2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇第二十一章四边形单元检测卷（含解析）

这是一份2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇第二十一章四边形单元检测卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二十一章------四边形 单元复习检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．中国瓷器文化悠久，“China”一词就是源于中国瓷器的英文．如图，是一个正八边形形状的瓷盘，其中正八边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
2．科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．米B．米C．米D．不能确定
3．如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（ ）
①四边形是平行四边形； ②；
③是的中线； ④
A．①②③④B．②①④③C．③②④①D．④②③①
4．如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连接，交于点O，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在边长为a的正六边形中，点P从点A出发，沿向点F运动，连接，，M，N分别是，的中点，则在点P运动过程中，的长度（ ）

A．等于B．大于C．小于D．与a的值无关
6．如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
7．北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
下列说法正确的是（ ）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
8．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（ ）
A．2B．C．D．3
10．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点到的距离为2；
结论②：．
A．结论①，②均正确B．结论①，②均不正确
C．只有结论①正确D．只有结论②正确
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图为一个正八边形窗户示意图，，分别为边，的中点．若连接，则的度数为_____．
12．如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________m．
13．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________．
14．如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___．
15．如图，M为正方形内一点，平分，连接，，过点作交延长线于点N，，将沿所在的直线平移得到，若，，连接，则的长为__________．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程）
16．（8分）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
17．（8分）如图，已知，交于点；

(1)求证：；
(2)请写出四个面积等于面积一半的三角形．
18．(7分)在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：．
证明：∵四边形是矩形，
∴，

∵，
，，
∴
∴．
∴
又，，
∴．
19．（9分）矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，M、N分别是AB、CD上的点，将四边形MBCN沿MN折叠时，点B恰好落在D处，点C落在点E处，连接BN．
(1)求证：四边形DMBN是菱形；
(2)求线段AM之长；
(3)求折痕MN之长．
20．（9分）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)请你猜想与的数量关系，并给出证明．
(3)在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
21．（9分）阅读下面材料，完成相应的任务．
任务：
(1)上述材料中的依据是指：_______．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：．
22．（12分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．

(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
23．（13分）综合与探究 主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动．
【动手操作】
操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在；
操作二：射线交于M，过M作交于N．
【探究发现】
（1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ；
【问题探究】
（2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（3）在折叠过程中若，求的值．
2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇
第二十一章------四边形 单元复习检测卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．中国瓷器文化悠久，“China”一词就是源于中国瓷器的英文．如图，是一个正八边形形状的瓷盘，其中正八边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式，求解即可．
【详解】解：正八边形的内角和为，C选项符合题意．
2．科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．米B．米C．米D．不能确定
【答案】C
【分析】根据正多边形外角和等于即可求解．
【详解】解：由程序图知：机器人走过的图形为正多边形，且外角为，
故边数．
走过的路程米
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的外角，解题关键是熟知正多边形外角和等于．
3．如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（ ）
①四边形是平行四边形； ②；
③是的中线； ④
A．①②③④B．②①④③C．③②④①D．④②③①
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据是的中线得出，结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：③是的中线；
②；
④
①四边形是平行四边形；
则正确的顺序为③②④①
故选：C．
4．如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连接，交于点O，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设、交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，得到，，推导出与的比，即得出与的比，即可解答与的比．
【详解】解：如图，设、交于点，连接，
，
，，
由，得为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、三角形全等相关知识点的应用，同高三角形的面积比的应用是解题关键．
5．如图，在边长为a的正六边形中，点P从点A出发，沿向点F运动，连接，，M，N分别是，的中点，则在点P运动过程中，的长度（ ）

