2020届江苏省常熟市高三3月“线上教育”学习情况调查数学试题
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高 中 数 学 2020．3
注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；
3．答题时必须使用0. 5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卷相应位置上．
1．已知集合，则=▲.
2．某校高一、高二、高三学生数之比为2：3：4，现用分层抽样方法抽取位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则=▲.
3．有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是▲.
4．若执行右面的程序框图，则输出的k值是▲.
5．复数（其中i是虚数单位）的虚部是▲.
6．已知，且，则▲.
7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有▲盏灯.
8. 双曲线的渐近线与抛物线的两个交点(原点除外)连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为▲.
9. 四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，则四棱锥的侧面积是▲.
10.已知正项数列的前项和为，且，，则▲.
11. 已知函数，若，则x▲.
12.若对于给定的正实数k，函数f(x)＝的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是▲.
13.已知平面四边形ABCD中，，则BC=▲.
14.设函数（）的两个极值点分别为，若-2恒成立，则实数a的取值范围是▲.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，点分别为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：EF平面.
16. (本小题满分14分)
在中，角的对边分别为，，，已知．
（1）若的面积为，求，；
（2）若，求的面积．
17. (本小题满分15分)
江南某湿地公园内有一个以为圆心，半径为米的圆形湖心洲.该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，且两平行线之间的距离为米.公园管理方拟修建一条木栈道,其路线为(如图，在右侧）.其中，与圆相切于点，米. 设 满足
.
（1）试将木栈道A-B-C的总长表示成关于的函数，并指出其定义域；
（2）求木栈道A-B-C总长的最短长度.
18. (本小题满分15分)
已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，过椭圆C上一点的直线与椭圆交于两点（均不在坐标轴上），设为坐标原点，过的射线OP与椭圆交于点.
（1）若，求实数的值；
（2）当为时，若四边形的面积为，试求直线的方程.
19. (本小题满分16分)
构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，第三组是，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的倍得到下一组，其中．设第组中有个数，且这个数的和为().
（1）直接写出与的关系式，并求和；
（2）已知，，是数列的前项和，是数列的前项和.若对任意，，求所有满足条件的正整数的值.
20. (本小题满分16分)
已知函数，.
（1）设,
①当时，求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：对任意恒成立.
（2）讨论的极值点个数.
