2025-2026学年下学期重庆巴蜀科学城中学高二数学2026年6月定时测试试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期重庆巴蜀科学城中学高二数学2026年6月定时测试试卷含答案，共6页。试卷主要包含了单选题.，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知命题P:∀x>2，x2−2x>0，则命题P的否定为（ ）
A. ∀x≤2，x2−2x>0B. ∀x>2，x2−2x≤0
C. ∃x>2，x2−2x≤0D. ∃x≤2，x2−2x≤0
2. 若随机变量X∼N(1,σ2)，且P(X≤0)=0.3，则P(1≤X≤2)=（ ）
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
3. 等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则a3+a1a3+a2的值（ ）
A. −2B. −12
C. 12D.2
4. 已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球8次，记摸到白球的个数为随机变量X，则X的方差D(X)=（ ）
A.1B.2
C. 32D. 54
5. “x>2”是“2x−3x−1>1”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在(x2−x−2)6的展开式中x2项的系数是（ ）
A. −48B. −24
C.24D.48
7. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=2，当x>0时，xf'(x)+2f(x)>0，则使得f(x)>2x2成立的x的取值范围是（ ）
A. (1,+∞)B. (−1,0)∪(0,1)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
8. 如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点是F1、F2，P为椭圆上一点，∆PF1F2在PF2边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线PF1相切于D点，与x轴相切于A点，若DF1=3AF2，则椭圆的离心率是（ ）
A. 12B. 13
C. 22
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 决定系数R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=−0.73，rB=0.65，则B组数据比A组数据的线性相关性强
C. 在经验回归方程y^=b^x+2中，若x¯=3，y¯=5，则变量x与y正相关
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的独立性检验（x0.05=3.841），可认为X与Y有关
10. 已知函数f(x)=x3−3ax+2a (a>0)，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f(x)有两个极值点
B. 直线y=2a与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点
C. 若f(x)有三个零点，则a>1．
D. 若a∈(1,+∞)，对∀x1,x2∈[−1,1]，都有|f(x1)−f(x2)|1)= ．
14. 设f(x)=lnx−1x+1(x2+2ax+b)，若f(x)≥0恒成立，则f(2)的取值范围为
四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2．
（1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2）求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值．
16. 设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=(−1)nnan，求数列{bn}的前n项和Tn．
17. 在平面直角坐标系xOy中，点A1,32，B3,32在椭圆C:mx2+ny2=1(m>0,n>0)上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l过点3,0，且与椭圆C交于D，E两点，若点T(t,0)使得kTD+kTE=0恒成立，求t的值.
18. 已知函数f(x)=ex−ax−a2.
（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围.
19. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为P(x,y)，且对任意的P(x,y)，均有−1≤x≤1，−1≤y≤1。现规定只要蚂蚁到达的点P(x,y)满足|x|+|y|=2，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第k次成功时所移动的总步数为ξk，k∈N∗。
（1）求ξ1=4的概率；
（2）求随机变量ξ1的数学期望E(ξ1)；
（3）求随机变量ξk的数学期望E(ξk)；
参考公式：①若c>1，则当n→+∞时，an+bcn→0；②对离散型随机变量X，Y，有：E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二下6月数学定时测试---参考答案
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知命题P:∀x>2，x2−2x>0，则命题P的否定为（ ）
A. ∀x≤2，x2−2x>0B. ∀x>2，x2−2x≤0
C. ∃x>2，x2−2x≤0D. ∃x≤2，x2−2x≤0
【答案】C 命题P的否定形式为：∃x>2，x2−2x≤0.
2. 若随机变量X∼N(1,σ2)，且P(X≤0)=0.3，则P(1≤X≤2)=（ ）
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
【答案】A 由正态分布的对称性可知P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.5−P(X≤0)=0.2.
3. 等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则a2+a1a3+a2的值（ ）
A. −2B. −12
C. 12D.2
【答案】B 等比数列{an}中，a2=a1q，a3=a1q2，a1≠0，
因为a2，a1，a3成等差数列，所以2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，
整理得q2+q−2=0，解得q=−2或q=1（舍去）.
所以a2+a1a3+a2=a1q+a1a1q2+a1q=q+1q2+q=−2+1(−2)2+(−2)=−12.
4. 已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球8次，记摸到白球的个数为随机变量X，则X的方差D(X)=（ ）
A.1B.2
C. 32D. 54
【答案】C 依题意每次摸到白球的概率为p=28=14，则X∼B(8,14)，X的方差D(X)=8×14×(1−14)=32.
5. “x>2”是“2x−3x−1>1”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 2x−3x−1>1⇒x−2x−1>0⇒(x−2)(x−1)>0⇒x2，
因为{x|x>2}是{x|x2}的真子集，所以“x>2”是“2x−3x−1>1”的充分不必要条件.