A．等于B．大于C．小于D．与a的值无关
【答案】A
【分析】根据三角形中位线可进行求解．
【详解】解：∵点M，N分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查三角形中位线及正多边形的性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键．
6．如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答．
【详解】解：依题意，，
则
，
要求矩形的周长，求出即可，
现已知与的面积差，
则只需要知道的长．
故选：A．
7．北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
下列说法正确的是（ ）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由北北的作法得，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，得北北的作法正确，由仑仑的作法得，无法通过一组对边平行一组对边相等证明四边形是平行四边形，故仑仑的作法错误，即可作答．
【详解】解：由北北的作法得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故北北的作法正确；
由仑仑的作法得
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴无法证明四边形是平行四边形，
∴更无法证明四边形是菱形，
故仑仑的作法错误，
故选：C
8．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可．
【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴当时，变成“矩形”，
故选：A．
9．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比．
【详解】解：设，
长方形的长与宽比值为，
，
由折叠可知，，，，
，
四边形为正方形，
，，
∵长方形
∴
∴，
∴点共线，
∴，
同理可得，三点共线，
由折叠可得，，
∴
长与宽的比值为．
10．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点到的距离为2；
结论②：．
A．结论①，②均正确B．结论①，②均不正确
C．只有结论①正确D．只有结论②正确
【答案】A
【分析】本题考查几何综合，涉及角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记正方形性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
过点作于点，如图所示，由角平分线的性质直接求证即可得到①正确；再由两个三角形全等的判定与性质得到、，数形结合表示出即可得到②正确．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
在正方形中，，，
平分，，，
，
故①正确；
分别平分和，
，，
在和中，
，
；
同理可证，
；
，
故②正确；
综上所述，结论①，②均正确，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图为一个正八边形窗户示意图，，分别为边，的中点．若连接，则的度数为_____．
【答案】
【分析】连接，得，根据等腰三角形的性质，得解答即可．
本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：连接，根据正八边形，
得
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________m．
【答案】35
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义及直角三角形斜边上的中线定义．根据题意得出为等腰三角形，再由得出为的垂直平分线，从而得到，，又由E，F分别为，的中点推出，分别为和斜边上的中线，从而可知，最终求得所需钢架的总长度．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，
又∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵E，F分别为，的中点，
∴，分别为和斜边上的中线，
∴，
又∵，
∴和均为等边三角形，
∴，
∵，
∴需要的钢架总长度为：．
故答案为：35．
13．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
先利用矩形的性质得到边角的相等，再运用勾股定理求出的长度，然后通过所对的直角边等于斜边的一半逆推，推出，最后证明为等边三角形并使用性质解题即可．
【详解】解：∵相同大小的矩形纸片和，，
∴，，
∵点恰好落在的中点，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
14．如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___．
【答案】10
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图，由题意得：矩形和矩形全等，
∴，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：10．
15．如图，M为正方形内一点，平分，连接，，过点作交延长线于点N，，将沿所在的直线平移得到，若，，连接，则的长为__________．
【答案】或/或
【分析】当点在线段上时，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出，解得，则，，，最后根据勾股定理求解即可；当点在线段延长线上时，同理可求即可．
【详解】解：当点在线段上时，连接，，
∵正方形中，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴；
当点在线段延长线上时，连接，，
同理可求，
∴，
∴；
综上：的长为或．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程）
16．（8分）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【答案】(1)15
(2)45
(3)
【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解；
（2）用多边形的边数乘以的长，即可求解；
（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：．
故答案为：15
（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为（米）；
故答案为：45
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴这个正m边形的每一个内角的度数为．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．
17．（8分）如图，已知，交于点；

(1)求证：；
(2)请写出四个面积等于面积一半的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线平分三角形面积等知识；
（1）由两个平行条件可得四边形是平行四边形，且，进而可证明，得，问题即可解决；
（2）由是中线得的面积等于面积一半；由得等底等高，则其面积相等，则得满足题意的四个三角形．
【详解】（1）证明：，
∴四边形是平行四边形，，
；
，
，
，
，
；
（2）解：由是的中线，则的面积等于面积一半；
由，则等底等高，它们的面积也相等；
故面积都等于面积一半的三角形．
18．(7分)在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：．
证明：∵四边形是矩形，
∴，

