人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题01 相交线与平行线(十四大类题型)

这是一份人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题01 相交线与平行线(十四大类题型)，共10页。
题型1 对顶角﹑邻补角（常考点）
题型8 铅笔模型（难点）
题型2 垂直+直角的计算（常考点）
题型9 判断命题的真假（常考点）
题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（常考点）
题型10 写出命题的题设与结论
题型4利用平行的性质求角度（重点）
题型11 逻辑与推理
题型5 平行线的证明（常考点）
题型12 利用平移的性质求解（重点）
题型6 平行线的判定与性质综合（重点）
题型13 利用平移解决实际问题（常考点）
题型7 猪蹄模型（难点）
题型14 平移-作图（常考点）
题型1 对顶角﹑邻补角（共4小题）
1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（ ）
A．42°B．48°C．132°D．142°
【答案】C
【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度．根据互为邻补角的两个角的和为180°．已知一个角为48°，则其邻补角=180°−48°，即可作答．
【详解】解：依题意，邻补角=180°−48°=132°，
故选：C．
2．（24-25七年级下·陕西延安·期末）下列各图中，∠1=∠2一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角相等，根据分析每个选项∠1,∠2的情况，唯有D选项∠1,∠2是一组对顶角，则∠1=∠2，即可作答．
【详解】解：观察四个选项，唯有D选项∠1,∠2是一组对顶角，则∠1=∠2
其他选项没有条件得出∠1=∠2，
故选：D
3．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠BOE=30°，则∠AOD的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．140°
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义，补角，先根据角平分线的定义得∠BOD=2∠BOE=60°，再根据补角的定义求∠AOD的度数即可．
【详解】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=30°，
∴∠BOD=2∠BOE=60°，
∴∠AOD=180°−∠BOD=120°．
故选：B．
4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线AB和CD交于点O，∠AOC=70°，在OB，OD之间作射线OE，且∠BOC=2∠EOB，则∠DOE的度数为________°．
【答案】15
【分析】本题主要考查的是角的运算问题，邻补角等，数形结合是解题的关键．
先求出∠BOC，∠BOD的度数，再利用∠BOC=2∠EOB即可求出∠BOE的度数，进而求解即可．
【详解】解：∵∠AOC=70°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−70°=110°，∠BOD=∠AOC=70°
∵∠BOC=2∠EOB，
∴∠EOB=12×110°=55°，
∴∠DOE=∠BOD−∠BOE=70°−55°=15°．
故答案为：15．
题型2 垂直+直角的计算（共4小题）
5．（2022·河北·二模）下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据几何原理判断求解即可；
【详解】
解：A. ，用垂线段最短解释；
B. ，用两点确定一条直线解释；
C. ，用两点确定一条直线解释；
D. ，用两点之间线段最短解释；
6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（ ）
A．200cmB．205cmC．210cmD．220cm
【答案】A
【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为200cm，
故他的成绩为200cm．
7．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为OM⊥AB，ON⊥AB，所以OM与ON重合的理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．
【详解】解：因为OM⊥AB，ON⊥AB，所以OM与ON重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：D．
8．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OF⊥AB，点O为垂足，OE平分∠COB．
(1)若∠BOE=67°，求∠COF的度数；
(2)若∠BOE:∠COF=5:4，求∠EOF的度数．
【答案】(1)44°
(2)15°
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系．
（1）先由角平分线求出∠BOC，即可求解∠AOC，再结合垂直的定义求解即可；
（2）由题意可设∠BOE=5x，则∠COF=4x，则∠COE=∠BOE=5x，然后表示出∠BOF=5x+x=6x，再由垂直的定义建立方程求解．
【详解】（1）解：∵OE平分∠COB，∠BOE=67°，
∴∠BOC=2∠BOE=134°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=46°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠COF=90°−∠AOC=44°；
（2）解：∵∠BOE:∠COF=5:4，
∴设∠BOE=5x，则∠COF=4x，
∵OE平分∠COB，
∴∠COE=∠BOE=5x，
∴∠EOF=5x−4x=x，
∴∠BOF=5x+x=6x，
∵∠BOF=90°，
∴6x=90°，
∴x=15°，
∴∠EOF=15°．
题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（共3小题）
9．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠4是内错角
C．∠1与∠5是同位角D．∠2与∠5互补
【答案】C
【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断．
【详解】解：A、∠1与∠2是内错角，说法错误；
B、∠3与∠4不是内错角，说法错误；
C、∠1与∠5是同位角，说法正确；
D、∠2与∠5是对顶角不一定互补，说法错误；
故选：C．
