2020届湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）


2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷
（理科）

题号
一
二
三
总分
得分





一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|-1＜x＜3，x∈N}，B={C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 设x∈R，则“x2-2x-3＞0”是“x＞4”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知a=30.4，b=log432，c=log550，则a，b，c在大小关系为（　　）
A. c＞b＞a B. b＞c＞a C. a＞c＞b D. b＞a＞c
4. 在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=750，则a2+a8=（　　）
A. 150 B. 160 C. 200 D. 300
5. 函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数ω不可能是（　　）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
6. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为（　　）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
7. 若函数f（x）=（x-a）3-3x+b的极大值为M，极小值为N，则M-N（　　）
A. 与a有关，且与b有关 B. 与a无关，且与b有关
C. 与a无关，且与b无关 D. 与a有关，且与b无关
8. 函数f（x）=的部分图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
9. 已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p∧q为真，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-2，] B. [，2] C. （-∞，-2] D. [2，+∞）
10. 定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且对任意不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，若关于x的不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. 0＜a＜1 B. -1＜a＜0 C. a＜1 D. -1＜a＜1
11. △ABC是边长为2的正三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC上三点，且AD=DF，∠ADE=∠FDE，则当线段AD的长最小时，∠ADE=（　　）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若f（x）≥kx在x∈[0，+∞）时总成立，则实数k的取值范围是（　　）
A. （-∞，1] B. （-∞，e] C. （-∞，2e] D. （-∞，e2]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若实数x，y满足，则2y-x的最大值是______．
14. 若，则=______．
15. 设函数，若f（x）≤3-ax恒成立，则实数a的取值范围是______．
16. 已知函数f（x）是上的奇函数，其导函数为f'（x），且f（1）=0，当x＞0时，f'（x）tanx-f（x）＞0，则不等式f（x）＞0的解集为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知函数．
（1）求函数f（x）的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数f（x）的图象上每一点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的值域．







18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知ac=4（c2-a2-b2），．
（1）求cosC；
（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长L．







19. 在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3=14．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令，（-1）ndn=ncn+n，求数列{dn}的前项和为Tn．







20. 为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神．某地大力加强生态综合治理．治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标在一定范围内波动．如图是治理开始后12个月内该地该项污类物指标随时间x（单位：月）变化的大致曲线，其近似满足函数：
f（x）=其中e=2.71828…，A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π
（1）求f（x）的表达式；
（2）若该项污染物指标不超过2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的12个月内，该地环境良好的时间长度大约有几个月[精确到整数，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）？









21. 已知函数f（x）=ex-a+1，g（x）=ln（ax+1）+1．
（1）证明：当a=1时，f（x）与g（x）在x=0处有公共的切线；
（2）对任意x∈[0，+∞）均有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．







22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若点P，Q分别是曲线C1，C2上的点，求|PQ|的最小值．







23. 已知函数f（x）=2|x+1|+|x-2|，f（x）的最小值为M．
（1）求M；
（2）若a＞0，b＞0，且a+b=M，求的最小值．







答案和解析
1.【答案】C

【解析】解：因为集合A={x|-1＜x＜3，x∈N}，
所以A={0，1，2}，
因为B={C|C⊆A}，
所以B中的元素为A的子集个数，即B有23=8个，
故选：C．
先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出．
本题考查集合，集合子集个数，属于基础题．
2.【答案】B

【解析】解：x2-2x-3＞0即为x＜-1或x＞3，
故“x2-2x-3＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，
故选：B．
解出集合，根据集合的包含关系判断充要性．
本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题．
3.【答案】B

【解析】解：a=30.4，b=log432=，c=log550=2+log52=．
故a＜c＜b．
故选：B．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
4.【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可知a3+a4+a5+a6+a7=5a5=750，
∴a5=150，
则a2+a8=2a5=300．
故选：D．
结合等差数列的性质可求a5，进而即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．
5.【答案】A

【解析】解：把函数的图象向右平移个单位后，可得y=sin[ω（x-）+]=sin（ωx-+]的图象，
再根据所得图象与原图象重合，则-=2kπ，k∈Z，即ω=-3k，
正数ω不可能等于2，
故选：A．
由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求出ω的表达式，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．
6.【答案】B

【解析】解：根据题意，设这个等比数列为{an}，设其公比为q，
又由a1=1，a13=2，则q12==2，
插入的第四个数应a5=a1q4=q4=，
故选：B．
根据题意，设这个等比数列为{an}，设其公比为q，由等比数列的通项公式可得q的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质以及应用，属于基础题．
7.【答案】C

