西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）四试卷

理 科 数 学（四）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，则等于（    ）

A．1 B．2 C． D．

2．如果全集，，，则图中的阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

3．的展开式中常数项是（    ）

A．14 B． C．42 D．

4．等差数列满足，记的前项和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是（    ）

A．45 B．60 C．75 D．90

6．函数在区间上的简图是（    ）

7．已知变量，满足的约束条件为，目标函数，则的最大值和

最小值分别为（    ）

A．10，0 B．，0 C．， D．10，

8．已知，，且，，成等比数列，则（    ）

A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值

9．一个多面体的直观图和三视图如图，则此多面体外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

10．曲线在处的切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

11．设方程的两个根分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

12．抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．不存在

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如图所示为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的值为23，那么应输入的值

为______．

14．已知向量，，若，则        ．

15．双曲线的右焦点为，点是渐近线上的点，且，则_______．

16．每人最多投篮5次，若连续两次投篮不中则停止投篮，否则继续投篮，直到投满5次，每次投篮投中的概率是0．5，则投中3次的概率为       ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，且．

（1）求角的值；

（2）若，，求、（其中）．

18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润．

（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；

（2）求的分布列及期望．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，

是的中点，是中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．

21．（12分）已知，，，其中是自然对数的底，．

（1）讨论时，的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，

说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】

在极坐标系中，已知点到直线的距离为3．

（1）求实数的值；

（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，

并指出轨迹是什么图形．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围

理 科 数 学（四）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】可得，则，那么．

2．【答案】D

【解析】图中的阴影部分为去掉，则为．

3．【答案】A

【解析】展开式的通项为，

由，得，那么展开式中常数项是．

4．【答案】A

【解析】设的公差为，由，则，

那么，可得，

那么．

5．【答案】D

【解析】小于100克的的频率为，

大于或等于98克并且小于104克的频率为，

由，可得．

6．【答案】A

【解析】当时，，排除B、D；

当时，，排除C．

7．【答案】B

【解析】画出不等式表示的平面区域如图，

因为，则知当，时，；

当，时，．

8．【答案】C

【解析】可得，则，

则，则．

9．【答案】C

【解析】取的中点为、的中点为，连结，

知的中点即为此多面体外接球的球心，可得，

那么外接球的表面积是．

10．【答案】B

【解析】，

则，

则．

11．【答案】D

【解析】不妨设，画与的图象，知，

则，，

那么，则．

12．【答案】B

【解析】设抛物线方程为，则，，

设，则，

设，则，

即，

当时，则；

当时，则，解得，当时等号成立，

综上，当时，，所以的最大值为．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】或

【解析】当时，由，则；

当时，不符合要求；

当时，由，得．

14．【答案】

【解析】，，

由已知，则，

则．

15．【答案】2或

【解析】知，点有如图的两种位置情况．

当为位置情况时，，则；

当为位置情况时，，则．

16．【答案】

【解析】从5次中选3次，有种选法，

而其中1与2连续没投中、2与3连续没投中、3与4连续没投中，不满足要求，

则投中3次的概率为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2），．

【解析】（1），

∵，∴，∴．

（2），∴，

由，得，

∵，∴，．

18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，元．

【解析】（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，

知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，

，则．

（2）的可能取值为200元，250元，300元，

，

，

，

则的分布列为

元．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】解法一：（1）取中点，连结，，

所以，

又，所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）三棱柱为直三棱柱，所以，

又，所以平面，

在平面内过作于，

又，所以⊥面，连结，

则就是直线与平面所成的角．

在等腰三角形中，，，

所以，

又可得，则，

那么直线与平面所成角的正弦值为．

解法二：（1）如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．

取中点，连结，

由已知得，，，，，

所以，，

所以，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）又，，则，，

设平面的法向量为，则，，

所以，解得，，所以，

又，所以，

则直线与平面所成角的正弦值为．

20．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），，，∴，

∴椭圆方程为．

（2），，

设，，则，，

直线，代入椭圆方程，

得，

，∴，∴，

∴，

∴（定值）．

21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）存在，．

【解析】（1），则，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

∴的极小值为．

（2）的极小值，即在的最小值为1，∴．

令，则，

当时，，则在上单调递减，

∴，

∴当时，．

（3）假设存在实数，使有最小值3，

因为，

①当时，由于，则，

∴函数是上的增函数，

∴，解得（舍去）；

②当时，则当时，，

此时是减函数，

当时，，此时是增函数，

∴，解得，

由以上知，存在实数，使的最小值是3，它的值为．

22．【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，

为半径的圆．

【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．

则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．

由点到直线的距离为，∴．

（2）由（1）得直线的方程为，

设，，则，①

因为点在直线上，所以，②

将①代入②，得．

则点的轨迹方程为，

化为直角坐标方程为，

则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，不等式化为，

则可得或或，

可得或或，

则不等式解集为．

（2）当时，恒成立，

则恒成立，

化为在上恒成立，

而在上为增函数，则．

，等号成立时．

所以的取值范围为