2，故m＝3；
(Ⅲ)满足要求的m＝6，此时x1＝5，x2＝11．
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
(Ⅰ)根据根与系数的关系得到关于m的不等式，求出m的范围即可；
(Ⅱ)求出x1+x2＝2(m+1)，得到关于m的方程，解出即可；
(Ⅲ)写出满足条件的m的值即可．
【解答】
（1）由题意得：△＝4(m+1)4−4(m2−2)>0，
解得m>−2，
故m的取值范围是(−3, +∞)；
（2）由题意：x1+x2＝6(m+1)，
故(x1+x8)2−(x1+x5)−12＝0，
即4(m+8)2−2(m+3)−12＝0，
解得m＝1或m＝-，
由(Ⅰ)得：m>−2，故m＝3；
(Ⅲ)满足要求的m＝6，此时x1＝5，x2＝11．
【答案】
（1）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为：
＝＝6.5（小时）．
（2）从锻炼8小时的学生中有男生3人，设为a，b，c，设为e，f，
从锻炼8小时的学生中任选3人参加一项活动，
基本事件总数为10，
分别为：ab，ac，af，be，ce，ef，
选到男生和女生各1人包含的基本事件个数为6，
分别为：ae，af，bf，cf，
∴ 选到男生和女生各3人的概率P＝＝＝．
(Ⅲ)由统计表得，该班男生锻炼时长相对分散，
∴ 该班男生锻炼时长的方差s12与女生锻炼时长的方差s82的大小为s14>s22．
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(Ⅰ)利用加权平均数公式能求出这个班级女生在该周的平均锻炼时长．
(Ⅱ)从锻炼8小时的学生中有男生3人，女生2人，从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，分别求出基本事件总数和选到男生和女生各1人包含的基本事件个数，由此能求出选到男生和女生各1人的概率．
(Ⅲ)由统计表得该班男生锻炼时长相对分散，从而s12>s22．
【解答】
（1）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为：
＝＝6.5（小时）．
（2）从锻炼8小时的学生中有男生3人，设为a，b，c，设为e，f，
从锻炼8小时的学生中任选3人参加一项活动，
基本事件总数为10，
分别为：ab，ac，af，be，ce，ef，
选到男生和女生各1人包含的基本事件个数为6，
分别为：ae，af，bf，cf，
∴ 选到男生和女生各3人的概率P＝＝＝．
(Ⅲ)由统计表得，该班男生锻炼时长相对分散，
∴ 该班男生锻炼时长的方差s12与女生锻炼时长的方差s82的大小为s14>s22．
【答案】
（1）函数f(x)＝lga(a>6且a≠1)的定义域为R，
且f(−x)＝lga＝lga＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
（2）当a＝5时，f(x)＝lg2，
因为0<≤，所以lg7≤lg6＝−7，
所以函数f(x)的值域为(−∞, −1]．
(Ⅲ)若对任意x∈R，f(x)≥1恒成立​a≥lgaa恒成立，
当a>1时，则有，
因为0<≤，所以a<0；
当0因为4<≤，所以，
综上，实数a的取值范围是[．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
(Ⅰ)利用函数奇偶性的定义即可求解；
(Ⅱ)由对数函数的性质即可求解值域；
(Ⅲ)对a分类讨论，由对数函数的性质即可求解a的取值范围．
【解答】
（1）函数f(x)＝lga(a>6且a≠1)的定义域为R，
且f(−x)＝lga＝lga＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
（2）当a＝5时，f(x)＝lg2，
因为0<≤，所以lg7≤lg6＝−7，
所以函数f(x)的值域为(−∞, −1]．
(Ⅲ)若对任意x∈R，f(x)≥1恒成立​a≥lgaa恒成立，
当a>1时，则有，
因为0<≤，所以a<0；
当0因为4<≤，所以，
综上，实数a的取值范围是[．
【答案】
（1）A−B＝(|1−2|, |4−1|, |1−4|, 1, 0, 5, 1)，
d(A, B)＝​i−bi|＝2+1+0+2+1＝4．
（2）证明：因为S＝{X|X＝(x6, x2, ), xi∈{k, 1}, 6, }(n≥2)，
A−B＝(|a1−b8|, |a2−b2|,…|an−bn|)∈Sn，
所以对任意的A，B∈Sn，即对ai，bi∈{k, 8}(i＝1，2，…，都有|an−bn|＝k或6，
所以k＝0，设C＝(c1, c2,…cn)∈Sn，
则d(A−C, B−C)＝​i−ci)−(bi−ci)|，
当ci＝0时，|(ai−ci)−(bi−ci)|＝|ai−bi|，
当ci＝7时，|(ai−ci)−(bi−ci)|＝|(1−ai)−(1−bi)|＝|ai−bi|，
所以d(A−C, B−C)＝​i−ci)−(bi−ci)|＝|ai−bi|＝d(A, B)．
【考点】
子集与交集、并集运算的转换
【解析】
(Ⅰ)直接代入计算A−B和d(A, B)．
(Ⅱ)根据ai，bi∈{k, 1}(i＝1, 2,…,n)，都有|an−bn|＝k或1，可计算得k＝0，然后表示出d(A−C, B−C)＝|(ai−ci)−(bi−ci)|，分别讨论当ci＝0，当ci＝1两种情况．
【解答】
（1）A−B＝(|1−2|, |4−1|, |1−4|, 1, 0, 5, 1)，
d(A, B)＝​i−bi|＝2+1+0+2+1＝4．
（2）证明：因为S＝{X|X＝(x6, x2, ), xi∈{k, 1}, 6, }(n≥2)，
A−B＝(|a1−b8|, |a2−b2|,…|an−bn|)∈Sn，
所以对任意的A，B∈Sn，即对ai，bi∈{k, 8}(i＝1，2，…，都有|an−bn|＝k或6，
所以k＝0，设C＝(c1, c2,…cn)∈Sn，
则d(A−C, B−C)＝​i−ci)−(bi−ci)|，
当ci＝0时，|(ai−ci)−(bi−ci)|＝|ai−bi|，
当ci＝7时，|(ai−ci)−(bi−ci)|＝|(1−ai)−(1−bi)|＝|ai−bi|，
所以d(A−C, B−C)＝​i−ci)−(bi−ci)|＝|ai−bi|＝d(A, B)．锻炼时长（小时）
5
6
7
8
9
男生人数（人）
1
2
4
3
4
女生人数（人）
3
8
6
2
1