【解析】解：y′=3（x-a）2-3，令y′=0，得，x=a-1，或x=a+1，
当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x
（-∞，a-1）
a-1
（a-1，a+1）
a+1
（1+a，+∞）
f'（x）
+
0
_
0
+
因此，函数f（x）在x=a+1处取得极小值，函数f（x）在x=a-1处取得极大值，
M-N=f（a-1）-f（a+1）=-1-3（a-1）+b-1+3（a+1）-b=4，
故选：C．
先求函数f（x）的导数，令导数等于0，得到函数的极值点，再判断极值点两侧导数的正负，即可求得极大值为M，极小值为N，即可判定M-N与a无关，且与b无关．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，考查了学生的运算能力．
8.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题.
先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．
【解答】
解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞），
f（-x）===f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A；
分别取x=1，x=2，得f（2）＜f(1)，故排除D；
当x=1时，f（1）=＜0，故排除C；
综上所述，只有B符合.
故选B．
9.【答案】A

【解析】解：当P为真时：x2-ax+1≥0恒成立，
即△=a2-4≤0，
解得：-2≤a≤2，
当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；
令y=，y'=，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；
故当x=e时，函数有最大值=；解得a≤；
∵p∧q是真命题，故命题是p，q都是真命题，
则-2≤a≤2且a≤
∴实数a的取值范围为[-2，]．
故选：A．
若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；则命题是P，Q一真一假，进而可得答案．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，属于中档题．
10.【答案】D

【解析】解：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），所以函数是奇函数，
且对任意不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，可得函数是增函数，
关于x的不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，
就是f（asinx）＞-f（1）=f（-1），
可得asinx＞-1恒成立．因为sinx ∈[-1，1]，
所以a∈（-1，1）．
故选：D．
利用已知条件判断函数的奇偶性以及函数的单调性，不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，转化不等式，然后求解即可．
本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的判定及应用，三角函数的最值，恒成立体积的转化求解参数a是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，是中档题．
11.【答案】C

【解析】解：∵△ABC是边长为2的正三角形且AD=DF，∠ADE=∠FDE，
∴在△BDF中，BD=2-AD，B=，∠BFD=2∠ADE-，0＜∠ADE＜，
由正弦定理，有，
∴，∴，
∵0＜∠ADE＜，∴当sin（2∠ADE-）=1，
即∠ADE=时，AD的取得最小值．
故选：C．
在△BDF中利用正弦定理可得，进一步得到，然后求出AD取最小值时∠ADE的值．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题．
12.【答案】A

【解析】解：当x=0时，f（x）≥kx显然恒成立；
当x＞0时，f（x）≥kx即为，设，则g′（x）=ex-x-k，g''（x）=ex-1＞0，
∴函数g′（x）在（0，+∞）上为增函数，
①当k≤1时，g′（x）＞g′（0）=1-k≥0，故函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）≥kx成立；
②当k＞1时，g′（0）=1-k＜0，g′（k）=ek-2k＞0，故存在x0∈（0，k），使得g′（x0）=0，
∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜kx，不符题意；
综上所述，实数k的取值范围为（-∞，1]．
故选：A．
当x=0时，显然成立；当x＞0时，则恒成立，令，分k≤1及k＞1讨论即可．
本题考查利用导数的综合运用，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】6

【解析】解：作实数x，y满足可行域如图所示，
由z=2y-x得y=x+z，作直线y=x+z平移，解得B（2，4）．
直线经过点B（2，4）时，该直线在y轴上的截距最大，此时zmax=2×4-2=6．
故答案为：6．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
14.【答案】-

【解析】解：=
=
=
=
=-，
故答案为：-．
利用两角和与差的公式展开，再利用齐次式构造法，转化成正切函数，代入即可．
考查两角和与差的公式，二倍角公式，中档题．
15.【答案】[0，1]

【解析】解：①当x≤2时，要使得4x-2≤3-ax恒成立，
当a=0时，4x-2≤40=1≤3恒成立；
当a≠0时，由图象可知，；
∴0＜a≤1；
综上，0≤a≤1；
②当2＜a＜3时，要使得log2（x-2）≤3-ax恒成立，
当a=0时，0＜x-2＜1；log2（x-2）＜0≤3，恒成立；
当a≠0时，有图象可知，，∴0＜a≤1；
综上，0≤a≤1．
故答案为：[0，1]．
根据题意，分x≤2和2＜x＜3两种情况，画出图象，分别求f（x）≤3-ax恒成立的a的取值范围即可．
本题考查了分段函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
16.【答案】（1，）∪（-1，0）

【解析】解：∵f（x）是上的奇函数，其导函数为f'（x），且f（1）=0，
令g（x）=，且x≠0，
又当x∈（0，）时，cosx＞0，
由f'（x）tanx-f（x）＞0可得f'（x）sinx-f（x）cosx＞0，
∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，）单调递增，且g（1）=f（1）=0，
又f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x），
所以g（-x）==g（x），即g（x）为偶函数，
当x时，g（x）＞0，f（x）＞0，
当x∈（-1，0）时，g（x）＜0，f（x）＞0，
综上可得，不等式的解集为（1，），∪（-1，0）．
构造函数g（x）=，结合已知可得，g′（x）＞0，即g（x）在（0，）单调递增，然后结合其奇偶性即可求解不等式．
本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于函数的导数的应用，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．
17.【答案】解：（1）=，
令，得，则函数f（x）的对称中心为，
令，得，则函数的单调递减区间为；
（2）由题意，，
∵，
∴，
∴，
∴函数g（x）的值域为．

