专题11 二次根式、勾股定理及四边形压轴题（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

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例如，5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2，
所以5+26=(3+2)2=3+2．
请仿照上例化简下列根式．
（1）4+23= 3+1 ；
（2）19−415= 15−2 ；
（3）计算：13+22+15+26+17+212+19+220+⋯+14051+22025×2026．
【答案】（1）3+1；
（2）15−2；
（3）2026−1．
【解答】解：（1）4+23=(3+1)2=3+1，
故答案为：3+1；
（2）19−415=(15−2)2=15−2，
故答案为：15−2；
（3）原式=1(2+1)2+1(3+2)2+1(4+3)2+1(5+4)2+⋯+1(2025+2026)2
=12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+12025+2026
=2−1+3−2+4−3+5−4+⋯+2026−2025
=2026−1．
2．小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(3)2+2×(2)×(3)=(2+3)2；
7−43=(4+3)−2×2×3=22+(3)2−2×2×(3)=(2−3)2．
【类比归纳】
（1）请你仿照上面的方法将7+210化成另一个式子的平方；
（2）请你仿照上面的方法化简：6−42；
（3）若a+215=(m+n)2，其中m＞n，且a，m，n均为正整数，求a+m+n的值．
【答案】（1）(2+5)2；
（2）（2−2）2；
（3）32或16．
【解答】解：（1）7+210=（2+5）+2×2×5=(2+5)2；
（2）6−42=（4+2）﹣2×2×2=（2−2）2；
（3）∵a+215=(m+n)2，
∴a+215=m+n+2mn，
∴a＝m+n，mn＝15，
∵a、m、n为正整数，mn＝15＝1×15＝3×5，
∴m=1n=15或m=15n=1或m=3n=5或m=5n=3，
∴m+n＝16或m+n＝8，
∴当m+n＝16时，a＝16．
当m+n＝8时，a＝8．
∴a+m+n＝16+16＝32或a+m+n＝8+8＝16．
3．在进行二次根式化简时，遇到26，12+1之类的式子，我们需要将其进一步化简：26=2×66×6=63，12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1．以上化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简：114−13= 14+13 ．
（2）已知m=25+3，n=25−3，求m2+n2的值．
（3）计算：(12+1+13+2+⋯+12024+2023+12025+2024)×20242025−1．
【答案】（1）14+13；
（2）16；
（3）2024．
【解答】解：（1）114−13=14+13(14−13)(14+13)=14+1314−13=14+13，
故答案为：14+13；
（2）∵m=25+3=2(5−3)(5+3)(5−3)=5−3，
n=25−3=2(5+3)(5−3)(5+3)=5+3，
∴m+n=5+3+5−3=25，
mn＝（5+3）（5−3）＝5﹣3＝2，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=(25)2−2×2=20−4=16．
（3）解：原式=(2−1+3−2+⋯+2025−2024)×(2025+1)
=(2025−1)×(2025+1)
＝2025﹣1
＝2024．
4．【激活经验】
小周在学习有理数运算时，通过具体运算发现：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯
在学习二次根式运算时，小周根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：
特例1：1+112+122=1+11×2=1+1−12，
特例2：1+122+132=1+12×3=1+12−13，
特例3：1+132+142=1+13×4=1+13−14．
【发现规律】（1）1+1n2+1(n+1)2= n2+n+1n(n+1) （n≥2，且n为整数）．
【应用规律】
（2）1+112+122+1+122+132+⋯+1+120252+120262= 202520252026 ．
（3）如果1+142+152+1+152+162+⋯+1+1(n−1)2+1n2的小数部分是0.125，求出它的整数部分．
【答案】（1）n2+n+1n(n+1)；
（2）202520252026；
（3）4．
【解答】解：（1）根据题意可得原式＝1+1n−1n+1
=n2+n+1n(n+1)．
故答案为：n2+n+1n(n+1)．
（2）原式＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+1+14−15+⋯+1+12025−12026
＝1×2026−12026
＝2026−12026
＝202520252026．
故答案为：202520252026．
（3）1+142+152+1+152+162+⋯+1+1(n−1)2+1n2
＝1+14−15+1+15−16+⋯+1+1n−1−1n
＝1×（n﹣1﹣4+1）+14−1n
＝n﹣4+14−1n，
∵1+142+152+1+152+162+⋯+1+1(n−1)2+1n2的小数部分是0.125，
∴14−1n=0.125，
∴n＝8，
∴它的整数部分为8﹣4＝4．
5．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a、b、c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a＝3，b＝5，c＝6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是a=x+1，b=(5−x)2，c=4−(4−x)2，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 3 ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【答案】（1）214；
（2）①3；②374．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴p=3+5+62=7，
∴S=7×(7−3)(7−5)(7−6)=7×4×2×1=56=214；
（2）①当x＝2时，
x+1=3，(5−x)2=32=3，4−(4−x)2=4−(2)2=2，
∴△ABC中最长边的长度为3．
②∵0＜x≤4，
∴(5−x)2=5−x，4−(4−x)2=4−(4−x)=x，
∴C△ABC=x+1+(5−x)2+4−(4−x)2
=x+1+5−x+x
=x+1+5，
