2026年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）（原卷版＋解析版）

这是一份2026年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）（原卷版＋解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）样本数据6，8，4，5，12的中位数为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【分析】将给定的五个数据按从小到大的次序排列，处在第三位的那个数就是这组数据的中位数．
【解答】详细求解过程如下：将样本从小到大排列：4，5，6，8，12，
所以中位数为6．
故选：B．
【知识点】该题检测数据排序与中位数基本概念的掌握程度，属于基础计算题型．
2．（5分）已知平面向量a→，b→不共线，且2a→+yb→=xa→−3b→，则（ ）
A．x＝2，y＝﹣3B．x＝﹣2，y＝3C．x＝2，y＝3D．x＝﹣2，y＝﹣3
【分析】对于两个不共线的向量，若它们的线性组合相等，移项后各系数必然均为零，据此列出方程组即可解出x与y．
【解答】依题目所给信息可得：详细求解过程如下：鉴于2yx3，这是我们接下来分析的出发点。
所以（2﹣x）a→=（﹣3﹣y）b→，
因为a→，b→不共线，
所以2﹣x＝﹣3﹣y＝0，
所以x＝2，y＝﹣3．
故选：A．
【知识点】该题考核平面向量基本定理的核心推论——不共线向量线性组合为零的充要条件是系数全为零，属入门级题目．
3．（5分）已知集合A＝{sin7π6，cs5π3，tan5π4}，B＝{−32，−12，1}，则A∩B＝（ ）
A．{−32，−12}B．{−32，1}
C．{−12，1}D．{−32，−12，1}
【分析】逐一计算sin、cs和tan的精确数值以确定集合A的具体元素，再找出同时出现在集合B中的元素作为交集．
【解答】由前一步的结论可知：详细求解过程如下：A＝{sin，cs，tan}＝{，，1}，此结论对后续步骤至关重要。
所以A∩B＝{−12，1}．
故选：C．
【知识点】该题将特殊角三角比的精确值计算与集合交集运算有机结合，难度为基本级别．
4．（5分）曲线y＝5x+8lnx在点（1，5）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+2B．y＝5xC．y＝8x﹣3D．y＝13x﹣8
【分析】对曲线方程求导后，将切点横坐标x=1代入导函数获得切线斜率，再运用点斜式写出切线方程．
【解答】我们首先观察到，详细求解过程如下：y′＝5，此结论对后续步骤至关重要。
所以x＝1时，y′＝5+8＝13，
所以切线方程斜率为13，
设切线方程为y＝13x+b，则5＝13+b，
所以b＝﹣8，
所以切线方程为y＝13x﹣8．
故选：D．
【知识点】该题检测导数几何意义——曲线在某点的切线斜率即为该点导数值——的直接运用，属基础运算题．
5．（5分）已知抛物线C1：y2＝2p1x（p1＞0）和C2：x2＝2p2y（p2＞0）均经过点（4，8），则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为（ ）
A．12B．45C．6D．652
【分析】将已知点坐标(4,8)分别代入两抛物线方程以确定参数p1与p2，进而求出两焦点的具体坐标，最后利用两点间距离公式计算．
【解答】详细求解过程如下：鉴于抛物线C1：y2＝2p1x（p1＞0）和C2：x2＝2p2y（p2＞0）均经过点（4，8），
所以64＝8p1，16＝16p2，所以p1＝8，p2＝1，
所以C1的焦点与C2的焦点分别为（4，0），（0，12），
所以C1的焦点与C2的焦点之间的距离为652．
故选：D．
【知识点】该题考核抛物线标准方程中参数p与焦点坐标之间的换算关系，属于基础计算题．
6．（5分）已知函数f（x）=x+2ex+a的最大值为1，则a＝（ ）
A．12B．1C．32D．2
【分析】函数在最大值点处需满足两个必要条件：导数等于零，且函数值等于题目给定的最大值1；联立这两个方程即可求出x0与参数a．
