初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试课后复习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试课后复习题，共21页。试卷主要包含了已知＝，那么的值为，如图，已知点A，如图，△ABC中，A，下列各组图形中一定相似的图形是等内容，欢迎下载使用。




一．选择题


1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ）





A．28°B．32°C．42°D．52°


2．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（ ）





A．B．C．D．


3．已知＝，那么的值为（ ）


A．B．C．D．


4．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）





A．0B．1C．2D．3


5．在△ABC中，边BC＝6，高AD＝4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（ ）





A．3B．2.5C．2.4D．2


6．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）





A．2B．4C．8D．16


7．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）


A．B．


C．D．


8．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8．正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝4．则点F到BC的距离为（ ）





A．1B．2C．4﹣4D．8﹣4


9．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2 m，并测得BC＝3 m，CA＝1 m，那么树DB的高度是（ ）





A．6mB．8mC．32mD．0.125m


10．下列各组图形中一定相似的图形是（ ）


A．有一个角相等的两个等腰三角形


B．两邻边之比相等的两个平行四边形


C．有一个角为60°的两个菱形


D．两个矩形


11．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（ ）





A．B．7C．8D．9


12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝（ ）





A．1：16B．1：18C．1：20D．1：24





二．填空题


13．若，则＝ ．


14．如图，点B在AD上，AB＝1，AD＝4，且△ABC∽△ACD，则AC＝ ．





15．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为 ．





16．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝ ．





17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）．△A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是 ，△A1B1C1的面积是 ．





18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；③当AD＝时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形，BD为4或6.25．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论序号都填上）