∵C△ABC=x+1+5，0＜x≤4，x为整数，
∴当x＝4时，三边为5，1，4，
∵5+1＜4，
∴x＝4不合题意，舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴S=14×[22×22−(22+22−322)2]
=14×[16−(−12)2]
=374．
6．阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(3)2+22×3=(2+3)2；
7+210=(2+5)+22×5=(2)2+(5)2+22×5=(2+5)2．
【类比归纳】
（1）填空：
①4−23=(1+3)−21×3=12+( ①3 )2−2×1×3=( 1 −3)2；
②a+b±2ab=(a)2+(b)2±2a×b=( a ± b ）2（a≥0，b≥0）．
（2）请你仿照小明的方法，将9+214化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和(32−615)cm2，求剩余部分的面积．
【答案】（1）①3；1；②a；b；
（2）9+214=(2+7)2；
（3）615−10．
【解答】解：（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式可得：
①4−23=(1+3)−21×3=12+(3)2−2×1×3=(1−3)2；
②a+b±2ab=(a)2+(b)2±2a×b=(a±b)2(a≥0，b≥0)；
故答案为：①3；1；②a；b；
（2）9+214=(2+7)+22×7=(2)2+(7)2+2×2×7=(2+7)2；
（3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm，
根据题意得：x2＝5，y2=32−615=(27−5)2=(33−5)2，
∴x=5，y=33−5，
则2xy=2×5×(33−5)=615−10．
7．我们知道，a≥0（a≥0），所以当a≥0时，a的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式x2+1和−x2+3进行了以下的探索：
∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴x2+1≥1=1，
∴当x＝0时，x2+1的最小值为1．
∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2+3≤3，∴−x2+3≤3，
∴当x＝0时，−x2+3的最大值为3．
（1）求(x+2)2+7的最小值和−3(x−5)2+9的最大值；
（2）求x2−4x+20的最小值；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为多少？
【答案】（1）当x+2＝0时，(x+2)2+7的最小值为7，x﹣5＝0时，−3(x−5)2+9的最大值为3；
（2）当x﹣2＝0时，x2−4x+20的最小值为4；
（3）三角形面积的最大值为25．
【解答】解：（1）∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+7≥7，
∴(x+2)2+7≥7，
∴当x+2＝0时，(x+2)2+7的最小值为7，
∵（x﹣5）2≥0，
∴﹣（x﹣5）2≤0，
∴﹣（x﹣5）2+9≤9，
∴−3(x−5)2+9≤9=3，
∴当x﹣5＝0时，﹣3（x﹣5）2+9的最大值为3；
（2）∵x2−4x+20=x2−4x+4+16=(x−2)2+16，
∴当x﹣2＝0时，(x−2)2+16的最小值为4，
（3）当p＝5，c＝4时，S=p(p−a)(p−b)(p−c)=5(5−b)(5−a)，
∵a+b+c＝2p，
∴b＝6﹣a，
∴S=5(5−b)(5−a)= 5(a−1)(5−a)=−5(a2−6a+5)
=−5(a2−6a+9−4)
=−5(a−3)2+20，
∴S的最大值为25．
8．阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x+y−2xy=(x)+(y)2−2x⋅y=(x−y)2≥0
∴x+y≥2xy，当且仅当“x＝y”时，等号成立．
例：已知x＞0，求函数y=x+4x的最小值．
解：令a＝x，b=4x则有a+b≥2ab，
得y=x+4x≥2x⋅4x=4
当且仅当x=4x，即x＝2时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题．
（1）已知x＞0，则函数y=3x+3x取到最小值，最小值为 6 ，已知x＞2，则x+1x−2的最小值是 4 ；
（2）已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y=xx2−8x+28取到最大值？最大值为多少？
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S△BOC＝16，S△AOD＝36，求四边形ABCD的面积的最小值．
【答案】（1）6，4；
（2）7+212；
（3）100．
【解答】解：（1）函数y=3x+3x=3x+93x，
令3x=a，93x=b，
∴y=a+b≥2ab=23x×93x=6，
∴当且仅当3x=93x，即x＝1时，y=3x+3x取得最小值，最小值为6，
设y=x+1x−2=(x−2)+1x−2+2≥2(x−2)⋅1x−2+2=4，
当且仅当x−2=1x−2，即x＝3时，x+1x−2的最小值是4，
故答案为：6，4．
（2）∵y=xx2−8x+28=1x−8+28x=1x+28x−8，
又∵x+28x≥2x⋅28x=47，
当且仅当x=28x时，x+28x有最小值，
∵x＞0，
∴当x=27时，x+28x有最小值，最小值为47，
∴此时y有最大值为：y=147−8=7+212；
∴当x=27时，函数y=xx2−8x+28取到最大值，最大值为7+212．
（3）设S△COD＝y，S△AOB＝x，则S四边形ABCD＝16+36+x+y，
∵x+y≥2xy，
∴S≥52+2xy；
当且仅当x＝y时，S最小=52+2xy；
此时BC∥AD，x=y=16×36=24，
故S最小＝100．
9．
【答案】（1）a2+b2＝c2；
（2）a2+b2＝c2；
（3）4c2．
【解答】解：（1）根据题意可知，RT△ABC≌RT△ABF≌RT△DBK，
∴AC＝BF＝b，BK＝CB＝AF＝a，
∴FK＝b﹣a，
∵S正方形ABDE＝S正方形FKHG+4S△AFB，
∴AB2＝FK2+4×12×AF×BF，
∴c2＝（b﹣a）2+4×12×ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）根据题意可知，RT△ABC≌RT△BDN，
∴AC＝BN＝b，
∵S正方形ABDE＝S正方形LCNM﹣4S△ABC，
∴AB2＝CN2﹣4×12AC×BC，
∴c2＝（a+b）2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（3）根据题意可知，RT△ABC≌RT△ABF≌RT△DBK≌RT△BDN，
∴AC＝BN＝BF＝b，BK＝CB＝AF＝a，
