2026年山东省中考数学试卷（含解析）

这是一份2026年山东省中考数学试卷（含解析），共7页。
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.
1．下列实数中，比1大的数是（ ）
A．B．0C．0.5D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成如图．
根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A．甲的跳绳成绩总是高于乙
B．甲的跳绳成绩的众数为184
C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙
D．甲的跳绳成绩的方差小于乙
9．在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意实数，总成立
D．若点，在抛物线上，则
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
12．如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于 ．
13．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是 ．
14．如图，一组反比例函数，，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，，．若，则 ．
15．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则△的面积为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
17．如图，在△中，于点，点，，分别是边、，的中点．
（1）求证：△△；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
18．在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
19．如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
20．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．
【调查内容】
【数据处理】
信息1 将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2 将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
信息3 问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
21．我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，可知仰角，．
如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，则仰角 ， （结果精确到．
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图的顶端到地面的距离的长度）．
如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到．
22．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
23．在△中，，．
【观察与发现】
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【思考与探究】
（2）如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1．下列实数中，比1大的数是（ ）
A．B．0C．0.5D．
解：．，故不符合题意；
．，故不符合题意；
．，故不符合题意；
．，故符合题意；
故选：．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
故选：．
3．山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
解：．
故选：．
4．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
解：从上面看得该几何体的俯视图是：
故选：．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：与不是同类项，不能合并，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故不正确．
故选：．
6．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
解：，
．
，
．
由所给作图步骤可知，平分，
，
，
．
故选：．
7．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
解：原式．
故选：．
8．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成如图．
根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A．甲的跳绳成绩总是高于乙
B．甲的跳绳成绩的众数为184
C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙
D．甲的跳绳成绩的方差小于乙
解：由图可知，甲的成绩为：181，180，179，184，186，186；乙的成绩为：177，179，181，183，188，188；
对于，第3天甲的成绩179小于乙的成绩181，故错误；
对于，甲的成绩中186出现了2次，出现次数最多，众数是186，故错误；
对于，甲的成绩从小到大排列为179，180，181，184，186，186，中位数为；
乙的成绩从小到大排列为177，179，181，183，188，188，中位数为；
，
甲的中位数大于乙，故错误；
对于，甲成绩的波动范围比乙成绩的波动范围小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙，
故选：．
9．在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（ ）
A．B．C．D．
解：由题意，当时，
设小英的函数关系式为，则，
．
此时．
小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，
当时，．
设小杰的函数关系式为，
又图象过，
，则．
小杰的函数关系式为．
联立方程，
．
小英在后追上小杰，此时的时刻是．
故选：．
10．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意实数，总成立
D．若点，在抛物线上，则
解：由图象可知，抛物线开口向下，则．
顶点的坐标为，
对称轴为直线，即，
，即，故错误；
设抛物线的解析式为，
令，得，即抛物线与轴的交点坐标为．
由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，
，
解得，故正确；
根据图象得：当时，取得最大值为：，
对任意实数，，
，故错误；
对称轴为，
，，
当时，两点到对称轴的距离相等，，故错误．
故选：．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
解：．
故答案为：．
12．如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于 720 ．
解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为，
故答案为：720．
13．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是 2 ．
解：，
或，
或，
方程另一个根是2．
故答案为：2．
14．如图，一组反比例函数，，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，，．若，则 36 ．
解：由得，
（舍负），
所以点坐标为，
则，
同理可得，，，
所以．
因为，
则，
所以．
因为，
所以．
当时，．
故答案为：36．
15．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则△的面积为 1.8 ．
解：过点作于点，连接，如图所示：
，
四边形是平行四边形，，
，，
点是的中点，且，
，
设，则，
由折叠性质得：，，，
在△和△中，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，，
，
，
．
，
，，
，
，
．
，
在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的面积为：，
，
，
△的边上的高与△的边上的高相同，
，
．
故答案为：1.8．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
解：（1）原式；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是．
17．如图，在△中，于点，点，，分别是边、，的中点．
（1）求证：△△；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1）在△中，于点，点，，分别是边、，的中点，
，，
，，，
，
，
△△；
（2）四边形是平行四边形，
理由如下：
点，，分别是边、，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
18．在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
解：（1）设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为元，元．
由题意，
解得．
答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元；
（2）设购买描金琉璃瓶个，购买内画瓶个．总费用为元．
则有，
由题意，
解得，
，
当时，最小，最小值．
故当购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元．
19．如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
△△，
，
，
，
的半径为．
20．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．
【调查内容】
【数据处理】
信息1 将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2 将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
信息3 问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
解：（1）参与调查的学生总数为（名，
选择主题⑤的人数为（名，
则选择主题③的人数为（名，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约有410名；
（3）将“科技”“交通”“经济”三个领域分别记作、、，
列表表示如下：
由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果，
所以两人恰好选择同一领域的概率为；
（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．
21．我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，可知仰角，．
如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，则仰角 ， （结果精确到．
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图的顶端到地面的距离的长度）．
如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到．
解：（1）根据题意可得：，，
，
，
在正方形中，
，
，
，
故答案为：；1.8；
（2）根据题意得：，，，，，，，
，
△中，，
即，
，
设，则，
，
，
，
△ 中，，
即，
解得：，
，
答：城门楼的顶端到地面的距离约为．
22．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
解：（1）①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的坐标系，如图，
则，，，
点为最高点，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
，
，
，
关于的函数表达式为；
②花枪下落过程中，
，
当时，，
或（不合题意，舍去），
当时，，
或（不合题意，舍去），
枪下落过程中，能接到的高度最大为，最小为，的取值范围为．
（2）花枪飞行高度与时间之间的关系式是，
花枪落地时，
，
或（不合题意，舍去），
乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要秒，
设丙的平均速度为，
乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪，
，
，
丙的平均速度至少为．
23．在△中，，．
【观察与发现】
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【思考与探究】
（2）如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．
【解答】（1）证明：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
△为等边三角形，
，，
，
，
，
△△，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，，
，即，
，
，
△△，
，，
，
，
；
（3）解：延长，并取点，使，过点作于点，如图所示：
则，
，
为△ 的中位线，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
，，
，，
，
在△中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，，
或2．
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图
②读书长廊地面没铺设计
③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线
⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
．查阅文献
．上网查询
．同伴合作
．寻求指导
．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
解决困难的方式
选择人数
32
41
33
35
28
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图
②读书长廊地面没铺设计
③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线
⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
．查阅文献
．上网查询
．同伴合作
．寻求指导
．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
解决困难的方式
选择人数
32
41
33
35
28