10．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图所标的角中，与∠1是同位角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】C
【分析】本题考查三线八角的识别，数形结合，记住三线八角的关系并准确识别是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意得：与∠1是同位角的是∠4，
故选：C．
11．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线AB，CD被AE所截，则∠A的同旁内角是__________．
【答案】∠AOC
【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键．
【详解】解：∠A的同旁内角是∠AOC，
故答案为：∠AOC．
题型4利用平行的性质求角度（共6小题）
12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，AB ∥CD，∠A=70°，则∠1的度数是（ ）
A．130°B．110°C．100°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由AB∥CD，得∠2+∠A=180°，从而求出∠2=110°，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠A=180°，
∵∠A=70°，
∴∠2=110°，
∴∠1=∠2=110°，
故选：B．
13．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，AM与BC平行，若AC平分∠MAB，∠BCD=70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据AB∥CD可得∠ABC=∠BCD=70°，根据AM与BC平行可得∠MAB=110°，再根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵AB,CD都与地面平行，∠BCD=70°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=70°，
∵AM与BC平行，
∴∠ABC+∠MAB=180°，
∴∠MAB=110°，
∵AC平分∠MAB，
∴∠BAC=12∠MAB=55°．
故选：B．
14．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=24°，那么∠2的度数是（ ）
A．24°B．26°C．34°D．36°
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，先标注图形，求解∠BAD=∠1=24°，再求解∠EAD=60°，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，标注图形；
∵∠1=24°，AB∥CD，
∴∠BAD=∠1=24°，
∵∠ADE=30°，∠AED=90°，
∴∠EAD=60°，
∴∠2=60°−24°=36°；
故选：D
15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平行于凸透镜主光轴EF的光线AB、CD经过透镜折射聚焦于主光轴E点，若∠ABE=∠CDE=141°，则∠BED=（ ）
A．39°B．78°C．49°D．98°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质求出∠BEF，∠DEF的度数，再根据∠BED=∠BEF+∠DEF，求出∠BED的度数即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABE=∠CDE=141°，
∴∠BEF=180°−141°=39°，∠DEF=180°−141°=39°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=39°+39°=78°，
故选：B．
16．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α=98°，则∠β的度数为（ ）
A．78°B．82°C．98°D．108°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．根据邻补角的定义可得∠BCD的度数，再由平行线的性质解答即可．
【详解】解：∵∠α=98°，
∴∠BCD=180°−∠α=82°，
∵AB∥CD，
∴∠β=∠BCD=82°．
故选：B
17．（24-25七年级下·河北承德·期末）某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务．如图1是共享单车的实物图，图2是其示意图，其中AB∥CD，∠MAC=69°，∠BAC=53°，已知AM∥BC，则∠BCD的度数为（ ）
A．58°B．68°C．70°D．120°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由AM∥BC，可得∠ACB=∠MAC=69°，进而得到∠ABC=58°，结合AB∥CD，即可求解．
【详解】解：∵ AM∥BC，∠MAC=69°，
∴ ∠ACB=∠MAC=69°，
∵ ∠BAC=53°，
∴ ∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=180°−53°−69°=58°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠BCD=∠ABC=58°，
故选：A．
题型5 平行线的证明（共6小题）
18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b是（ ）
A．∠1+∠4=180°B．∠3+∠4=180°C．∠2=∠3D．∠3=∠4
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A选项：∵∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°，
∴∠1=∠2，
∴a∥b．故该选项的条件能判定a∥b．
B选项：∵∠3+∠4=180°，∠2+∠4=180°，
∴∠3=∠2，
∴a∥b．故该选项的条件能判定a∥b．
C选项：∵∠2=∠3，
∴a∥b．故该选项的条件能判定a∥b．
D选项：∵∠3=∠4，∠2+∠4=180°，
∴∠3+∠2=180°，无法得到∠2=∠3，
∴不能判定a∥b．
故选：D．
19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4
C．∠B=∠5D．∠B+∠BCD=180°
