中考数学 专项训 练考点08 相似三角形中的基本模型

专题08 相似三角形中的基本模型相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。模型一、“8”字型及其变形(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝.(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝.      图1    　    　　        图2[来源1、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为__4__.2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.证明：∵AD·AB＝AF·AC，∴＝.∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AFB，∴∠C＝∠B.[来源:Z+xx+k.Com]∵∠DEB＝∠FEC，∴△DEB∽△FEC.
模型二、“A”字型及其变形 (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝.(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝.(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.[来源:学科网]图1　                 　图2             　　图3 1、在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2，AB＝3，则BD＝____. 2、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.∴＝.∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. 
3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴＝.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝. 模型三、“手拉手”旋转型如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴＝.∴＝.又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.
模型四、“子母(双垂直)”型如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为(　A　)A.         B.         C.         D．3 2、如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.证明：△AEF∽△ABE.证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAB，∠ABE＝∠ABC.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°.∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°.又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE.
模型五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 (1)“三垂直”模型如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.∵△ABE∽△ECD，∴＝，∴＝，∴CD＝.[
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.[来源证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝.∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴＝.又∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.