∴FK＝b﹣a，CN＝CB+BN＝a+b，
∵S总＝S正方形LCNM+S正方形AEDB+S正方形FKHG+S正方形OTCA+S正方形CSRB，
∴S总＝CN2+AB2+FK2+AC2+BC2
＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2+b2+a2
＝3（a2+b2）+c2，
∵c2＝a2+b2，
∴S总＝3c2+c2＝4c2．
10．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
【问题解决】
（1）如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC，∠A＝∠D＝90°，直角边分别为a，b，斜边为c，证明勾股定理a2+b2＝c2．
（2）如图2，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3，求阴影部分的面积．
【知识应用】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，使CH⊥AB，现测得CA＝1.3千米，AB＝1.4千米，BC＝1.5千米，则新修路CH的长为 1.2 千米．
【答案】（1）见解答．
（2）24；
（3）1.2．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DEC，
∴∠AEB＝∠DCE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，即∠BEC＝90°，
∴S△BEC+S△ABE+S△DEC=12×c×c+12×a×b+12×a×b=c22+ab，
梯形ABCD的面积为(a+b)×(a+b)×12=a2+b22+ab，
∴a2+b22+ab=c22+ab，即a2+b2＝c2．
（2）解：∵AD⊥CD，AD＝4，CD＝3，
由勾股定理可得AC=CD2+AD2=32+42=5，
∵AB＝13，BC＝12，
满足AC2+BC2＝AB2，即∠ACB＝90°，
∴阴影部分的面积为S△ABC−S△ACD=12×5×12−12×3×4=24．
（3）解：设AH＝x千米，则BH＝（1.4﹣x）千米，
∵CH⊥AB，即∠CHA＝∠CHB＝90°，
在Rt△AHC中，CH2＝AC2﹣AH2，
在Rt△BHC中，CH2＝BC2﹣BH2，
∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2，即1.32﹣x2＝1.52﹣（1.4﹣x）2，
整理可得2.8x＝1.4，
解得x＝0.5，
∴AH＝0.5千米，
∴CH=AC2−AH2=1．32−0．52=1.2（千米），
则新修路CH的长为1.2千米．
故答案为：1.2．
11．我们知道直角三角形的三边长满足a2+b2＝c2，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？
勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程：
如图①，在锐角三角形ABC中，过点A作AD⊥BC于点D．∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2．
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2 ．
∴AB2＝AC2+BC2﹣2BC•CD ．
（1）请你补充完成上面横线上所缺的过程；
（2）善学小组在探究中发现，如图②，当△ABC为钝角三角形（∠C为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由；
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝9，AD＝11，求该四边形的面积．敏学小组的思路是连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2；∴AB2＝AC2+BC2﹣2BC•CD；
（2）AB2＝AC2+BC2+2BC•CD，理由如下见解答；
（3）24+302．
【解答】解：（1）在锐角三角形ABC中，过点A作AD⊥BC于点D．∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2．
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2，
∴AB2＝AC2+BC2﹣2BC•CD．
故答案为：∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2；∴AB2＝AC2+BC2﹣2BC•CD；
（2）AB2＝AC2+BC2+2BC•CD，理由如下：
如图②，作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则∠ADB＝90°．
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣（BC+CD）2．
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC+CD）2．
即AC2﹣CD2＝AB2﹣BC2﹣2BC•CD﹣CD2，
∴AB2＝AC2+BC2+2BC•CD；
（3）如图③，连接AC，作DF⊥AC于点F．
由勾股定理得，AC=AB2+BC2=82+62=10，
由题意知，△ACD是锐角三角形，
∴AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CF，
即112＝102+92﹣2×10•CF，
解得CF＝3，
∴DF=CD2−CF2=92−32=62，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
=12×8×6+12×10×62
＝24+302．
12．【知识再现】
（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC，CA，AB为边向外作的正方形的面积为S1，S2，S3．当S1＝225，S3＝625时，S2＝ 400 ；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以AB，BC，CD，DA为边向外作正方形的面积为S1，S2，S3，S4，试探究S1，S2，S3，S4的数量关系并说明理由；
（3）如图3，分别以图3中Rt△ABC的边BC，CA，AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC，CA，AB为直径的半圆柱的体积分别为V1，V2，V3，若AB＝4，柱体的高h＝8，求V1+V2的值．
【答案】（1）400；
（2）S1+S4＝S2+S3；理由如下见解答；
（3）16π．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，
∵分别以BC，CA，AB为边向外作的正方形的面积为S1，S2，S3．当S1＝225，S3＝625，
∴AB2＝S3，BC2＝S1，AC2＝S2，