6. 在(x2−x−2)6的展开式中x2项的系数是（ ）
A. −48B. −24
C.24D.48
【答案】D (x2−x−2)6=[(x−2)(x+1)]6=(x−2)6(x+1)6，
(x−2)6中x2项的系数为C64×(−2)4=240，x项的系数为C65×(−2)5=−192，常数项为C66×(−2)6=64，
(x+1)6中x2项的系数为C64×14=15，x项的系数为C65×15=6，常数项为C66×16=1，
所以展开式中含有x2项的系数为240×1+64×15+(−192)×6=48.
7. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=2，当x>0时，xf'(x)+2f(x)>0，则使得f(x)>2x2成立的x的取值范围是（ ）
A. (1,+∞)B. (−1,0)∪(0,1)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
【答案】C 设g(x)=x2f(x)，则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=xxf'(x)+2f(x)，
当x>0时，有xf'(x)+2f(x)>0，所以当x>0时，g'(x)>0，
所以函数g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上为增函数，因为函数f(x)是偶函数，所以g(x)=x2f(x)是偶函数，由f(x)>2x2，得x2f(x)>2，又f(1)=2，所以x2f(x)>12·f(1)，
所以g(x)>g(1)，所以g(|x|)>g(1)，又函数g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上为增函数，
所以|x|>1，解得x1，所以f(x)>2x2成立的x的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)。
8. 如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点是F1、F2，P为椭圆上一点，∆PF1F2在PF2边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线PF1相切于D点，与x轴相切于A点，若DF1=3AF2，则椭圆的离心率是（ ）
A. 12B. 13
C. 22D. 23
【答案】A 设旁切圆与PF2相切于B，由题意可知，|F1D|=|F1A|，|F2B|=|F2A|，|PD|=|PB|，设|AF2|=m，则|DF1|=3m，
|F1D|=|F1A|=3m，又|PF1|+|PF2|=2a，且|PF1|=|DF1|−|PD|=|DF1|−|PB|=3m−|PB|，
|PF2|=|PB|+|F2B|=|PB|+|F2A|=|PB|+m，所以3m−|PB|+|PB|+m=2a，即a=2m，
又|F1A|=|F1F2|+|F2A|=2c+m=3m，即c=m，所以e=ca=m2m=12。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 决定系数R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=−0.73，rB=0.65，则B组数据比A组数据的线性相关性强
C. 在经验回归方程y^=b^x+2中，若x¯=3，y¯=5，则变量x与y正相关
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的独立性检验（x0.05=3.841），可认为X与Y有关
【答案】ACD 根据决定系数R2越大，模型拟合效果越好，残差的平方和越小，故A正确，
根据样本相关系数|r|越接近1，线性相关性越强，因为|rA|>|rB|，
故A组数据比B组数据的线性相关性强，故B错误；根据经验回归方程必然过点(x¯,y¯)，代入可得5=3b^+2，
解得b^=1>0，故变量x与y正相关，故C正确；
根据独立性检验，χ2=4.712>3.841，根据小概率值α=0.05的独立性检验，可认为X与Y有关。
10. 已知函数f(x)=x3−3ax+2a(a>0)，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f(x)有两个极值点
B. 直线y=2a与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点
C. 若f(x)有三个零点，则a>1
D. 若a∈(1,+∞)，对∀x1,x2∈[−1,1]，都有|f(x1)−f(x2)|0)，求导得f'(x)=3x2−3a=3(x−a)(x+a)，
选项A：因为a>0，f'(x)=0有两个不同的实根x=±a，
且在x=±a两侧导数符号改变，因此f(x)有两个极值点，A选项正确；
选项B：令f(x)=2a，得x3−3ax=0，即x(x2−3a)=0，解得x=0，x=±3a，
因此直线y=2a与f(x)图象有3个公共点，B选项错误；
选项C：f(x)的极大值为f(−a)=2aa+2a>0（a>0恒成立），
极小值为f(a)=2a(1−a)，f(x)有三个零点等价于极小值小于0，
即2a(1−a)0得a>1，即a>1，C选项正确；
选项D：当a∈(1,+∞)时，a>1，所以f′(x)1时，6a−2>4，不满足|f(x1)−f(x2)|1)= 。
【答案】58或0.625 依题意共有43=64种情况，显然X≠0，
考虑X=1即三位同学各去了一个地方的情况，有A43=24种，所以P(X>1)=1−P(X=1)=1−2464=58。
14. 设f(x)=lnx−1x+1(x2+2ax+b)，若f(x)≥0恒成立，则f(2)的取值范围为 。
【答案】[2ln2+1,+∞) 设g(x)=lnx−1x+1，定义域x>0，求导得g'(x)=1x+1x2>0，
故g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，因此：当x>1时，g(x)>0；当x=1时g(x)=0；当00时，最小值趋近于0，故m最大为m≤0），
由f(2)=ln2−12+1(4+4a+b)=12+ln2(4+4a+b)，
