2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章3第3讲　圆的方程

第3讲　圆的方程


1．圆的定义及方程

定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　　)
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.
方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)
A.1
C．m< D．m>1
解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.
点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，
所以－1 答案：(－1，1)


　　　　　　求圆的方程(高频考点)
求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．高考对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度：
(1)由圆的方程确定参数的值(范围)；
(2)由已知条件求圆的方程．
[典例引领]
角度一　由圆的方程确定参数的值(范围)
(2018·福建厦门联考)若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【解析】　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2 【答案】　B
角度二　由已知条件求圆的方程
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解】　法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.
由题意得解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．　
[通关练习]
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0 A．原点在圆上　　　　　　 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为00，即>，所以原点在圆外．
2．若圆心在x轴上，半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是(　　)
A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选D.设圆心坐标为(a，0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________________．
解析：设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

　　　　　　与圆有关的最值问题(高频考点)
与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度：
(1)借助几何性质求最值问题；
(2)建立函数关系求最值．
[典例引领]
角度一　借助几何性质求最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
【解】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，
解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，
解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
角度二　建立函数关系求最值
(2018·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
【解析】　由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【答案】　12

求解与圆有关的最值问题的方法
　
[通关练习]
1．如果实数x，y满足圆(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________．
解析：(x，y)在圆上，表示的是圆上的点(x，y)与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k，切线方程为kx－y－3－k＝0，圆心到直线的距离等于半径，即＝1，k＝，故取值范围是.
答案：
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
答案：
3．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________________．
解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝＝，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号．又|AB|＝＝≥2，所以|AB|的最小值为2，此时a＝b，
即a＝b＝2，切线l的方程为＋＝1，
即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0

　　　　　　与圆有关的轨迹问题
[典例引领]
已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
【解】　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此
求与圆有关的轨迹方程的方法
　
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

圆的方程选取的原则
(1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；
(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
易错防范
(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；
(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1　　　　　　 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得即或
故原方程表示两个半圆．
3．(2018·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.
4．(2018·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.
5．(2018·广东七校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．2 B.
C．4 D.
解析：选D.由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
6．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的范围为________．
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得
(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0 答案：(0，4)
7．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2
8．已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，则过P、A、B三点的圆的方程为________________．
解析：易知圆C的圆心为C(4，2)，连接AC、BC，
由题意知PA⊥AC，PB⊥BC，
所以P，A，B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O′为PC的中点，所以O′，
所以所求圆的半径r′＝＝.
所以过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)2＋＝.
答案：(x－1)2＋＝
9．求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r＝＝2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

1．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)
A．(－2，4) B．[－2，4]
C．[－4，4] D．[－4，2]
解析：选B.由于y≥0，所以x2＋y2＝4(y≥0)为上半圆.x＋y－m＝0是直线(如图)，
且斜率为－，在y轴上截距为m，又当直线过点(－2，0)时，m＝－2，设圆心O到直线x＋y－m＝0的距离为d，所以即
解得m∈[－2，4]．
2．设命题p：(x，y，k∈R且k＞0)；命题q：(x－3)2＋y2≤25(x，y∈R)．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．
解析：如图所示：
命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．
由题知B，则
解得0＜k≤6.
答案：(0，6]
3.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
解：(1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(，3)，D(－，3)，设圆心E(0，b)．由|EB|＝|EC|，
得(0－3)2＋(b－0)2＝(0－)2＋(b－3)2，
解得b＝1，r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设P(x，y)，由已知得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，
化简得＋＝.
4．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.
设圆C的方程是 (x－t)2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)因为OM＝ON，CM＝CN，
因为OC垂直平分线段MN.
因为kMN＝－2，
所以kOC＝.
所以＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝，
此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
符合题意，此时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
所以t＝－2不符合题意，舍去．
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.