2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：选修4-51第1讲　绝对值不等式



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绝对值不等式
理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
不等式的证明
了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．
了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．
会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
柯西不等式与排序不等式
了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．
(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.
(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(3)＋≥.
(此不等式通常称为平面三角不等式)
会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

会用向量递归方法讨论排序不等式.
第1讲　绝对值不等式

1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x| {x|－a ∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
法二：利用“零点分区法”求解，体现了分类讨论的思想．
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

解不等式：|x－2|＋|x＋3|>7.
解：因为|x－2|＋|x＋3|
＝
所以原不等式可化为
或或
解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<－4或x>3}．
不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解：由不等式的性质得|x＋3|－|x－1|＝|x＋3|－|1－x|≤|(x＋3)＋(1－x)|＝4
所以a2－3a≥4，解得a≥4或a≤－1.
对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解：由|x－1|≤1与|y－2|≤1，可知不等式构成的区域为四条直线x＝0，x＝2，y＝1，y＝3围成的一个矩形区域，而|x－2y＋1|的最大值即为x－2y＋1的最大值或最小值对应的绝对值，为此可转化为求x－2y＋1的最值．
记u＝x－2y＋1，即y＝x＋(1－u)，由数形结合易知，当直线经过不等式值域的区域内的点(2，1)与(0，3)时，y对应有最小值与最大值，此时对应的u值为1与－5，故|x－2y＋1|的最大值为5.
(2018·长沙市统一模拟考试)已知f(x)＝|x－a|＋|x－3|.
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)若不等式f(x)≤3的解集非空，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2，
故f(x)的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x－3|≥|(x－a)－(x－3)|＝|3－a|，若不等式f(x)≤3的解集非空，
则|3－a|≤3，
即－3≤3－a≤3，
因此0≤a≤6，
所以a的取值范围是[0，6]．

含绝对值不等式的解法
[典例引领]
设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，求a的值．
【解】　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，
所以或
或，
所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
(2)f(x)≤1即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，
而f(x)≤1的解集是[0，2]，
所以，解得a＝1.


　
[通关练习]
1．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解：(1)当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，所以x<－3.
(2)当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，
所以－3≤x<－.
(3)当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，所以x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．

解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为{x|x＜或1＜x＜3或x＞5}．
绝对值不等式性质的应用
[典例引领]
设不等式|x－2| (1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
【解】　(1)因为∈A，且∉A，
所以 解得 又因为a∈N*，所以a＝1.
(2)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.
当且仅当(x＋1)(x－2)≤0即－1≤x≤2时取到等号，
所以f(x)的最小值为3.

两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．　
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.
证明：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.
所以由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.即|x＋5y|≤1.
绝对值不等式的综合应用
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
【解】　(1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.

(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．　
　(2018·河南郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－，
所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，令h(x)＝|2x＋1|－|x|，则h(x)＝
故h(x)min＝h＝－，
所以实数a的取值范围为a≥－.

绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a| 解：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.
(2)证明：若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.即|x|<|a|＋1.
2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|
＝
所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；
当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；
当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．
综上可得f(x)≥0的解集为.
(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．

易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1 3．(2018·兰州市诊断考试)已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x－3|－2x≤2n－4.
解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．
设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4.
所以m≤4.
(2)当m取最大值4时，原不等式等价于|x－3|－2x≤4，
所以或，
解得x≥3或－≤x<3.
所以原不等式的解集为.
4．(2018·云南省第一次统一检测)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.
(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9；
(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝5时，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.
①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；
②当－5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；
③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.
综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．
(2)因为A∪B＝A，所以B⊆A.
又B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2}，关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，
所以当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．
由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.
所以当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．
所以实数a的取值范围为[－1，0]．
5．(2018·湖北省七市(州)联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．
(1)解关于x的不等式f(x)>5；
(2)若不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．
解：(1)由f(x)>5，得|x－2|>3，
所以x－2<－3或x－2>3，
解得x<－1或x>5.
故原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．
(2)由f(x)≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对任意x∈R恒成立，
当x＝0时，不等式4≥0恒成立，
当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，
因为≥＝1，所以m≤1，即m的取值范围是(－∞，1]

1．(2018·湖北黄冈三月调研)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x－1|(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求f(x)≤2的解集；
(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒＋≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点－，距离之和小于或等于1，则－≤x≤，
即原不等式的解集为.
(2)因为f(x)≤|2x＋1|的解集包含.
所以当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，
所以当x∈时，|2x－a|＋2x－1≤2x＋1上恒成立．
所以2x－2≤a≤2x＋2在x∈上恒成立，
所以(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min，所以0≤a≤3.
2．(2018·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．
(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；
(2)当a<时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝|x－a|＋，所以f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，
所以f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，
所以|m|≤1，即－1≤m≤1，所以实数m的最大值为1.
(2)当a<时，
g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋＝
所以g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，
所以或
所以－≤a<0，
所以实数a的取值范围是.
3．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，
解得－ 当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，
解得－≤x<；
当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，不等式的解集为.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4.
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝
所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即0 故实数a的取值范围为.