人教版七年级数学下册期末复习 专题05 不等式与不等式组(期末复习知识清单)

这是一份人教版七年级数学下册期末复习 专题05 不等式与不等式组(期末复习知识清单)，共10页。

不等式
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
不等式的性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果，那么
如果，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．
不等式的传递性：如果，，那么．
易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
一元一次不等式（组）
（1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
（2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。
解一元一次不等式组
解一元一次不等式组的步骤：
（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；
（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；
（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
含参数类不等式组的问题
方法步骤总结：
① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；
② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；
③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）；
④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。
一元一次不等式组的应用
步骤如下：
（1）审：审清题意，找出已知量和未知量；
（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）；
（3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；
（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；
（5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；
（6）写出答案（包括单位名称）。
题型1 不等式的定义
【例1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）“大于”用不等号表示为（ ）
A．>B．，即可解答．
【详解】解：“大于”用不等号表示为>．
故选A．
【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为vkm/h，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ）
A．v≤120B．60≤v≤100C．60≤v≤120D．601，不成立；
对于选项C：2.5>2，不成立；
对于选项D：2.5>2，成立．
故选：D．
【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．x=1是不等式3x>5的解B．x=2是不等式3x>5的唯一解
C．x=2是不等式3x>5的解集D．x=2是不等式3x>5的一个解
【答案】D
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，x=a(a是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式3x>5，
可得x>53．
A.由于x=15的解，故选项错误；
B.由于x=2>53，故x=2是不等式3x>5的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于x=2>53，故x=2不是不等式3x>5的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于x=2>53，故x=2不是不等式3x>5的一个解，故选项正确；
故选D．
题型3 不等式的性质
【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−2>b−2B．bb，两边同时减去2得a−2>b−2，则A成立，不符合题意，
由a>b得bb，两边同时乘以−2得−2ab，当m0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．±1B．1C．−1D．0
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到m=1，求解即可．
【详解】解：∵x|m|−5>0是关于x的一元一次不等式，
∴m=1，
∴m=±1．
故选：A
题型5 求一元一次不等式的解集
【例5】（24-25七年级下·吉林白山·期末）解不等式：5−x≤4x+13，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x≥2；数轴见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：5−x≤4x+13
35−x≤4x+1
15−3x≤4x+1
−3x−4x≤1−15
−7x≤−14，
解得x≥2
∴原不等式的解集为x≥2，
数轴表示为：
【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式2x−2≤4−x的解集为（ ）
A．x≤6B．x≥2C．x≥6D．x≤2
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式，移项，合并，系数化为1，解不等式即可．
【详解】解：2x−2≤4−x，
2x+x≤4+2，
即3x≤6，
解得x≤2；
故选D．
【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（ ）
A．−3x≤12B．3x>12C．−3x≥12D．3x≤12
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键．
分别求出每一个不等式的解集即可判断在数轴上表示的解集是否正确．
【详解】解：A、−3x≤12，解得x≥−4，故本选项符合题意；
B、3x>12，解得x>4，故本选项不符合题意；
C、−3x≥12，解得x≤−4，故本选项不符合题意；
D、3x≤12，解得x≤4，故本选项不符合题意；
故选：A．
题型6 一元一次不等式解实际问题
【例6】（24-25七年级下·山西长治·期末）根据2025年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分．学生可选择足球、篮球、排球其中1项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目．为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买3个篮球和2个足球需花费460元，购买2个篮球和5个足球需花费600元．
(1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？
(2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过2220元，且购买篮球和足球共24个，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)购买一个篮球需花费100元，购买一个足球需花费80元；
(2)最多可以购买15个篮球．
【分析】（1）设购买一个篮球需花费x元，购买一个足球需花费y元，根据购买3个篮球和2个足球需花费460元，购买2个篮球和5个足球需花费600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买a个篮球，则购买足球（24−a）个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过2220元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费x元，购买一个足球需花费y元，
依题意得3x+2y=4602x+5y=600，
解得x=100y=80，
答：购买一个篮球需花费100元，购买一个足球需花费80元．
（2）解：设购买a个篮球，则购买足球24−a个，
依题意得100a+8024−a≤2220，
解得：a≤15，
答：最多可以购买15个篮球．
【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有1道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？
【答案】小明至少答对14道题，总分才不会低于60分
【分析】设小明答对x道题，则答错20−1−x道题，利用总分=5×答对题目数−2×答错题目数，结合总分不低于60分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：设小明答对x道题，则答错20−1−x道题，
根据题意得：5x−220−1−x≥60，
解得：x≥14，
∴x的最小值为14．
答：小明至少答对14道题，总分才不会低于60分．
【变式2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）研究发现人身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时释放的热量如下表所示：
(1)若小明计划平均每餐所吃碳水化合物释放的热量不超过6000千焦，则他每餐最多吃多少克碳水化合物？
(2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27 千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20 克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）
【答案】(1)他每餐最多吃400克碳水化合物
(2)小祺至少需要分配43分钟进行快走
【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，理解数量关系，正确列出一元一次不等式是关键．
（1）设小明每餐吃x克碳水化合物碳，由小明计划平均每餐所吃碳水化合物释放的热量不超过6000千焦，列一元一次不等式求解即可；
（2）设小祺分配m分钟进行快走，则分配60−m分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：设小明每餐吃x克碳水化合物碳，
根据题意：15x≤6000，
解得：x≤400，
答：他每餐最多吃400克碳水化合物；
（2）解：设小祺分配m分钟进行快走，则分配60−m分钟骑脚踏车，
根据题意，得27m+2060−m≥40×15+20×45，
解得m≥3007，
∵结果精确到1分钟，
∴m的最小值为43，
答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．
题型7 解一元一次不等式组
【例7】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）解不等式组：5x+3>3(x−1)x−22≤6−3x
【答案】−33(x−1)，得：x>−3，
解不等式x−22≤6−3x，得：x≤2，
∴该不等式组的解集为−3xx