专训2.5 圆锥曲线（解析版） 试卷

专训2.5  圆锥曲线

1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆：()的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点的直线交椭圆于、两点，求(为原点)面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由得①，

由椭圆经过点得②，

联立①②，解得，，

∴椭圆的方程是；

（2）由题意可知直线一定存在斜率，设其方程为，

联立消去得：，

则，得，

设、，则，，

∴，

∵，

设()，则，

当且仅当，即时等号成立，此时，可取，

此时面积取得最大值.

2．（2020·江苏镇江·高三期中）已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析，面积为.

【解析】（1）设双曲线的焦距为，

由题意可得：，则双曲线的方程为；

（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，

设直线的方程为，

则消得，

，①

设与轴交于一点，，

，

双曲线两条渐近线方程为：，

联立，联立，

则（定值）.

3．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆M：的一个焦点为，左右顶点分别为A，B．经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线l的倾斜角为时，求线段CD的长；

（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为和，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大值为.

【解析】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为，所以且，所以，

所以椭圆方程为.

（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为，所以斜率为1，直线的方程为，

联立，消去并整理得，

设，，

则，，

所以.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

设直线：，，，

联立，消去并整理得，

则，，所以异号，

所以

,当且仅当时，等号成立.

所以的最大值为.

4．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆：()过点、两点.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.

【解析】（1）由题意得，、，

∴椭圆的方程为，

∴，∴离心率；

（2）设，(，)，则，又、，

∴直线的方程为，

令得，∴，  

∴直线的方程为，

令得，∴，      

∴四边形的面积

，

∴四边形的面积为定值.

5．（2020·广东广州·高三月考）已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，定点为.

【解析】（1）设右焦点，右顶点，

因为，所以，

因为椭圆的左顶点，

故直线方程为，即，

由题意知，，

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，

设直线和的方程分别为和，设，，

联立，得，

因为直线和椭圆交于，两点，

所以，即，

即，，

同理.

设轴上存在一定点，使得成立，

则，即，即，

因为，

，

即，

解得.

因此轴上存在一定点，使得成立.

6．（2020·云南昆明·高三其他模拟）已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.

【解析】(1)，，

又，，即，

则可得，又，，

故所求椭圆方程为；

(2)设直线，代入，有.

设，则，

若轴上存在定点满足题设，则，，

，

由题意知，对任意实数都有恒成立，

即对成立.

，解得，

在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.

7．（2020·全国高三其他模拟）已知椭圆的左､右焦点分别为，，短轴长为2，椭圆的左顶点到的距离为.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标和定值；若不经过定点，请说明理由.

【答案】（1）；（2）直线过定点，定点或，定值为.

【解析】（1）由已知可得即

故解得

故椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由消元整理得，

所以，

设，，由根与系数的关系可得，

，.而，

，所以

由为定值，可得，即，

解得或，故直线的方程为或.

所以直线过定点或，此时定值为.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

则不妨令，，

则，

又为定值，所以，直线的方程为，

此时直线过点，.此时，符合题意.

综上，若为定值，则直线过定点或，且定值为.

8．（2020·上海高三一模）已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

（1）求双曲线的方程；

（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；

（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，

解得，，则所求双曲线的方程为.

（2）设，，由，得， 

则，，且，

又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，

即，即，

则， 即，则或，

即实数的取值范围. 

（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，

又点是线段的中点，则点，  

直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，

则直线的方程为，即，

又直线的方程为，联立方程，

消去化简整理，得，又，

代入消去，得，

即，则，

即点的横坐标为，    

则. 故线段在轴上的射影长为定值.

9．（2020·广西高三一模）已知椭圆C.（）与抛物线（）共焦点，以椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F1、F2所围成的四边形MF1NF2的面积为8，经过F2的直线交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且满足.

（1）求出椭圆和抛物线的标准方程;

（2）若点D在第三象限，且点A在点B上方，点C在点D上方，当△BF1D面积取得最大值S时，求的值.

【答案】（1）；；（2）

【解析】（1）先作如下计算，

设过的直线的倾斜角为，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，

整理可得，同理可求得，

，；

所以，；

过两点分别向轴作垂线、，、为垂足，

再设，可得，

点的横坐标为，点B横坐标为，

由抛物线定义知，，

所以，，，此时， ，

设椭圆的焦距为，所以，，易知，

又因为椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F1、F2所围成的四边形MF1NF2的面积为8，得，得，又

由得，，得，

联立方程得，，解得，，

（2）

由（1）得，直线的倾斜角为，且，得，椭圆离心率，

则，得，

，又由（1）得

，设到的距离为，

则，

，根据的性质，

只有符合题意，根据导数的性质，

可知，在时，取得最大值，

，

10．（2020·广东高三零模）已知椭圆的短半轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：是直角三角形．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）依题意可得，所以，

得，所以椭圆的方程是 .                         

（2）设，，则，，

直线的方程为，                              

与联立得 ，           

因为，是方程的两个解，

所以 

又因为，

所以，代入直线方程得            

所以，即是直角三角形.