【解答】按照定义展开计算：详细求解过程如下：f′（x），这一步是后续推导的基础。
令x＝x0时，f（x）有最大值1，
所以x0+2ex0+a=1−(x0+1)ex0+a(ex0+a)2=0，
整理得：x0+2＝（x0+2）ex0，
所以x0+2＝0或ex0=1，
所以x0＝﹣2或x0＝0，
当x0＝﹣2时，f（﹣2）＝0，不符合题意；
所以x0＝0，
所以a＝1，
所以f′（x）=−(x+1)ex+1(ex+1)2，
因为（ex+1）2＞0，令g（x）＝1﹣（x+1）ex，
所以g′（x）＝﹣ex﹣（x+1）ex＝﹣（x+2）ex，
因为ex＞0，
所以当x＞﹣2时，g（x）单调递减，x＜﹣2时，g（x）单调递增，
因为x＜﹣1时g（x）＞0恒成立，
所以当x＞0时，g（x）＜0，当x＜0时，g（x）＞0，故x＝0是f（x）的最大值，符合题意，
综上，a＝1．
故选：B．
【知识点】该题要求通过分析导函数的符号变化来确定原函数的单调区间和极值点，进而判断全局最值，解题过程涉及较复杂的代数变形，属高难度题型．
7．（5分）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai（i＝1，2，…，12），其中a1＝1，a2＝a3＝3，a4＝a5＝5，且a6，a7，…，a12是一个首项为7，公差为2的等差数列．将a1，a2，…，a12分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d（d＞0）的等差数列，则d＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】先汇总前五行塔的座数，利用总塔数108推得新等差数列{bn}的前六项和，由此建立关于首项b1与公差d的方程；再根据bn必须为偶数及b1>0的约束限制d的可能取值．
【解答】详细求解过程如下：依题意不难发现，1+3+3+5+5+7×72＝108，
设每组的2个数之和可构成的等差数列为{bn}，前n项和为Sn，
因为S6＝108，
所以b1+b6＝b2+b5＝b3+b4＝108÷3＝36，
所以2b1+5d＝36，
所以d为偶数，
所以b1＝18−52d，
因为ai为奇数，
所以bn为偶数，
所以d是4的倍数，
因为b1＞0，
所以d＜365＜8，
所以d＝4．
故选：B．
【知识点】该题以一百零八塔这一文化遗迹为背景铺设数列情境，在求和新数列公差的过程中需综合运用整除性分析和数列性质，属于融合了数学建模思想的高难度综合题．
8．（5分）设U＝{（x1，x2，x3）|xi∈{﹣2，﹣1，1，2}，i＝1，2，3}为空间中64个点构成的集合．点P（1，1，1），记样本空间Ω＝∁U{P}，从Ω中随机取一个点．定义随机变量X如下：对Ω中的每个点A（x1，x2，x3），令X（A）＝x1+x2+x3，则X的数学期望为（ ）
A．−121B．−163C．0D．17
【分析】集合U中的64个点关于原点完全对称分布，因此所有点的三个坐标各自的和均为零；从U中挖去点P(1,1,1)后得到Ω，利用对称性即可求得Ω中全部点的x坐标总和，除以样本数|Ω|=63便得到期望值．
【解答】依题目所给信息可得：详细求解过程如下：∵U＝{（x1，x2，x3）|xi∈{﹣2，﹣1，1，2}，i＝1，2，3}，这是我们接下来分析的出发点。
∴U内元素个数为43＝64个，且一定存在点A′（﹣x1，﹣x2，﹣x3）∈U，A与A′关于原点对称，
∵X（A）+X（A′）＝0，
∴U内，∑UX（A）＝0，
∵Ω＝∁UP，
∴∑ΩX（A）＝∑UX（A）﹣X（P）＝0﹣（1+1+1）＝﹣3，
∴E（X）=Ω X(A)63=−121．
故选：A．
【知识点】该题巧妙借助空间点集的对称性来化简随机变量期望的计算，考核了对期望定义本质的理解以及对称性的灵活运用，难度为中等．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设z＝3+2i，则（ ）
A．z=3﹣2iB．|z|＝5C．z2＝5+12iD．z+3z−i∈R
【分析】由z=3+2i依次算出它的共轭、模长|z|、平方值z²以及z除以其共轭的商，逐项与四个选项比对即可判断正误．