三．解答题


19．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．


（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；


（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．








20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．








21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．


按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：


（1）顶点A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ；


（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．











22．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；


（1）求证：BM平分∠NBC；


（2）若＝，求的值．

















23．已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．


（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；


（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；


（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？




















24．某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：


定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．


结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：


甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形．


乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．


丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．


任务：（1）填充甲同学结论中的数据；


（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；


（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．








参考答案


一．选择题


1．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，


∴∠B＝42°，


∵△ABC∽△DEF，


∴∠B＝∠E．


∴∠E＝42°．


故选：C．


2．解：∵△ABC∽△ADE，


∴．


故选：D．


3．解：∵＝，


∴设a＝2k，则b＝3k，


则原式＝＝．


故选：B．


4．解：∵点P的纵坐标为，


∴点P在直线y＝上．


①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，则P（1，）；


②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，


∴PA2＝AB•OA，


∴＝b﹣1，


∴（b﹣8）2＝48，


解得 b＝8±4，


∴P（1，2+）或（1，2﹣）．


综上所述，符合条件的点P有3个．


故选：D．





5．解：设AD交GH于M．


∵四边形EFMN是正方形，


∴HG∥BC，


∴△AGH∽△ABC，


又∵AD⊥BC，


∴AD⊥BC，EH＝HG＝MD，


∴＝，


设EH＝x，则AM＝4﹣x，


∴＝，


解得：x＝2.4，


∴EH＝2.4．


答：这个正方形的边长为2.4．


故选：C．





6．解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），


∴位似比为：2：1，


∵△DEF的面积为4，


∴△ABC的面积为：4×4＝16．


故选：D．


7．解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；


C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；


而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形


故选：B．


8．解：如图，作AN⊥BC于N，交DG于M，交EF于H．


∵AB＝AC＝12，AN⊥BC，


∴BN＝CN＝4，


∴AN＝＝＝8，


∵AD＝AG，AB＝AC，


∴∠ADG＝∠AGD，∠B＝∠C，


∵∠A+2∠ADG＝180°，∠A+2∠B＝180°，


∴∠ADG＝∠B，


∴DG∥BC，


∴△ADG∽△ABC，


∴＝，


∴＝，


∴AM＝4，


∵四边形MHFG是矩形，


∴MH＝GF＝DG＝4，


∴HN＝MN﹣MH＝4﹣4，


∴点F到BC的距离为4﹣4，


故选：C．





9．解：由题意可得，CE∥BD，


在△ABD中，，


即，


解得BD＝8m．


故选：B．


10．解：A、一个角可以是顶角也可以是底角，不能确定，所以不一定形似，故A不正确；


B、两邻边之比相等，如果夹角不相等，两平行四边形也不相似，所以不一定相似，故B不正确；


C、菱形的四条边相等，如果一个角都为60°，则四个角等对应相等，且各边对应成比例为1，所以一定相似，故C则正确；


D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故D不正确．


故选：C．


11．解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，


∴△ACD∽△ABC，


∴，


∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，


∴，


∴CD＝．


故选：A．


12．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，


∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，


∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，


∴＝，


∴＝，


∵DE∥AC，


∴△DBE∽△ABC，


∴S△DBE：S△ABC＝1：25，


∴S△ACD＝25a﹣a﹣4a＝20a，


∴S△BDE：S△ACD＝a：20a＝1：20．


故选：C．


二．填空题（共6小题）


13．解：∵，


∴＝＝．


故答案为．


14．解：∵△ABC∽△ACD，


∴＝，


∵AB＝1，AD＝4，


∴AC2＝4，


则AC＝2．


故答案为：2．


15．解：∵3AE＝2EB，


∴可设AE＝2a、BE＝3a，


∵EF∥BC，


∴△AEF∽△ABC，


∴＝（）2＝（）2＝，


∵S△AEF＝1，


∴S△ABC＝，


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴S△ADC＝S△ABC＝，


∵EF∥BC，


∴＝＝＝，


∴＝＝，


∴S△ADF＝S△ADC＝×＝，


故答案为：．


16．解：∵AB∥CD∥EF，


∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，


∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，


∴，


∴，


∴解得：EF＝．


故答案为：1.2


17．解：如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0），


△A1B1C1的面积是：4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4＝10．


故答案为：（1，0），10．





18．解：如图，在线段DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，则∠AFE＝∠AEF


∵AB＝AC


∴∠B＝∠C


∵∠ADE＝∠B＝a，


∴∠C＝∠ADE＝a，


∵∠AFE＝∠DAF+∠ADE，∠AEF＝∠C+∠CDE


∴∠DAF＝∠CDE


∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD


∴∠CDE＝∠BAD


∴∠DAF＝∠BAD


∴△ABD∽△ADF


∴＝，即AD2＝AB•AF


∴AD2＝AB•AE，


故①正确；


由①可得：AE＝＝，


当AD⊥BC时，由勾股定理可得：AD＝＝＝3


∴3≤AD＜5


∴≤AE＜5，即1.8≤AE＜5


故②正确；


如图2，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝5


∴BH＝CH＝BC＝4


∴AH＝＝＝3


∵AD＝AD′＝，


∴DH＝D′H＝＝＝1


∴BD＝3或BD′＝5，CD＝5或CD′＝3，


∵∠B＝∠C


∴△ABD≌△DCE（SAS），△ABD′与△D′CE不是全等形


故③不正确；


如图3，AD⊥BC，DE⊥AC


∴∠ADE+∠DAE＝∠C+∠DAE＝90°


∴∠ADE＝∠C＝∠B


∴BD＝4


如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，∵∠ADE＝∠C


∴∠ADH＝∠CAH


∴△ADH∽△CAH


∴＝，即＝，


∴DH＝，


∴BD＝BH+DH＝4+＝＝6.25，


故④正确；


综上所述，答案为：①②④．














三．解答题（共6小题）


19．解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．





（2）选△EAF∽△EBC，


理由如下：在ABCD中AD∥BC，


∴∠EAF＝∠B．


又∵∠E＝∠E，


∴△EAF∽△EBC．


20．解：在△DEF和△DBC中，，


∴△DEF∽△DBC，


∴＝，


即＝，


解得BC＝4，


∵AC＝1.5m，


∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，


即树高5.5m．


21．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，


A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；





（2）如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，


或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．





22．（1）证明：延长BM交AD的延长线于H，


在△BMC和△HMD中，


，


∴△BMC≌△HMD，


∴BM＝MH，又MN⊥BM，


∴NB＝NH，


∴∠NBM＝∠NHM，


∵AH∥BC，


∴∠MBC＝∠NHM，


∴∠MBC＝∠NBM，即BM平分∠NBC；


（2）解：设DN＝a，则DC＝AB＝4a，


∴DM＝MC＝2a，


由勾股定理得，MN＝＝a，


由（1）得，∠BNM＝∠MND，∠BMN＝∠MDN，


∴△BMN∽△MDN，


∴＝＝，


∴BM＝2a，


由勾股定理得，BN＝＝5a，


则AN＝＝3a，


∴＝＝．





23．解：（1）∵t＝1∴CN＝1，AM＝1


过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴


∴△CEN∽△COA，∴，即，∴EN＝．（1分）


由勾股定理得：，，∴．（2分）





（2）由（1）得，∴


∴N点坐标为．


∵多边形OAMN由△ONA和△AMN组成


∴＝（3分）


＝（4分）


∴多边形OAMN的面积S＝．


（0≤t≤4）（5分）








（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，


当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．


即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）





②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，


此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．


当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．


即OA⊥NN′，OG＝AG＝，


∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，


∴CN＝，∴（7分）





③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，


此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．


当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．


即OH⊥AC，AH＝NH＝，


由面积法可求得OH＝，


在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．


∴，∴．（8分）


综上所述，t的值为．














24．解：（1）1，2，3．








（2）乙同学的结果不正确．


例如：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，则．


如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．


设它的边长为a，则依题意可得：，


∴，


如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．


设它的边长为b，则依题意可得：，


∴．


∴a＞b．





（3）丙同学的结论正确．


设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．


依题意可得：＝，


∴xa＝．


同理xb＝．


∵xa﹣xb＝﹣＝﹣


＝2S（﹣）


＝（b+hb﹣a﹣ha）．


＝（b+﹣a﹣）．


＝•（b﹣a）（1﹣）．


＝•（b﹣a）（1﹣）．


又∵b＜a，ha＜b，


∴（b﹣a）（1﹣）＜0，


∴xa＜xb，即xa2＜xb2．


∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．