∴S3＝S1+S2，
∴S2＝S3﹣S1＝625﹣225＝400，
故答案为：400；
（2）S1+S4＝S2+S3；理由如下：
如图2，连接BD，
∵BD2＝AB2+AD2，AB2＝S1，AD2＝S4，
∴BD2＝S1+S4，
同理可得，BD2＝S2+S3，
∴S1+S4＝S2+S3；
（3）由题意得：V1=12⋅π(BC2)2ℎ=18πℎ⋅BC2，V2=12⋅π(CA2)2ℎ=18πℎ⋅CA2，V3=12⋅π(AB2)2ℎ=18πℎ⋅AB2，
∵BC2+CA2＝AB2，
∴V1+V2=18πℎ⋅BC2+18πℎ⋅CA2=18πℎ⋅(BC2+CA2)=18πℎ⋅AB2=V3，
∵V3=18π×8×42=16π，
∴V1+V2＝16π．
13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD；连接AC、CE．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）①用含x的代数式表示AC+CE的长；
②求出AC+CE的最小值．
（2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式x2+1+(8−x)2+25的最小值．
（3）若正实数a，b，c满足a+b＝5﹣c，请构图求出代数式a2+9+b2+16+c2+25的最小值．
【答案】（1）①AC+CE=32+(12−x)2+x2+4；
②AC+CE的最小值为13；
（2）10；
（3）13．
【解答】解：（1）①∵BD＝12，CD＝x，
∴BC＝12﹣x，
由勾股定理可得：AC=AB2+BC2=32+(12−x)2，CE=CD2+DE2=x2+4，
∴AC+CE=32+(12−x)2+x2+4．
②过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，如图，
∴当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
∴AC+CE=AE=AF2+EF2=122+52=13，
∴AC+CE的最小值为13．
（2）AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝5，DE＝1，BD＝8，如图：
过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，交BD于点C，
∴代数式x2+1+(8−x)2+25的最小值为AE的长，
由勾股定理可得：AE=AF2+EF2=82+62=10，
∴原式的最小值为10．
（3）∵a+b＝5﹣c，
∴a+b+c＝5，
将a2+9、b2+16、c2+25看作直角三角形的斜边，
通过平移可得水平位移的总长为a+b+c＝5，垂直位移总长为3+4+5＝12，
∴a2+9+b2+16+c2+25的最小值为122+52=13．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE．
（1）若点E为BC的中点，BC＝8，DE＝3，BD＝5，则△BDE是 直角 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角”）
（2）如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD＝4，BC＝8，求BE的长；
（3）如图2，点P在边AC上运动，连接PD，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F．
①判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
②若AC＝4，BC＝6，PA＝1，求DE的长．
【答案】（1）直角；
（2）BE＝5；
（3）①DE⊥DP，理由见解析；②113．
【解答】解：（1）∵点E为BC的中点，BC＝8，
∴BE=12BC=12×8＝4，
∵DE＝3，BD＝5，且32+42＝52，
∴DE2+BE2＝BD2，
∴△BDE是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）∵AE平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝DE．
设BE＝a，则DE＝CE＝8﹣a，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴42+（8﹣a）2＝a2，
∴a＝5，
即BE＝5．
（3）①DE⊥DP．
理由如下：
由题意知PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA．
∵EF是BD的垂直平分线，
∴DE＝BE（线段垂直平分线的性质），
∴∠EDB＝∠B．
∵∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣（∠PDA+∠EDB）＝180°﹣90°＝90°．
∴DE⊥DP．
②如图，连接PE．
设DE＝BE＝x，则CE＝6﹣x．
∵PA＝1，AC＝4，
∴PD＝1，PC＝3．
由勾股定理，得PE2＝PC2+CE2＝32+（6﹣x）2，PE2＝PD2+DE2＝12+x2，
即32+（6﹣x）2＝12+x2，
∴x=113，
∴DE的长为113．
15．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+(b−a)2，从而得到等式c2=12ab×4+(b−a)2，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2．
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则△ABC面积为 6 ．
（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7，设BD＝x，求x的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵S四边形ABCD=12c2，S梯形AEDC=12(b+a)b，S△BED=12(a−b)a，
S四边形ABCD＝S梯形AEDC+S△BED，
∴12c2=12(b+a)b+12(a−b)a，
∴12c2=12b2+12ab+12a2−12ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：S△ABC=4×4−12×2×4−12×2×4−12×2×2=6，
故答案为：6；
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD2＝AB2﹣BD2＝52﹣x2＝25﹣x2
∵BD+CD＝BC＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣x
在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣（7﹣x）2＝﹣13+14x﹣x2
∴25﹣x2＝﹣13+14x﹣x2，
∴x=197．