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．平行线的判定定理：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；根据这三个判定定理逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由∠1=∠2，根据内错角相等两直线平行可以判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，符合题意；
B、由∠3=∠4，根据内错角相等两直线平行可以判定AB∥CD，不符合题意；
C、由∠B=∠5，根据同位角相等两直线平行可以判定AB∥CD，不符合题意；
D、由∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补两直线平行可以判定AB∥CD，不符合题意；
故选：A．
20．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，∠1=75°，∠2=43°，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（ ）
A．32°B．33°C．43°D．75°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案．
【详解】解：当∠1=∠2时，a∥b，
∵∠1=75°，∠2=43°，
∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是75°−43°=32°．
故选：A．
21．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB、CD，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅皓皓同学B．诗诗和皓皓C．麦麦和皓皓D．诗诗和麦麦
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：诗诗：∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
麦麦：∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
皓皓：如图，
∵∠ABE=∠CDB，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
故选：DD．
22．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图，在四边形ABCD中，若要AB∥CD，则需增加条件：______．（填一个即可）
【答案】∠1=∠4（或∠A+∠ADC=180°或∠C+∠ABC=180°）
【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并运用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时两直线平行的判定方法．
明确要使AB∥CD，需依据平行线的判定定理寻找条件；可从同位角、内错角或同旁内角的关系入手，找出能判定两直线平行的条件．
【详解】解：要使AB∥CD，根据“内错角相等，两直线平行”，若∠1=∠4(∠1和∠4是AB与CD被BD所截形成的内错角），则AB∥CD；
根据“同旁内角互补，两直线平行”，若∠A+∠ADC=180°(∠A和∠ADC是AB与CD被AD所截形成的同旁内角）或∠C+∠ABC=180°(∠C和∠ABC是AB与CD被BC所截形成的同旁内角），也可判定AB∥CD．
故答案为：∠1=∠4（或∠A+∠ADC=180°或∠C+∠ABC=180°)．
23．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠D=∠DCE；④∠A=∠DCE；⑤∠ABD+∠BDC=180°；⑥∠D+∠ACD=180°．一定能判定AB ∥ CD的条件是______．(填所有正确条件的序号)
【答案】①④⑤
【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)，
故条件①符合题意；
②∵∠3=∠4，
∴AC∥BD (内错角相等，两直线平行)，
故条件②不符合题意；
③∵∠D=∠DCE，
∴AC∥BD (内错角相等，两直线平行)，
故条件③不符合题意；
④∵∠A=∠DCE，
∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)，
故条件④符合题意；
⑤∠ABD+∠BDC=180°，
∴AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行)，
故条件⑤符合题意；
⑥∠D+∠ACD=180°，
∴BD∥AC (同旁内角互补，两直线平行)，
故条件⑥不符合题意；
综上，①④⑤符合题意，
故答案为：①④⑤．
题型6 平行线的判定与性质综合（共5小题）
24．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知直线CM交直线AB于点E，点F在射线EB上，点G在线段CD上，连接FG，ED，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：CE∥GF；
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(3)若∠CGF=116°，求∠AEM的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠AED+∠D=180°，理由见解析
(3)116°
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）利用同位角相等两直线平行可得结论；
（2）直接利用平行线的判定与性质进行解答即可；
（3）利用平行线的性质先求解∠C=180°−116°=64°，∠AEC=∠C=64°，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥GF．
（2）解：∠AED与∠D之间的数量关系是：∠AED+∠D=180°．理由如下：
∵CE∥GF，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°．
（3）解：∵ CE∥GF，∠CGF=116°，
∴∠C=180°−116°=64°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠C=64°，
∴∠AEM=180°−64°=116°．
25．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°．
(1)AD与EC平行吗？请说明理由．
(2)若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠1=76°，求∠FAB的度数．
【答案】(1)AD∥EC，理由见解析
(2)52°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，再由平行线的性质可得∠2=∠ADC，结合题意得出∠ADC+∠3=180°，即可得证；