【解答】依题目所给信息可得：详细求解过程如下：鉴于z＝3+2i，这是我们接下来分析的出发点。
所以z=3﹣2i，|z|=32+22=13，故A正确，B错误，
所以z2＝9﹣4+12i＝5+12i，故C正确，
所以z+3z−i=6+2i3+i=(6+2i)(3−i)(3+i)(3−i)=18+2+6i−6i9+1=2∈R，故D正确．
故选：ACD．
【知识点】该题围绕一个给定复数依次检验其共轭、模长、平方及除以其共轭的商，全面考核复数四则运算的基本技能，属简单题型．
（多选）10．（6分）在空间中，A，B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1．若二面角C﹣AB﹣D为60°，则（ ）
A．∠CAD≥60°
B．CD≥3
C．当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD
D．当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD
【分析】以A为坐标原点、AB为z轴正向建立空间直角坐标系。由二面角条件知C、D在垂直于AB的平面上的投影射线夹角为60°，且两动点到z轴的距离分别为2和1；故C的参数坐标为(2,0,z1)，D的参数坐标为(cs60°,sin60°,z2)即(1/2,√3/2,z2)。对四个选项逐一进行真伪判断．
【解答】详细求解过程如下：依据题意，以A为原点，AB为z轴，建立空间直角坐标系，从二面角C﹣AB﹣D为60°，且点C、D到z轴的距离分别为2和1，
设C（2，0，z1），D（12，32，z2），则A（0，0，0），
对于A，当z1＝z2→+∞时，射线AC，AD均趋近于与z轴平行，此时∠CAD→0°，说明∠CAD≥60°不成立，选项A错误；
对于B，CD=(12−2)2+(32−0)2+(z2−z1)2=3+(z2−z1)2≥3，当z1＝z2时CD取得最小值3，选项B正确；
对于C，当AB⊥CD时，AB→•CD→=0，不妨设AB→=（0，0，1），得CD→=（−32，32，0），
平面ABD由z轴和点D确定，设该法向量法向量为n→=（x，y，z），则n→⋅AB→=z=0n→⋅AD→=12x+32y=0，
令x=3，得y＝﹣1，所以n→=（3，﹣1，0），因为CD→=−32n→，所以CD⊥平面ABD，选项C正确；
对于D，若AB⊥平面ACD，则AB垂直于平面ACD内的所有直线，即AB⊥AC，且AB⊥AD，此时A是C、D在AB上的垂足，
∠CAD是二面角C﹣AB﹣D的平面角，即∠CAD＝60°，AC⊥AD不成立，选项D错误．
故选：BC．
【知识点】该题以空间中两动点到定直线的距离为约束构造几何模型，通过建立坐标系参数化表达点坐标后逐一验证四个命题，综合考核空间想象力和演绎推理能力，属中等难度．
（多选）11．（6分）已知圆C1：（x+1）2+y2＝1，圆C2：（x﹣1）2+y2＝1，圆C3：x2+（y−3）2＝1，直线l：y＝kx+b与C1，C2，C3均有两个交点．记l被C1，C2，C3截得的弦长分别为s1，s2，s3，则（ ）
A．k可以取任意实数
B．满足s1＝s2＝s3的直线l共有3条
C．满足s1+s2+s3＝3的直线l多于3条
D．当b＝0时，s1+s2+s3的最大值为2213
【分析】A：当直线垂直于任意两个圆心连线时，该直线无法同时与三个圆均有两个交点，由此排除某些k值；B：利用垂径定理将弦长表示为圆心到直线距离的函数，令三个弦长相等解出参数以确定直线条数；C：固定b=0代入弦长和的函数表达式，解关于中间变量的二次方程确定k值；D：对弦长和函数求导数分析单调性，找出最大值点并计算最大值．
【解答】详细求解过程如下：令三圆圆心分别为O1，O2，O3，三个圆心到直线l的距离分别为d1，d2，d3，
由三圆方程可知，O1（﹣1，0），O2（1，0），O3（0，3），半径r均为1，
如图：
由直线与圆的位置关系可知，当直线l⊥O1O2或l⊥O2O3，或l⊥O1O3时，直线l不可能同时与三圆有两个交点，
∴k≠±33，故A错误；
由垂径定理可知，r2＝（si2）2+di2，i＝1，2，3，