【解析】（1）化简可得，再利用正弦函数的性质即可得解；
（2），结合，进而求得值域．
本题考查三角恒等变换及三角函数的图象及性质，属于基础题．
18.【答案】解：（1）因为，
所以sinC=2sinB，
所以c=2b，
又ac=4（c2-a2-b2），
所以cosC=；
（2）由c=2b，代入ac=4（c2-a2-b2），
的2a=3b，
又由（1）得sinC=，
所以，
所以c=6，b=3，a=，
所以三角形ABC的周长L=a+b+c=．

【解析】（1）由，得c=2b，结合余弦定理求出cosC；
（2）结合（1）的结论，和面积值为，求出a，b，c，再求出L．
考查了正余弦定理的应用，中档题．
19.【答案】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，
a1=1，b1=2，且b1，a2，b2成等差数列，
可得2a2=b1+b2，即2（1+d）=2+2q，即d=q，
数列{bn}的前n项和为Sn，且S3=14，可得2+2q+2q2=14，解得q=2，d=2，
则an=2n-1，bn=2n；
（2）=2n+1-1，
（-1）ndn=ncn+n=n•2n+1，
则dn=2n•（-2）n，
前项和为Tn=2•（-2）+4•4+6•（-8）+…+2n•（-2）n，
-2Tn=2•4+4•（-8）+6•16+…+2n•（-2）n+1，
相减可得3Tn=-4+2（4+（-8）+…+（-2）n）-2n•（-2）n+1
=-4+2•-2n•（-2）n+1，
化简可得Tn=--•（-2）n+1．

【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得=2n+1-1，dn=2n•（-2）n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由f（0）=eb+a=9，f（2）=e2k+b+a=3，f（3）=e3k+b+a=2，
联立解方程组得，，
故当0≤x≤3时，f（x）=；
当3＜x≤12时，由，得A=1，B=2，
T=2（9-5）=8=，所以，
由f（50=sin（）+2=1，-π＜φ≤π，得φ=，
综上，f（x）=；
（2）令f（x）≤2.5，
当0≤x≤3时，≤2.5，得4-log23≤x≤3；
当3＜x≤12时，，
当sin（）+2=2.5时，得x=8k-或者8k+，k∈Z，
又当3＜x≤12时，x=，
结合函数图象，故不等式的解集为，
故所求的时间长度为：12-+，
故地环境良好的时间长度大约有7个月．

【解析】（1）利用f（0）=eb+a=9，f（2）=e2k+b+a=3，f（3）=e3k+b+a=2，和函数的最大值和最小值，求出f（x）的解析式；
（2）分段解不等式f（x）≤2.5，得出结论即可．
考查函数求解析式，三角函数的性质等，中档题．
21.【答案】解：（1）证明：当a=1时，f（x）=ex，g（x）=ln（x+1）+1，则f′（x）=ex，f′（0）=1，
又f（0）=1，
∴f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，
∵，
∴g′（0）=1，
又g（0）=1，
∴g（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，
故f（x）与g（x）在x=0处有公共的切线y=x+1；
（2）由题可知：当x≥0时，ax+1＞0恒成立，故a≥0；当x=0时，f（0）≥g（0），
∴e-a+1≥1，则a≤1，
∴0≤a≤1，
∴ex-a+1≥ex，ln（ax+1）+1≤ln（x+1）+1，
令F（x）=ex-ln（x+1）-1（x≥0），则，令，则，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，即F′（x）≥0，
∴F（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）=0，
∴ex≥ln（x+1）+1，
∴ex-a+1≥ln（ax+1）+1，即f（x）≥g（x），
∴当0≤a≤1时，对任意x∈[0，+∞）均有f（x）≥g（x）．

【解析】（1）事实上，只需求得f（x）及g（x）在x=0处的切线方程，即可得证；
（2）易得0≤a≤1，故ex-a+1≥ex，ln（ax+1）+1≤ln（x+1）+1，再说明当0≤a≤1时，ex≥ln（x+1）+1即可．
本题考查利用导数求曲线的切线方程及利用导数研究函数的单调性及极值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x2=4y．
曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x-y-4=0．
（2）点P，Q分别是曲线C1，C2上的点，
设点P（4t，4t2）则点P到直线C2的距离d==，
所以．

【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．
（2）利用（1）的结论，利用点到直线的距离公式的应用和二次函数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2|x+1|+|x-2|=，
∴f（x）min=f（-1）=3．
（2）由（1）知a+b=3，
故=
=，
又a＞0，b＞0，
∴，，
∴，当且仅当时“=”成立，
∴，
∴的最小值为．

【解析】（1）根据参数去掉绝对值，成分段函数，分段函数的最小值为每一段函数的最小值中的最小值．
（2）有（1）知a+b=3，合理构造使得可以使用均值不等式，求最小值．
本题考查绝对值不等式，基本不等式，注意合理构造，属于中等题．