16．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+(a−b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【问题拓展】
（3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值．
【答案】（1）见解答；
（2）新路CH比原路CA少130千米；
（3）CH＝8．
【解答】（1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，
∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
整理，得a2+b2＝c2；
（2）设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
在Rt△ACH中，
由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2，
即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，
解得x=56，
即CA=56千米，
∴CA−CH=56−0.8=130（千米），
答：新路CH比原路CA少130千米；
（3）CH＝8．
理由：如图，设AH＝y，
∵AB＝21，
∴BH＝21﹣y，
∵CH⊥AB，垂足为H，
∴△ACH，△BCH都是Rt△，
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，
∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2，
在Rt△BCH中，
∵BC＝17，
∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2，
∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，
解得y＝6，
在Rt△ACH中，
由勾股定理，得CH=AC2−AH2=102−62=8，
17．综合与实践
【问题情境】
在平面直角坐标系中，有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．
【知识应用】
（1）若点A（﹣1，1），B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 3 ；
【拓展延伸】
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．
【问题解决】
（2）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣1），则d（E，F）＝ 4 ；
（3）如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）＝3，则t的值为 ±2 ；
（4）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若d(E，P)=6，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．
故答案为：3．
（2）①d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣1）|＝4．
故答案为：4．
（3）∵E（2，0），G（1，t），d（E，G）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，
解得：t＝±2．
故答案为：2或﹣2．
（4）①点P在OE边上，可设点P的坐标为（x，0），
∵d(E，P)=6．
∴丨x﹣2丨+0=6，
∴x＝2+6，或x＝2−6（都不符合题意），
②点P在OH边上，可设点P的坐标为（0，y），
∵d(E，P)=6．
∴丨2﹣0丨+丨y丨=6，
∴y=6−2，
∴P（0，6−2），
③点P在HE边上，可设点P的坐标为（m，﹣m+2），
∵d(E，P)=6．
∴丨m﹣2丨+丨﹣m+2丨=6，
m＝2−62，
∴P（2−62，62）
所以符合条件的点P坐标为P（0，6−2），P（2−62，62）．
18．【探索】
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用该图形验证勾股定理．
【应用】
（2）如图2，MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米．现要在CD之间建一个中转站O，求中转站O应建在离点C多少千米处时，才能使它到A，B两个城市的距离相等？
【拓展】
（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为40cm、宽为26cm的长方形纸板上剪下一个腰长为25cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算该等腰三角形的面积．（位置不同，形状相同的将视为一种结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，；
也可以表示为S△ADE+S△BCE+S△CDE=12ab+12ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12ab+12c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）设OC＝x千米，则OD＝（80﹣x）千米，
由题意，得AO＝BO，即AO2＝BO2，
由勾股定理，得AO2＝AC2+OC2BO2＝BD2+OD2；
∴402+x2＝602+（80﹣x）2，
解得x＝52.5，
∴中转站O应建在离点C52.5千米处；
（3）如图，等腰三角形BEF的面积=12×25×25=312.5(cm2)，
如图，由题意，得BE＝EF＝25cm，AE＝AB﹣BE＝1cm．
由勾股定理，得AF=EF2−AE2=252−12=439(cm)，
∴等腰三角形BEF的面积=12BE⋅AF=12×25×439=5039(cm2)；
如图，由题意，得CE＝BC﹣BE＝40﹣25＝15（cm），
BE＝EF＝25cm．
由勾股定理，得CF=EF2−CE2=252−152=20(cm)，
∴等腰三角形BEF的面积=12BE⋅CF=12×25×20=250(cm2)．
综上所述，等腰三角形BEF的面积为5039cm2或312.5cm2或250cm2．
19．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD＝ 12a（a+b） ，S△EBC＝ 12b（a﹣b） ，S四边形AECD＝ 12c2 ，则它们满足的关系式为 12a（a+b）=12b（a﹣b）+12c2 ，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 826 千米（直接填空）．