∴si＝2r2−di2，i＝1，2，3，
∴当s1＝s2＝s3时，d1＝d2＝d3，
∴|−k+b|1+k2=|k+b|1+k2=|b−3|1+k2，
∴|﹣k+b|＝|k+b|＝|b−3|，
∴k＝0或b＝0，
当k＝0时，b=3−b，
∴b=32，
当b＝0时，|k|=3，
∴k＝±3，
∴直线l共有三条，故B正确；
当b＝0时，d1＝d2=|k|1+k2，d3=31+k2，
∴s1＝s2＝21−k21+k2=21+k2，s3＝21−31+k2，
∴s1+s2+s3=41+k2+21−31+k2，
令11+k2=t，则s1+s2+s3＝4t+21−3t2，
令f（t）＝4t+21−3t2，
∵直线l与三圆有两个交点，
∴d1＜r，d2＜r，d3＜r，
∴3t＜1，
∴0＜t＜33，
当f（t）＝3时，4t+21−3t2=3，
整理得：28t2﹣24t+5＝0，
解得：t=12或514，均符合题意，
∴11+k2=12或514，
∴k＝±3或±1715，
∴直线l至少有4条，故C正确；
令f′（t）＝4+2×12×−6t1−3t2=4−6t1−3t2=0，
解得：t=221＜33，
∴当t=221时，f（t）有最大值，f（221）=821+21−3×421=82121+2217=2213，故D正确．
故选：BCD．
【知识点】该题以三条圆公共弦长为研究对象，深度融合了直线与圆相交的弦长计算、方程求根以及函数最值分析等多个核心知识模块，属于解析几何中复杂度较高的综合问题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）双曲线5x2﹣6y2＝1的离心率为 666 ．
【分析】将方程5x²-6y²=1两边同除以1化为x²/(1/5)-y²/(1/6)=1的标准形式，此时a²=1/5，b²=1/6；由双曲线的基本关系c²=a²+b²算出c²，最后代入离心率公式e=c/a即得结果．
【解答】详细求解过程如下：将双曲线5x2﹣6y2＝1化为标准方程求得：1，
所以a2=15，b2=16，c2=a2+b2=15+16=1130，
所以离心率e=ca=c2a2=113015=116=666．
故答案为：666．
【知识点】该题考核将双曲线方程化为标准形式后用基本关系式c²=a²+b²求离心率的标准流程，属基础运算题．
13．（5分）已知f（x）＝2sin（ax+θ）（a∈Z，0≤θ＜2π）是偶函数，f（x）在区间（0，π2）单调递增，则θ＝ 3π2 ，f（2π3）＝ 1 ．
【分析】由f（x）＝2sin（ax+θ）是偶函数，且0≤θ＜2π，得θ或，再根据θ时f（0）＝2是最大值，不满足函数f（x）在（0，）单调递增，θ时f（0）＝﹣2是最小值，利用f（x）在（0，）上单调递增求得a＝2或1，由此求得f（）的值．
【解答】详细求解过程如下：鉴于f（x）＝2sin（ax+θ）（a∈Z，0≤θ＜2π）是偶函数，因而θ或θ，
当θ=π2时，f（0）＝2sin（0+π2）＝2，是最大值，函数f（x）在（0，π2）上不是单调递增，不合题意；
当θ=3π2时，f（0）＝2sin（0+3π2）＝﹣2，是最小值，由f（x）＝2sin（ax+3π2）＝﹣2csax在（0，π2）单调递增，
所以周期需满足|a|•π2≤π，即|a|≤2，因为a∈Z，取a＝2或a＝1，
当a＝2时，f（2π3）＝﹣2cs（2×2π3）＝﹣2cs4π3=−2×（−12）＝1，当a＝1时，f（2π3）＝﹣2cs2π3=−2×（−12）＝1；
综上，θ=3π2，f（2π3）＝1．
故答案为：3π2；1．
【知识点】该题通过对含参数的正弦型函数施加奇偶性与单调性双重约束来反推参数取值，综合考核三角函数图像变换和性质判断，难度为中等．
14．（5分）设实数q满足：存在数列{an}，使得对于任意n∈N*，均有a1+a2+…+a3n＝n2+n，且{an}中有某连续9项ak，ak+1，…，ak+8是公比为q的等比数列，则q的最大值为 332 ．
【分析】由S3n=n²+n推出相邻三个连续项之和的形式为2n+2；而在长度为9的等比数列子段中必定包含至少两组完整的这样的三连项，据此建立公比q³与相邻三组项之和的比值关系，再依据正整数的限制确定n的取值范围，最终得到q所能达到的上确界．
