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2025届高三数学一轮复习课件8.8直线与圆锥曲线（人教版新高考新教材）
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这是一份2025届高三数学一轮复习课件8.8直线与圆锥曲线（人教版新高考新教材），共60页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，知识巩固，对点训练1，x+2y-30，对点训练3，对点训练4等内容，欢迎下载使用。
1.能从联立方程的角度理解直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系.2.会求有关圆锥曲线的弦长、过焦点的弦、中点弦等问题.3.能解决直线与圆锥曲线的综合性问题(定点、定值、最值、探索类问题).
直线与圆锥曲线是高考中特别重要的内容,每年必考,尤其是直线与椭圆的解答题出现频率相当高.题目具有较强的综合性,该部分内容在客观题型中主要考查直线与圆锥曲线的关系及应用,有时与向量、不等式、函数等内容相融合.本节要注重通性通法的积累和应用,常用的方法有方程法、几何法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点、仅有一个公共点、有两个不同的公共点.(2)从代数角度看,将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程,通过消元后所得方程解的情况来判断.设直线的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线的方程为f(x,y)=0.
消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,则当圆锥曲线为双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线为抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,则Δ=b2-4ac.当Δ > 0时,直线与圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ = 0时,直线与圆锥曲线相切于一点;当Δ < 0时,直线与圆锥曲线没有公共点.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间的距离公式求解弦长.
1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条与渐近线平行的直线.
3.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个交点,为一条与对称轴平行或重合的直线.
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条
5.已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦|AB|= .
例1 (1)若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( )A.1B.1或3C.0D.1或0
(3)已知直线y=kx-k+1与椭圆x2+my2=3恒有公共点,则实数m的取值范围是_____________.
(0,1)∪(1,2]
由题意可知直线恒过定点(1,1),且该点在椭圆内或在椭圆上,所以有1+m≤3,解得m≤2.因为方程x2+my2=3表示椭圆,所以m>0,且m≠1.所以0
(2)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值为( )
命题角度1 弦长问题
对点训练2(1)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.①若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;②若|AB|=20,求直线l的方程.
①求实数m的取值范围;②O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.
命题角度2 定值问题
解题心得1.求定值问题常见的两种方法(1)先从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可先设直线方程为y=kx+b,再利用条件建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
①求椭圆C的方程;②设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=1上的动点,直线PA与椭圆的另一交点为M,直线PB与椭圆的另一交点为N.求证:直线MN经过一定点.
(2)已知A(1,2)为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,E,F为抛物线上异于点A的两点,且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.①求直线EF的斜率;
例6 已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l'与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,则动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程为y2=4x.
解题心得圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的相关定理、性质等进行求解;二是代数法,即首先把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个变量的函数,然后利用函数、不等式或导数等知识进行求解.
(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.
(1)求曲线C的轨迹方程.(2)设F2为曲线C的右焦点,P为曲线C上一动点,直线PF2的斜率为k(k≠0),且PF2与曲线C的另一个交点为Q,则是否存在点T(0,t),使得∠TPQ=∠TQP?若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例 已知抛物线C:y=mx2(m>0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P为线段AB的中点,过点P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值.(2)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
1.能从联立方程的角度理解直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系.2.会求有关圆锥曲线的弦长、过焦点的弦、中点弦等问题.3.能解决直线与圆锥曲线的综合性问题(定点、定值、最值、探索类问题).
直线与圆锥曲线是高考中特别重要的内容,每年必考,尤其是直线与椭圆的解答题出现频率相当高.题目具有较强的综合性,该部分内容在客观题型中主要考查直线与圆锥曲线的关系及应用,有时与向量、不等式、函数等内容相融合.本节要注重通性通法的积累和应用,常用的方法有方程法、几何法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点、仅有一个公共点、有两个不同的公共点.(2)从代数角度看,将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程,通过消元后所得方程解的情况来判断.设直线的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线的方程为f(x,y)=0.
消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,则当圆锥曲线为双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线为抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,则Δ=b2-4ac.当Δ > 0时,直线与圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ = 0时,直线与圆锥曲线相切于一点;当Δ < 0时,直线与圆锥曲线没有公共点.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间的距离公式求解弦长.
1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条与渐近线平行的直线.
3.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个交点,为一条与对称轴平行或重合的直线.
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条
5.已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦|AB|= .
例1 (1)若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( )A.1B.1或3C.0D.1或0
(3)已知直线y=kx-k+1与椭圆x2+my2=3恒有公共点,则实数m的取值范围是_____________.
(0,1)∪(1,2]
由题意可知直线恒过定点(1,1),且该点在椭圆内或在椭圆上,所以有1+m≤3,解得m≤2.因为方程x2+my2=3表示椭圆,所以m>0,且m≠1.所以0
(2)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值为( )
命题角度1 弦长问题
对点训练2(1)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.①若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;②若|AB|=20,求直线l的方程.
①求实数m的取值范围;②O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.
命题角度2 定值问题
解题心得1.求定值问题常见的两种方法(1)先从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可先设直线方程为y=kx+b,再利用条件建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
①求椭圆C的方程;②设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=1上的动点,直线PA与椭圆的另一交点为M,直线PB与椭圆的另一交点为N.求证:直线MN经过一定点.
(2)已知A(1,2)为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,E,F为抛物线上异于点A的两点,且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.①求直线EF的斜率;
例6 已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l'与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,则动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程为y2=4x.
解题心得圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的相关定理、性质等进行求解;二是代数法,即首先把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个变量的函数,然后利用函数、不等式或导数等知识进行求解.
(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.
(1)求曲线C的轨迹方程.(2)设F2为曲线C的右焦点,P为曲线C上一动点,直线PF2的斜率为k(k≠0),且PF2与曲线C的另一个交点为Q,则是否存在点T(0,t),使得∠TPQ=∠TQP?若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例 已知抛物线C:y=mx2(m>0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P为线段AB的中点,过点P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值.(2)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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