（2）在（1）的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x2+9+(16−x)2+81的最小值（0＜x＜16）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：【小试牛刀】S梯形ABCD=12a（a+b），S△EBC=12b（a﹣b），S四边形AECD=12c2，
它们满足的关系式为：12a（a+b）=12b（a﹣b）+12c2，
答案为：12a（a+b），12b（a﹣b），12c2，12a（a+b）=12b（a﹣b）+12c2．
【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC＝AE，CE＝AB，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，
∴CD=DE2+CE2=82+402=826（千米），
∴两个村庄相距826千米．
故答案为：826．
（2）如图2②所示：
设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，
在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，
在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，
∵PC＝PD，
∴x2+242＝（40﹣x）2+162，
解得x＝16，
即AP＝16千米．
【知识迁移】：如图3，
先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式x2+9+(16−x)2+81的最小值．
代数式x2+9+(16−x)2+81的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
∴代数式x2+9+(16−x)2+81的最小值为：DE2+EF2=(AD+BC)2+AB2=(9+3)2+162=20．
20．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式x2+32+(12−x)2+22的最小值．
分析：x2+32和(12−x)2+22是勾股定理的形式，x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，(12−x)2+22是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式x2+32+(12−x)2+22的最小值为 13 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式x2+4+(5−x)2+1的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x满足64−x2+225−x2=17，求x的值．
【答案】（1）13；
（2）代数式x2+4+(5−x)2+1的最小值是34；
（3）x=12017．
【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12，
∴AD=AH2+HD2=13，
∴代数式x2+32+(12−x)2+22的最小值是13，
故答案为：13；
（2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5，
∴AD=32+52=34，
∴代数式x2+4+(5−x)2+1的最小值是34；
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝8，BC＝15，如图，
设CD＝x，则AD=64−x2，BD=225−x2，
∴AB=64−x2+225−x2=17，
∵82+152＝172，
∴∠ACB＝90°，
∴12×8×15=12×17×x，
∴x=12017．
21．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB＝92．
∵CG＝32，
∴CE＝62，
连接EG，
∴EG=CE2+CG2=72+18=310，
∴DE=22EG＝35．
∴正方形DEFG的边长为35．
22．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE−PAPB的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，AB=DC∠ABC=∠DCBBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，∠EBQ=∠ABPBE=BA∠BEQ=∠BAP，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ=2PB，
∴PE−PAPB=PE−QEPB=PQPB=2．
23．综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使∠CED＝90°，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，射线DE，E′B交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要∠CED＝90°，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E′G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
在（2）的条件下，已知AF＝1，BC＝5，直接写出BF的长度．

【答案】（1）见解析；（2）FO=2E′G，理由见解析；（3）32．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，
∴CE＝CE′，∠ECE′＝90°，
∵∠CED＝90°，
∴∠BCE+∠DCE＝90°，∠BCE+∠BCE′＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE′，
△CBE′≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠CE′B＝90°，
∴四边形EFE′C的形状都是矩形，
∵CE＝CE′，
∴四边形EFE′C是正方形．
（2）FO=2E′G，理由如下：
连接BD，OG，
∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，
∴O是BD的中点，AC＝BD，OC=OB=12AC，
∵四边形EFE′C是正方形，
∴∠BFE＝90°，
∴FO=OB=12BD=12AC=OC，
∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵G是BC的中点，
∴OG＝BG＝GC，
∴OC=OG2+GC2=2GC，
∵四边形EFE′C是正方形，
∴∠BE′C＝90°，
∵G是BC的中点，
∴E′G=12BC=GC，
∴OC=2E′G，
∴FO=2E′G．
（3）取AF的中点M，取BF的中点N，
连接OM，ON，OB，MN，
∴MN∥AB，MN=12AB，
∵BC＝AB＝5，
∴MN=12AB=52，
根据（2）得OB＝OC＝OF＝OA，AF＝1，