【解答】详细求解过程如下：令数列{an}的前n项和为Sn，那么S3n＝n2+n，
∴a3n+1+a3n+2+a3n+3＝S3n+3﹣S3n＝（n+1）2+（n+1）﹣n2﹣n＝2n+2，
∵连续9项为等比数列，
∴9项内一定有两组{a3n+1，a3n+2，a3n+3}，且两组相邻，
∴q3=a3n+4+a3n+5+a3n+6a3n+1+a3n+2+a3n+3=2(n+1)+22n+2=1+1n+1，
若这连续9项中存在三组{a3n+1，a3n+2，a3n+3}，
那么，q3＝1+1n+1=1+1n+2，n无解，
∴这连续9项不可能存在三组完整的{a3n+1，a3n+2，a3n+3}，
∴n≥1，
∴q3≤1+12=32，
∴q的最大值为332．
故答案为：332．
【知识点】该题通过前n项和表达式隐式定义数列，要求从长度为9的等比子列中反推公比的上确界，解题核心在于利用和式递推关系将连续三项和与等比性质建立联系，属中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别为AB，AC1的中点．
（1）证明：DE∥平面BCC1B1；
（2）设CC1＝2，直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，求直线DE到平面BCC1B1的距离．
【分析】（1）连接BC₁后，在△ABC₁中D为AB中点、E为AC₁中点，由三角形中位线定理知DE∥BC₁；而DE不在平面BCC₁B₁内，BC₁在此平面内，恰好满足线面平行判定定理的两个条件，故DE∥平面BCC₁B₁．
（2）由直线与平面所成角的定义求得BC＝2，再由点到平面的距离求法即可求得．
【解答】详细求解过程如下：第一小题，以下给出严格证明：连接BC1，
因为D，E分别为AB，AC1的中点，
所以DE∥BC1，
因为DE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
所以DE∥平面BCC1B1；
（2）由（1）知，DE∥BC1，
所以直线BC1与平面ACC1A1所成的角等于直线DE与平面ACC1A1所成的角，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，
因为AC∩CC1＝C，CC1⊂平面ACC1A1，AC⊂ACC1A1，
所以BC⊥ACC1A1，所以∠BC1C即为直线BC1与平面ACC1A1所成的角，
因为直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，所以∠BC1C＝45°，
在Rt△BC1C中，CC1＝2，所以BC＝2，
由（1）知，DE∥平面BCC1B1，
所以D到平面BCC1B1的距离即为直线DE到平面BCC1B1的距离，
因为D为AB的中点，所以D到平面BCC1B1的距离等于点A到平面BCC1B1的距离的12，
因为∠ACB＝90°，AC＝BC，所以△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，且AC⊥BC，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AC⊂平面ABC，
所以AC⊥平面BCC1B1，所以点A到平面BCC1B1的距离为AC＝BC＝2，
所以直线DE到平面BCC1B1的距离为1．
【知识点】该题以直三棱柱为几何载体，综合考核了空间线面平行关系的逻辑论证、线面角与三角形内角之间的合理转化以及空间中点到平面距离的间接计算方法，属中等难度．
16．（15分）已知在△ABC中，AB＝3，BC＝23，csB=33．
（1）求csA；
（2）设D，E两点满足：D在BA的延长线上，DE∥BC，AE⊥AC．若DE=6，求CE．
【分析】（1）在△ABC中已知两边AB=3、BC=2√3及其夹角B的余弦值csB=√3/3，由余弦定理AC²=AB²+BC²-2·AB·BC·csB=9+12-12=9，故AC=3；进而利用csA=(AB²+AC²-BC²)/(2·AB·AC)=(9+9-12)/(2·3·3)=1/3．
