辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题：（本题共10小题，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 若分式的值为0，则x的值为
A. 3B. C. 3或D. 0
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若，则
C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( )
A. 12B. 15C. 24D. 30
9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（ ）
A. B. C. 5D. 4
10. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分式化简的结果为______．
12. 如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______．
13. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
14. 在函数中，自变量x的取值范围是_________________．
15. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______．
三、解答题：（本大题共8小题，共75分）
16. 解答下列各题：
（1）；
（2）．
17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
18. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的；
（2）若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________；
（3）画出关于点成中心对称的图形．
20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
（1）求种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
，
原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
（1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法）
（3）已知，请直接写出的最小值．
22. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，．
（1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：．
（2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，．
①证明：．
②若延长交于点P，求的长度．
（3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明）
23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”．
（1）若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）；
（2）如图，直线与直线相交于点．
①求点的坐标；
②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围．
数学
满分：120分 时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题：（本题共10小题，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．
解答过程：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：B
解析：
思路：本题考查了不等式的性质．
根据不等式的性质逐一判断即可．
解答过程：解：A．仅当时原说法成立，故错误；
B． 若，则，原说法成立，故正确；
C． 仅当时原说法成立，故错误；
D． 仅当，时原说法成立，故错误；
故选：B．
3. 若分式的值为0，则x的值为
A. 3B. C. 3或D. 0
答案：A
解析：
思路：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答过程：由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0，
解得x=3．
故选A．
方法提示：本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标．
解答过程：解：由题意，点向上平移5个单位得到点，
∴点向上平移5个单位得到点，
∴点的坐标为，即；
故选B．
5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
解答过程：解：A、是乘法运算，则A不符合题意；
B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
6. 如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，多边形内角和．
先根据等边对等角和三线合一得到，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，根据三角形内角和求出，根据四边形内角和即可求出的度数．
解答过程：解：∵，，分别为的中点，
∴，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
∴，，
由三角形内角和可知：，
∴，
∴，
由四边形内角和可知：，
即，
∴，
故选：A．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若，则
C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
答案：C
解析：
思路：本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键．
解答过程：解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( )
A. 12B. 15C. 24D. 30
答案：B
解析：
思路：本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
由翻折可得，进而可得，结合的周长为的周长为42，可得，即可得出答案．
解答过程：解：由翻折可得，，
∵四边形为平行四边形，
，
，，，
∵的周长为12，
，
又∵的周长为42，
，
，
解得：．
故选：B．
9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（ ）
A. B. C. 5D. 4
答案：C
解析：
思路：本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
先求出，连用两次30度角的性质即可求出长．
解答过程：解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
答案：B
解析：
思路：本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可．
解答过程：解：由作图可知，，设交于点，则：，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，，
∴，
∴的周长为；
故选B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分式化简的结果为______．
答案：
解析：
思路：本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
将分子与分母的公因式约去即可．
解答过程：解：，
故答案为：．
12. 如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______．
答案：
解析：
思路：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得到直线落在直线的上方对应的的取值即为所求．
解答过程：解：把代入，得．
所以，
所以直线与直线相交于点，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：．
13. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
答案：32
解析：
思路：设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
解答过程：解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
方法提示：本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
14. 在函数中，自变量x的取值范围是_________________．
答案：且．
解析：
思路：根据分式与二次根式有意义的条件可得答案．
解答过程：解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．．
方法提示：本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
15. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______．
答案： ①. 4 ②. ##
解析：
思路：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的关键．
首先在中，由于，所以可以解，即可以过C作于O，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过D作于H，可以求出的长度，连接交于M，过Q作于G，可以证明，所以，由此得到Q在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当时，长度最小．
解答过程：解：如图1，过C作于O，过D作于H，
在中，
在中，
∵平分
，
在中，
∴可设
，
如图2，过Q作于G，连接交于M，
∵四边形为平行四边形，
在与中，
，
故Q到直线的距离始终为2，
∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3，
最小值为：
故答案为：6，
三、解答题：（本大题共8小题，共75分）
16. 解答下列各题：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）直接利用完全平方公式因式分解即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
答案：，正整数解为1、2、3、4
解析：
思路：先分别求解两个一元一次不等式，得到两个解集后取公共部分得到不等式组的解集，再从中找出所有正整数即可．
解答过程：解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为 ，
∴不等式组的所有正整数解为1、2、3、4．
18. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
答案：（1）证明过程见解析；（2）8
解析：
思路：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
解答过程：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是平行四边形ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）∵ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在▱ABCD中，AD=BC=5，
∴DE==4，
∴CD=2DE=8
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的；
（2）若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________；
（3）画出关于点成中心对称的图形．
答案：（1）见解析 （2）
（3）见解析
解析：
思路：（1）利用平移的性质画图；
（2）利用勾股定理求解；
（3）找出对称中心，利用中心对称的性质画图．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：根据勾股定理得，平移的距离为；
（3）解：如图所示，即为所求．
20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
（1）求种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
答案：（1）种文创产品每件的进价为元
（2）小张最多可以购进50件种文创产品
解析：
思路：本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
（1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：，
答：种文创产品每件的进价为元；
（2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：；
答：小张最多可以购进50件种文创产品．
21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
，
原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
（1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法）
（3）已知，请直接写出的最小值．
答案：（1）
（2）当时，有最大值13
（3）最小值
解析：
思路：此题考查了完全平方公式的运算，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）模仿题干中的解题过程，进行求解即可；
（2）首先将多项式配方为，然后得到，进而求解即可；
（3）将变形为，然后根据非负数的性质进行求解即可．
（1）解：
（2）解：
，
原式，
即当时，原式有最大值13．
（3）解：
，
，
原式有最小值．
22. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，．
（1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：．
（2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，．
①证明：．
②若延长交于点P，求的长度．
（3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明）
答案：（1）见解析 （2）①见解析；②
（3）解析：
思路：（1）先证明，再利用即可证明；
（2）①由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，即；②由勾股定理求出的长，可证明，则，可得，求出的长即可得到答案；
（3）作，且使得，连接，可证明；证明，得到；过点A作于点G，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
②∵，
∴，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，作，且使得，连接，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A作于点G，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”．
（1）若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）；
（2）如图，直线与直线相交于点．
①求点的坐标；
②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围．
答案：（1）A，C （2）①（2，2）；②当2＜a＜6时；当a≥6时
解析：
思路：本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算．
（1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断；
（2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定的坐标，再根据三角形面积公式求解；
（1）解：，‘
点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义；
点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，，不满足“1阶界点”定义；
点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0，，满足“1阶界点”定义；
故答案为：；
（2）①直线与直线相交于点，
解方程组，
解得，，
点E的坐标为；
②直线上有两个“阶界点”，
，
如图，
对于，若到轴距离为，则或，
当时，即，
，
此时过作轴交于点，则，
，
；
当时，
当时，解得；
当时，解得，
，，
对于，若到轴距离为，则或，
，；
以为底，高为，的长度为，
，
综上，．