∴AM=FM=12AF=12，∠OMF＝90°，∠AOM=∠FOM=12∠AOF，
∴FN=BN=12BF，∠ONF＝90°，∠BON=∠FON=12∠BOF，
∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，BC＝AB＝5，
∴∠AOB＝90°，AC=BD=AB2+BC2=52，OA=OB=OF=12AC=522，
∴∠FOM+∠FON=12∠AOF+12∠BOF=12(∠AOF+∠BOF)=12∠AOB=45°，
∴OM=OF2−MF2=72，
过点M作MQ⊥ON于点Q，
∴MQ=OQ=OMsin45°=724，
∴NQ=MN2−NQ2=24，
∴ON=OQ+NQ=22，
∴FN=OF2−ON2=322，
∴BF=2FN=32．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，点P是BC上动点，连结AP．
（1）若平行四边形ABCD是菱形，∠CAD＝50°，试求出∠D的度数；
（2）若BP＝2CP＝4，AP=17，CD＝5，求AC的长；
（3）过点P作PF⊥AP交线段CD于点F．过B点作BH⊥AP于H，交△ABC的高AE于点N．若AP＝BN，AN＝CP，求证：BP=2CF+CP．
【答案】（1）80°；
（2）5；
（3）证明过程见解答．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠CAD＝50°，
∴∠BAD＝2∠CAD＝100°．AB∥CD，AB＝CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝80°；
（2）解：作AE⊥BC于E，
由勾股定理可得AE2＝AB2﹣BE2＝AP2﹣PE2，
∵BP＝2CP＝4，
∴BE＝4﹣PE，CP＝2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴52﹣（4﹣PE）2＝（17）2﹣PE2，
解得PE＝1，
∴AE＝4，CE＝CP+PE＝3，
∴AC=AE2+CE2=42+32=5；
（3）证明：连接NP，
∵AE⊥BC，BH⊥AP，
∴∠AEB＝∠AEP＝∠BHP＝90°，
∴∠EBN+∠BNE＝∠EBN+∠APE＝90°，
∴∠BNE＝∠APE，
在△BEN和△APE中，
∠NEB=∠PEA∠BNE=∠APEBN=AP，
∴△BNE≌△APE（AAS），
∴BE＝AE，NE＝PE，
∴∠ABC＝∠ENP＝∠EPN＝45°，
∴NE＝PE=22NP，∠ANP＝∠PCF＝135°，
∵AP⊥PF，
∴∠CPF+∠APE＝90°，
∵∠NAP+∠APE＝90°，
∴∠NAP＝∠CPF，
在△NAP和△CPF中，
∠ANP=∠PCFAN=PC∠NAP=∠CPF，
∴△NAP≌△CPF（ASA），
∴NP＝CF，
∴NE＝PE=22CF，
∴BP＝PE+BE＝PE+AE＝PE+NE+AN＝2NE+CP=2CF+CP．
阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，
易证△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2；
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4；
∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠5．
∵∠2+∠6＝120，
∴∠5+∠6＝120°，
∴∠AMN＝60°；
（2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：
则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
∴∠MCN＝90°+45°＝135°，
∴∠BCE+∠MCN＝180°，
∴E、C、N，三点共线，
在△ABM和△EBM中，
AB=EB∠ABM=∠EBMBM=BM，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠5，
∵∠1+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．
26．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠C，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
②OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE=12BC=12DC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
∠DGF=∠CBF∠DFG=∠CFBDF=CF，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴OD=12AG＝AD＝AB；
（2）①若点F在CD上，如图2①，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
AB=BCAE=BF，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE=42+22=25．
∵S△ABE=12AB•BE=12AE•BO，
∴BO=AB⋅BEAE=4×225=455．
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，
AB=BAAE=BF，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE＝∠ABF，
∴OB＝OA．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴OB＝OE，
∴OA＝OB＝OE．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE=42+22=25，
∴OB=12AE=5．
综上所述：BO的长为455或5．
27．已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE，
（1）判定线段AG和线段CE的数量有什么关系？请说明理由．
（2）将正方形BEFG，绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）若在图2中连接AE和CG，且AE＝2CG＝4，求正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为 10 ．（直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AG＝CE．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，
在△ABG和△CBE中，
∵AB=CB∠ABG=∠CBE=90°BG=BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；