（2）由题意可得AB∥CD，由角平分线的定义可得∠ADC=12∠BDC=38°，由平行线的性质可得∠2=∠ADC=38°，由垂线的定义可得∠DAF=90°，即可得解．
【详解】（1）解：AD∥EC，理由如下：
∵∠1=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠ADC，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠ADC+∠3=180°，
∴AD∥EC；
（2）解：∵∠BDC=∠1=76°，
∴AB∥CD，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC=12∠BDC=38°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ADC=38°，
∵DA⊥FA，
∴∠DAF=90°，
∴∠FAB=∠FAD−∠2=52°．
26．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知：如图，AE∥GF，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=66°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)27°
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．
（1）根据平行线的判定与性质即可证得结论；
（2）根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ AE∥FG
∴∠2=∠A
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）得AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°
又∵∠ABD=∠3+∠CBD
∴∠3+∠CBD+∠D=180°
又∵∠CBD=66°，∠D=∠3+60°
∴∠3+66°+∠3+60°=180°
∴∠3=27°
∵AB∥CD
∴∠C=∠3=27°．
27．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，已知∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°．
(1)求证：∠2=∠4；
(2)试求出∠ADC的度数
【答案】(1)见解析
(2)∠ADC=90°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行得出PD∥CA，再由两直线平行，内错角相等即可证明；
（2）由等量代换得出∠3+∠4=180°，再由平行线的判定和性质得出AD∥EF，∠ADF=∠EFC，利用垂直的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠C，
∴PD∥CA
∴∠2=∠4；
（2）解：∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠4=180°
∴AD∥EF，
∴∠ADF=∠EFC
又∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∴∠ADC=90°．
28．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知∠DFB=125°，∠ACB=55°．
(1)求证AC∥DE；
(2)若∠D=∠A，∠ACD=120°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)65度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题关键，
（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案；
（2）先说明CD∥AB，再得出∠BCD的度数，再根据平行线的性质得出答案．
【详解】（1）解： ∵∠CFE=∠DFB=125°,∠ACB=55°，
∴∠ACB+∠CFE=180°，
∴AC∥DE；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠A=∠DEB．
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠DEB，
∴CD∥AB．
∵∠ACB=55°,∠ACD=120°，
∴∠BCD=∠ACD−∠ACB=65°，
∴∠B=∠BCD=65°．
题型7 猪蹄模型（共3小题）
29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连接PE、PF．过点P作PQ∥AB，如果∠AEP=45°，∠CFP=60°，则∠EPF=______°．
【探究】如图②，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连接PE、PF．请判断∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，且直线AD∥BC，点P是射线OM上一动点，且不与点A、B、O重合，若∠ADP=α，∠BCP=β，用含α、β的代数式表示∠CPD．
（1）当点P在线段OB上时，∠CPD= ______．
（2）当点P在线段AB上时，∠CPD= ______．
（3）当点P在射线AM上时，∠CPD= ______．
【答案】【感知】105；【探究】∠EPF=∠AEP+∠CFP，理由见详解；【应用】（1）α−β；（2）α+β；（3）β−α．
【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质求出∠EPQ=45°，∠QPF=60°，然后求和即可；
（2）过点P作PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠EPQ=∠AEP，∠QPF=∠CFP，即可得到∠AEP与∠CFP、∠EPF之间的数量关系；
（3）根据题意分点P在线段BO上，点P在线段AB上和点P在射线AM上三种情况讨论，求出∠DPQ=∠ADP=α，∠CPQ=∠BCP=β，然后根据角的和差求解即可．
【详解】解：∵PQ∥AB∥CD，∠AEP=45°，∠CFP=60°，
∴∠EPQ=∠AEP=45°，∠QPF=∠CFP=60°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠QPF=105°，
故答案为：105°；
【探究】∠EPF=∠AEP+∠CFP，理由如下：
如图，过点P作PQ∥AB∥CD，
∵PQ∥AB∥CD，
∴∠EPQ=∠AEP，∠QPF=∠CFP，
∴∠EPF=∠EPQ+∠QPF=∠AEP+∠CFP；
【应用】（1）如图，当点P在线段BO上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC，