因为m=−2a−1⇒a=−1+m2，且b=m，所以4a+b=−4×1+m2+m=−m−2≥−2，
即f(2)=12+ln2(4+4a+b)≥1+2ln2，所以f(2)的取值范围为[2ln2+1,+∞)。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2。
（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值。
解：（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，
又因为AB⊥BC，且AB交BB1于B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1， （3分）
因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，又因为AB=AA1=2， （5分）
所以侧面ABB1A1为正方形，所以AB1⊥A1B，
因为A1B交BC于B，且A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC。 （6分）
（2）解法一（等体积法）：设点C1到平面A1BC的距离为h。
因为VC1−A1BC=13×h×S∆A1BC=13×h×12×2×22=22h3， （8分）
VA−BCC1=13×A1B1×S∆BCC1=13×2×12×2×2=43. 由VC1−A1BC=VA1−BCC1得22h3=43，即h=2 （11分）
所以直线B1C1与平面A1BC所成角正弦值为hBC1=222=12. ____________________ （13分）
解法二：如图，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，B1(0,0,2)， （8分）
由（1）知，AB1⊥平面A1BC，
所以平面A1BC的一个法向量为n=AB1→=(−2,0,2)，取n=(−1,0,1)，
直线BC1的方向向量为BC1→=(0,2,2)， （10分）
设直线BC1与平面A1BC所成的角为θ，
则sinθ=|cs⟨n，BC1→⟩|=|n·BC1→||n||BC1→|=|−1×0+0×2+1×2|2×8=24=12
（12分）
所以直线BC1与平面A1BC所成角正弦值为12. （13分）
16. 设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.
（1）求{an}的通项公式；（2） 设bn=(−1)nnan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 （1）因为4Sn=3an+4，① 所以当n≥2时，4Sn−1=3an−1+4.② （2分）
则当n≥2时 ①−②得4an=3an−3an−1，即an=−3an−1. （5分）
当n=1时，由4S1=3a1+4，得4a1=3a1+4， 求出a1=4≠0，
所以数列{an}是以4为首项，−3为公比的等比数列，所以an=4×(−3)n−1. （6分）
（2）因为bn=(−1)nnan=(−1)nn×4×(−3)n−1=4n·3n−1， 求bn （8分）
所以Tn=4×1+8×3+12×32+...+4n·3n−1，所以
3Tn=4×1×3+8×32+12×33+...+4n·3n， （11分）
两式相减得−2Tn=4+4(3+32+...+3n−1)−4n·3n=4+4×3(1−3n−1)1−3−4n·3n， =2+(2−4n)·3n， （14分）
所以Tn=1+(2n−1)·3n. （15分）
17. 在平面直角坐标系xOy中，点A1,32，B3,32在椭圆C:mx2+ny2=1(m>0,n>0)上.
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过点3,0，且与椭圆C交于D，E两点，若点T(t,0)使得kTD+kTE=0恒成立，求t的值.
解：（1）由题意有{m+94n=13m+34n=1，解得{m=14n=13， （4分）故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.（5分）
（2）若直线l斜率不为0，设直线l的方程为x=py+3， （6分）
将直线l与椭圆C:x24+y23=1方程联立，得(3p2+4)y2+63py−3=0，显然Δ>0，
设D(x1,y1)，E(x2,y2)，于是由韦达定理可得：y1+y2=>−63p3p2+4，y1y2=>−33p2+4（∗）， （9分）
因为kTD+kTE=0，即y1x1−t+y2x2−t=0，则y1(x2−t)+y2(x1−t)=0
y1(py2+3−t)+y2(py1+3−t)=0，2py1y2+(3−t)(y1+y2)=0，
将（∗）代入，得>−6p3p2+4+>−63p(3−t)3p2+4=0 （11分）
整理得−6p−63p(3−t)=−6p(4−3t)=0。
由p的任意性，可得t=>433， （13分）
若直线l斜率为0，取t=>433，此时kTD=kTE=0，也满足题意。
故所求t=>433。 （15分）
18. 已知函数f(x)=ex−ax−a2
（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围。
解：（1）当a=1时，f(x)=ex−x−1，则f'(x)=ex−1， （2分）
当x0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增， （4分）
函数f(x)在x=0处取得极小值，极小值f(0)=0 （6分）
（2）可知f'(x)=ex−a，
当a≤0时，f'(x)>0在ℝ上恒成立，即f(x)在ℝ上单调递增，此时不存在最小值。
当a>0时，令f'(x)=0，即ex−a=0，解得x=lna， （8分）
则当x0，函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增，
在x=lna处取得极小值，也是最小值， （11分）
最小值f(lna)=elna−alna−a2=a−alna−a2，
令函数g(a)=a−alna−a2(a>0)，则g'(a)=−lna−2a，
可知函数g'(a)在(0,+∞)上单调递减，可知a→0时，g'(a)→+∞，且g'(1)=−2t时，g'(a)