（2）AG＝CE仍然成立．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠EBG＝90°，
∵∠ABG＝∠ABC+∠CBG，
∠CBE＝∠EBG+∠CBG，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
∵AB=CB∠ABG=∠CBEBG=BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；
（3）如图2，连接AC、EG，设AG、CE交点为H，
∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG＝∠BCE，
∴∠CAH+∠ACH＝∠CAH+∠ACB+∠BCE
＝∠CAH+∠ACB+∠BAG＝90°，
∴AG⊥CE，
在Rt△CGH中，CG2＝CH2+GH2，
在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2，
∴CG2+AE2＝CH2+GH2+AH2+EH2＝（CH2+AH2）+（GH2+EH2）＝AC2+EG2，
∵AE＝2CG＝4，
∴CG＝2，
∴AC2+EG2＝22+42＝20，
∴正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为12×20＝10．
故答案为：10．
28．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 45° （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形；
②试说明EF＝BE+DF，若AB＝6，求（BE+6）（DF+6）的值．
【答案】（1）45°；
（2）①证明见解析过程；
②72．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，
∴∠AEF+∠AFE=12(∠DFE+∠BEF)=12×270°=135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AEB＝∠AEG，∠AFG＝∠AFD，
在△AEB和△AEG中，
∠AEB=∠AEG∠ABE=∠AGE=90°AE=AE，
∴△AEB≌△AEG（AAS），
∴AB＝AG，
同理可证明：△AFG≌△AFD（AAS），
∴AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：延长CB至H，使BH＝DF，如图2所示：
在△ABH和△ADF中，
AB=AD∠ABH=∠ADFBH=DF，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，
由（1）可知∠EAF＝45°，
又∵∠EAB+∠FAD+∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAD＝∠EAF＝45°，
∴∠EAB+∠HAB＝∠EAF＝45°，
即∠HAE＝∠EAF，
在△AHE和△AFE中，
AE=AE∠HAE=∠EAFAH=AF，
∴△AHE≌△AFE（SAS），
∴HE＝EF，
∴HB+BE＝EF，
∴DF+BE＝EF，
设BE＝a，DF＝b，
∵△AHE≌△AFE，
∴S△ABE+S△ADF＝S△AEF，
∴S正方形ABCD＝S△ABE+S△ADF+S△AEF+SECF＝2（S△ABE+S△ADF）+SECF，
即6×6=2×(12×6a+12×6b)+12(6−a)(6−b)，
化简得：3a+3b+12ab=18，
∴6a+6b+ab＝36，
∴（BE+6）（DF+6）＝（a+6）（b+6）＝6a+6b+ab+36＝36+36＝72．
29．【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，DE．试说明：DE＝EF．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB＝2，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：【问题原型】证明：
在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点
∴EF∥AB，且EF=12AB
在Rt△ACD中，点E为AC的中点∴DE=12AC∵AB＝AC，∴DE＝EF
【探究】解：∵AC平分∠BAD，EF∥AB，
DE=12AC＝AE＝EC
∴∠BAC＝∠DAC，∠CEF＝∠BAC
∠DEC＝2∠DAC＝∠BAD
∵∠DEF＝90°
∴∠CEF+∠DEC＝∠BAC+2∠DAC＝90°
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝60°
【应用】四边形ABCD的面积为：332
∵四边形CDEF是菱形，EC＝DE，
∴△CDE与△CEF都是等边三角形，
∵AB＝2，∴EF＝DE＝CD＝CF＝1
∴S△DCE＝S△DEA＝S△CEF=34，
∵EF∥AB，∴S△CEFS△ABC=(12)2，∴S△ABC＝4S△CEF=3
∴S四边形ABCD＝S△DCE+S△DEA+S△ABC
＝2×34+3=332．
30．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1
①证明：∠DAH＝∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
DA=DC∠ADH=∠CDHDH=DH，
∴△DAH≌△DCH，
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形．
（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝5，
在Rt△DCE中，CE=DE2−DC2=52−42=3，
∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可证GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE=DE2−DC2=52−42=3，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．
综上所述，BE的长为7或1．
项目背景
某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究．
素材
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示．
解决问题
任务一
（1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理．
任务二
（2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理．
任务三
（3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式表示）．