∵PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ=∠ADP=α，∠CPQ=∠BCP=β，
∴∠CPD=∠DPQ−∠CPQ=α−β；
故答案为：α−β；
（2）如图，当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC，
∵PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ=∠ADP=α，∠CPQ=∠BCP=β，
∴∠CPD=∠DPQ+∠CPQ=α+β；
故答案为：α+β；
（3）如图，当点P在射线AM上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC，
∵PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ=∠ADP=α，∠CPQ=∠BCP=β，
∴∠CPD=∠CPQ−∠DPQ=β−α；
故答案为：β−α．
30．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线AB，CD，AB∥CD，P是平面上这两条直线间的一点．
【问题探究】（1）如图1，若∠BAP=30°，∠DCP=55°，求∠APC的度数．
解：过点P作EF ∥ AB，
∴∠BAP=∠APE（ ）
又∵AB ∥ CD
∴EF ∥ CD（ ）
∴∠EPC=∠PCD，
∵∠APC=∠APE+∠EPC，∠BAP=30°，∠DCP=55°
∴∠APC=∠BAP+ = °
【问题解决】（2）若∠BAP=45°，∠DCP=50°，请根据（1）的解题思路，求图2中∠APC的度数．
【方法总结】（3）如图3，若∠ABP=x， ∠BPQ=y， ∠PQC=z，则∠QCD的度数为 ．（用含x，y，z的式子表示）
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；∠PCD；85；（2）95°；（3）x−y+z
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可；
（2）根据题意，结合图形，可得∠APE=∠BAP=45°，∠EPC=∠PCD=50°，可得到结果；
（3）仿照（1）的运算，可得∠BPQ=∠ABP+∠PQE，∠EQC=∠QCD，即可得到∠PQC=∠BPQ−∠ABP+∠QCD，结合已知条件，可得到结果．
【详解】解：（1）过点P作EF∥AB，
∴∠BAP=∠APE（两直线平行，内错角相等），
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EPC=∠PCD，
∵∠APC=∠APE+∠EPC，∠BAP=30°，∠DCP=55°，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD=85°，
故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；∠PCD；85；
（2）如图2，过点P作EF∥AB，
∵∠BAP=45°，
∴∠APE=∠BAP=45°，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠EPC=∠PCD，
∵∠DCP=50°，
∴∠EPC=50°，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD=95°；
（3）如图3，过Q点作EQ∥AB，
由（1）可知，∠BPQ=∠ABP+∠PQE，
即∠PQE=∠BPQ−∠ABP，
∵AB∥CD，
∴EQ∥CD，
∴∠EQC=∠QCD，
∴∠PQE+∠EQC=∠BPQ−∠ABP+∠QCD，
即∠PQC=∠BPQ−∠ABP+∠QCD，
∵∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，
∴z=y−x+∠QCD，
∴∠QCD=x−y+z，
故答案为：x−y+z．
31．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线AB，CD之间的一点，且AB∥CD．
(1)如图1，连接AP，CP，若∠APC=100°，求∠BAP+∠PCD的度数；
(2)点Q为直线AB，CD之间的不同于点P的另一点．
①如图2，连接AP，PQ，QC，求∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD的度数；
②如图3，连接BP，PQ，QC，若∠ABP=36°，∠BPQ=81°，∠PQC=92°，求∠QCD的度数．
【答案】(1)∠BAP+∠PCD=100°；
(2)①∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD=540°；②∠QCD=47°．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是解题的关键．
（1）结合图形，可得∠APM=∠BAP，∠CPM=∠PCD，两式相加，得∠APC=∠BAP+∠PCD，结合已知条件，得到结果；
（2）①通过作辅助线，得到同旁内角互补，得到∠BAP+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠QCD=180°，三式相加，得到结果；
②结合图形，利用两直线平行，内错角相等，依次求出∠BPM，∠MPQ，∠NQC，得到结果．
【详解】（1）如图1，作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PM∥AB∥CD，
∴∠APM=∠BAP，∠CPM=∠PCD，
∴∠APM+∠CPM=∠BAP+∠PCD，
即∠APC=∠BAP+∠PCD，
∵∠APC=100°，
∴∠BAP+∠PCD=100°；
（2）①如图2，过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠BAP+∠APM=180°，
∠MPQ+∠PQN=180°，
∠NQC+∠QCD=180°，
∴三式相加，可得∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD=540°；
②如图3，过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠BPM=ABP=36°，
∴∠MPQ=∠BPQ−∠BPM=45°，
同理∠PQN=∠MPQ=45°，
∴∠NQC=∠PQC−∠PQN=47°，
∴∠QCD=∠NQC=47°．
题型8 铅笔模型（共2小题）
32．（14-15七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在线段AB上．
(1)如图1，∠1，∠2，∠3之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东40°方向，A点在C处的北偏西45°方向，则∠BAC=______°．
