重庆市梁平区2021届高三上学期第一次调研考试 数学 (含答案)
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数学试题
本试卷分第I卷和第II卷两部分。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则是（ ）
A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1
C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1
4．函数=的零点所在的区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则（－53）的值约为（ln19≈3）（ ）
A．10 B．13 C．63 D．66
- 某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西60°方向走3km到达C处，结果他离出发点恰好，那么x的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
7．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．已知向量其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．·=1 B．与的夹角为钝角
C．向量在方向上的投影为 D．
11. 已知符号函数下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．对任意的
C．时，函数的值域为 D．对任意的
12．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称
D．函数在区间上有67个零点
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13. 已知向量，若，则的值为_____________.
14．复数z满足，则______________.
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为. 若，则＝__________．（用数字作答）
16．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数，则的对称中心为____________；计算=______________．
四、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知全集为. 函数的定义域为集合，集合.
（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 已知中，，，分别是内角，，所对的边，且.
（1）求角；
（2）已知，且_________，求的值及的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19.（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值．
20.（本小题满分12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，且，A，B，C三点满足.
（1）求证：A，B，C三点共线；
（2）若函数的最小值为，求实数m的值.
22.（本小题满分12分）已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．
高2021届第一次调研考试
数学试题参考答案
1—5. ABDCB 6—8. BDA 9. BC 10. AD 11. BCD 12. ABD
- 9 14. 15. 16.
17. 解：（1）由得，函数的定义域，
又， 得或 ，
∴ .………………………………………………………………………5分
（2）∵，
①当时，满足要求， 此时， 得；………………………………7分
②当时，要，则，解得；
由①② 得，，∴ 实数的取值范围.……………………………………10分
18. 解：（1）因为，
由正弦定理得，
即，
得，
又，
所以；…………………………………………………………………………………6分
（2）选择①时：，，
故；
根据正弦定理，故，
故.…………………………………………………………………12分
选择②时：，根据正弦定理，
故，
解得，
，
根据正弦定理，故，
故.………………………………………………………………12分
- 解：（Ⅰ）
．
令，，得，．
令，得；令，得.
因此，函数在区间上的单调递增区间为，；……………6分
（Ⅱ）由，得．
，，
又，，．
因此，
．……………………………………………………12分
- 解：（Ⅰ）由已知
……………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当时，；
当时，
当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，．
答：当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．……………………12分
21. 解：证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O为坐标原点，
，，且，
A，B，C三点满足.
∴，
∴.
又，有公共点A，∴A，B，C三点共线.……………………………………………5分
（2）∵，，，
∴
，
∴，，
∴函数
，
即
.
∵，∴.
①当，即时，当时，
，
解得或，又时，∴.
②当，即时，当时，
，解得，
又，∴，
∴综上所述，m的值为或………………………………………………12分
- 解：（1）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立
∵，
当且仅当时等号成立
∴………………………………………………………………………………………5分
（2），当时，∴在上单调增
令，
∵，∴，即在上单调减
∵存在，使得，∴，
即
∵
设，则
当时，，单调增；
当时，，单调减
而且
∴当时，，；
当时，，；
当时，，．…………………………………………………………12分