∵，
，，
∴
∴．
∴
又，，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)，，
【分析】本题考查作图-基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）根据作一个角等于已知角的方法作出图形即可；
（2）证明可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
．
∵，
，，
∴，
∴．
∴，
又，，
∴．
故答案为：，，．
19．（9分）矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，M、N分别是AB、CD上的点，将四边形MBCN沿MN折叠时，点B恰好落在D处，点C落在点E处，连接BN．
(1)求证：四边形DMBN是菱形；
(2)求线段AM之长；
(3)求折痕MN之长．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得BM=DM，DN=BN，∠DMN=∠BMN，再由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，从而得到∠DNM=∠BMN，进而得到∠DNM=∠DMN，继而得到DM=DN，即可求证；
（2）设AM=x，则DM=BM=AB-AM=9-x，在中，由勾股定理，即可求解；
（3）连接BD，由勾股定理可得，再根据，即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意得：BM=DM，DN=BN，∠DMN=∠BMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DNM=∠BMN，
∴∠DNM=∠DMN，
∴DM=DN，
∴DM=BM=DN=BN，
∴四边形DMBN是菱形；
（2）解：设AM=x，则DM=BM=AB-AM=9-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在中，，
∴，解得：x=4，
即AM=4；
（3）解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在中， AB＝9，AD＝3，
∴，
由（2）得：AM=4，
∴BM=5，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
20．（9分）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)请你猜想与的数量关系，并给出证明．
(3)在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据由三个角为直角的四边形为矩形，即可求证；
（2）根据矩形的性质可得，再证明△ADP≌△ABP，即可求证；
（3）根据可得的最小值，即的最小值，再由垂线段最短，可得当时，取得最小值，求出AC，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴
又∵是正方形
∴
∴四边形四边形是矩形
（2）解：，证明如下：
连接，
∵四边形为矩形，
∴，
又∵四边形是正方形，P为上任意一点，
∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，
∵AP=AP，
∴△ADP≌△ABP，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，
当时，取得最小值，
∵正方形ABCD的周长为40，
∴AD=CD=10
∵AD=CD，∠ADC=90°，
，
∵，
∴
∴的最小值是．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
21．（9分）阅读下面材料，完成相应的任务．
任务：
(1)上述材料中的依据是指：_______．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：．
【答案】(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理）
(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理及逆定理等知识；熟练运用相关性质定理是正确解答此题的关键．
（1）根据三角形的中位线定理即可解答；
（2）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，进而可得．再由勾股定理即可得．
（3）连接，取的中点H，连接，．根据三角形中位线定理得，，，．进而可得，．用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且．即可得结论．
【详解】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理）
（2）解：如图2，取的中点P，连接，．
点E、F分别是，的中点，
，，，．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）
，．
．
．
在中，由勾股定理，得．
（3）证明：如图，连接，取的中点H，连接，．
点E，F分别是，的中点，
，，，．
，．
，，，
是直角三角形，且．
．
．
22．（12分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．

(1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
(2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
【答案】(1)①是；②∠A=45°（答案不唯一）
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
(3)
【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形．
（2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证．
（3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是．
【详解】（1）解：①是；
由折叠知，,
∵中,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
②∠A=45°（答案不唯一）
若，则
而四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．

（2）证明：四边形是平行四边形．
如图，连接GH．

∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由折叠可知，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图，，则点落在上，，
由折叠知，．
∴为等边三角形，
∴．
在中，根据勾股定理，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键．
23．（13分）综合与探究 主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动．
【动手操作】
操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在；
操作二：射线交于M，过M作交于N．
【探究发现】
（1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ；
【问题探究】
（2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（3）在折叠过程中若，求的值．
【答案】（1）（或）；相等；（2）为正方形，理由见解析；（3）的值为或
【分析】本题考查了矩形与折叠，长方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识，根据各项性质找到线段相等和角度相等关系，并通过相似三角形构建线段等量关系是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和矩形的性质可得，根据矩形的对边平行可得；证明，可得；
（2）先证明四边形是矩形，再证明即可得出结论；
（3）设，则，分点在线段上时和点M在线段上两种情况根据折叠的性质和勾股定理分别求出，的长即可．
【详解】解：（1）由折叠得，，，
或者：∵四边形是矩形，
∴，，
∴；，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：（或）；相等；
（2）为正方形．理由如下：
当点与点M重合时，点P与点N重合．
∵，，
∴，
得：，
又为矩形，
故为正方形．
（3）设，则，
情况一：当点在线段上时，
由折叠性质可知：，
由（1）可知：，即，
中，，得：，
故：．
情况二：当点M在线段上时，
由折叠性质可知：，
由（1）可知：，即，
中，，得：，
故：．
综上：的值为或．
北北的作法：
如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形．
仑仑的作法：
如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．
如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决．
例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长．
解：如图2，取的中点P，连接，．
点E、F分别是，的中点，
，，，．（依据）
……
北北的作法：
如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形．
仑仑的作法：
如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．
如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决．
例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长．
解：如图2，取的中点P，连接，．
点E、F分别是，的中点，
，，，．（依据）
……