(2)如图3，∠1，∠2，∠3之间的有何等量关系？请说明理由．
【答案】(1)∠1+∠2=∠3；85；
(2)∠1+∠2+∠3=360°，理由见解析．
【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．
（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线的判定和性质即可证明；作AN∥BD即可得到∠BAC=∠B+∠C，代入求得∠BAC的度数．
（2）如图所示，过点P作PG∥l1，根据平行线的性质得到∠1+∠APG=180°，∠BPG+∠2=180°，进而求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图1中，作PM∥AC，则∠1=∠CPM
∵l1∥l2，
∴l1∥PM∥l2，
∴∠CPM+∠MPD=∠CPD=∠1+∠2=∠3，
作AN∥BD，则∠DBA=∠BAN，
∵点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，
∴∠DBA=40°，∠ACE=45°，CE∥BD，
∴∠DBA=∠BAN=40°，CE∥AN，
∴∠ACE=∠NAC=45°，
∴∠BAC=∠NAC+∠NAB=40°+45°=85°，
故答案为：∠3=∠1+∠2，85°；
（2）如图所示，过点P作PG∥l1，
∴∠1+∠APG=180°
∵l1∥l2
∴PG∥l2
∴∠BPG+∠2=180°
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠APG+∠BPG+∠2=180°+180°=360°．
33．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】
如图1，已知AB∥CD，点 E，F分别在直线AB、CD上，点P 在直线AB、CD 之间．求证：∠AEP+∠P+∠CFP=360°．
证明：如图2，过点 P 作PQ∥AB，
∴∠AEP+∠EPQ=180°．
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠FPQ+∠CFP=180°．
∴∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠CFP=180°+180°，即∠AEP+∠P+∠CFP=360°．
【类比应用】
（1）如图3，已知AB∥CD，∠ABP=125°，∠DEF=115°，求∠P= °．
（2）如图4，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP，试说明：∠CEP+∠BAP−∠APE=180°；
【拓展应用】
（3）如图5，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP，∠DEP的平分线与∠BAP的平分线所在直线交于点Q，求2∠AQE+∠APE的值．
【答案】（1）120；（2）见解析；（3）360°
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点P作PQ∥CD，由对顶角相等可得∠CEP=∠DEF=115°，由平行线的性质可得∠QPE+∠CEP=180°，∠ABP+∠BPQ=180°，即可得解；
（2）过P点作PM∥AB，则AB∥CD∥PM，由平行线的性质可得∠MPE=∠CEP，∠MPA+∠PAB=180°，从而得出∠MPE−∠MPA−∠PAB=∠CEP−180°，即可得解；
（3）过Q点作QG∥CD，则QG∥AB，由平行线的性质可得∠AQG=∠QAB，∠GQE=∠DEQ，推出∠AQE=∠BAQ+∠DEQ，2∠AQE=2∠BAQ+2∠DEQ=2180°−∠BAF+2∠DEQ，由角平分线的定义可得2∠BAF=∠PAB，2∠DEQ=∠PED，从而得出2∠AQE=360°−∠PAB+∠PED，由（2）知，∠CEP+∠PAB−∠APE=180°，推出∠APE=∠CEP+∠PAB−180°，即可得解．
【详解】解：（1）如图，过点P作PQ∥CD，
∵∠DEF=115°，
∴∠CEP=∠DEF=115°，
∵PQ∥CD，
∴∠QPE+∠CEP=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB，
∴∠ABP+∠BPQ=180°，
∴∠ABP+∠BPQ+∠QPE+∠CEP=360°，
∴∠ABP+∠P+∠CEP=360°，
∴∠P=360°−115°−125°=120°；
（2）如图，过P点作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠MPE=∠CEP，∠MPA+∠PAB=180°，
∴∠MPE−∠MPA−∠PAB=∠CEP−180°，
即∠APE−∠PAB=∠CEP−180°，
∴∠CEP+∠PAB−∠APE=180°；
（3）由示例知，过Q点作QG∥CD，
∵AB∥CD，
∴QG∥AB，
∴∠AQG=∠QAB，∠GQE=∠DEQ，
∴∠AQE=∠BAQ+∠DEQ，
∴2∠AQE=2∠BAQ+2∠DEQ=2180°−∠BAF+2∠DEQ，
又∵QE，AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线，
∴2∠BAF=∠PAB，2∠DEQ=∠PED，
∴2∠AQE=360°−∠PAB+∠PED，
由（2）知，∠CEP+∠PAB−∠APE=180°，
∴∠APE=∠CEP+∠PAB−180°，
∴2∠AQE+∠APE
=360°−∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB−180°
=180°+180°
=360°，
即2∠AQE+∠APE=360°．
题型9 判断命题的真假（共3小题）
34．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．含有两个未知数的方程叫二元一次方程
C．两点之间，直线最短
D．在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角、二元一次方程、线段的性质以及实数的分类等知识，解题的关键是熟练掌握相关概念．
依次分析每个选项，根据相关概念判断命题的真假．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该命题是假命题；
B、含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程，仅含有两个未知数的方程不一定是二元一次方程，所以该命题是假命题；
C、两点之间，线段最短，而不是直线最短，所以该命题是假命题；
D、实数包括有理数和无理数，所以在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数，该命题是真命题．
故选：D．
35．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列命题是真命题的是：（ ）
A．如果a>b，c