（2）由∠DAE与∠BAC互余，算出sin∠DAE＝cs∠BAC=13，根据DE∥BC，算出∠D与∠ABC互补，从而可得csD＝﹣cs∠ABC=−33，结合同角三角函数的平方关系算出sinD，然后在△ADE中运用正弦定理算出AE的长，进而在Rt△ACE中运用勾股定理求解，可得CE的长．
【解答】从已知条件可以直接写出：详细求解过程如下：第一小题，在△ABC中，AB＝3，BC＝2，csB，此结论对后续步骤至关重要。
由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcsB
＝9+12﹣2×3×23×33=9，解得AC＝3，
所以csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+9−122×3×3=13；
（2）由AE⊥AC，可得∠DAE＝90°﹣∠BAC，故sin∠DAE＝cs∠BAC=13，
根据DE∥BC，可得∠D＝∠DBC＝180°﹣∠ABC，故csD＝﹣cs∠ABC=−33，
所以sinD=1−cs2D=63，
在△ADE中，由正弦定理得DEsin∠DAE=AEsinD，即613=AE63，解得AE＝6，
Rt△ACE中，CE=AE2+AC2=36+9=35．
【知识点】该题以平面三角形为基本图形，将正余弦定理、诱导公式以及同角三角函数关系等三角学核心工具有机融合，全面考核了代数运算与几何推理的综合能力，属中档题型．
17．（15分）设整数N≥2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为p（0＜p＜1），各次投中与否相互独立．记X为停止练习时该同学的投篮次数．
（1）当N＝4，p=13时，求X的分布列；
（2）设k，m均为自然数．
（i）当k≤N﹣1时，求P（X＞k）；
（ii）当k+m≤N﹣1时，证明：P（X＞k+m|X＞k）＝P（X＞m）．
【分析】（1）当N=4且p=1/2时，X=1对应首次即命中（概率1/2）；X=2对应首次未中、第二次命中（概率1/4）；X=3对应前两次未中、第三次命中（概率1/8）；X=4包含前三次未中且第四次命中或四次全部未中两种情况（概率各1/16，合计1/8）。验证概率和为1后列出分布列．
（2）（i）利用独立事件的概率公式求解；
（i）利用条件概率公式求解．
【解答】详细求解过程如下：第一小题，从题意不难发现，X的所有可能取值为1，2，3，4，
则P（X＝1）=13，P（X＝2）=(1−13)×13=29，P（X＝3）=(1−13)2×13=427，P（X＝4）=(1−13)3=827，
所以X的分布列为：
（2）（i）当k≤N﹣1时，X＞k说明前k次投篮均未投中，
则P（X＞k）＝（1﹣p）k；
（ii）证明：当k+m≤N﹣1时，P（X＞k+m|X＞k）表示前k次投篮均未投中的条件下前k+m次投篮也均未投中的概率，
即前k次投篮均未投中的条件下第k+1次到第k+m次也均未投中的概率，
所以P（X＞k+m|X＞k）＝（1﹣p）m，
又因为P（X＞m）＝（1﹣p）m，
所以P（X＞k+m|X＞k）＝P（X＞m）．
【知识点】该题以一个带有终止条件的投篮练习为概率模型，要求建立停止投篮次数这一随机变量的分布列并验证其无记忆性条件概率性质，属中等难度的概率统计应用题．
18．（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），离心率为12．
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点．其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．
（i）若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求l的方程；
（ii）求tan∠PQR的最小值．
【分析】（1）由左焦点F(-1,0)知半焦距c=1；离心率e=c/a=1/2给出长半轴a=2；椭圆中b²=a²-c²=4-1=3，于是标准方程为x²/4+y²/3=1．
（2）（i）假设PQ的方程，根据对称性得出PF和QF的关系，然后根据坐标关系以及韦达定理求解即可；
（ii）求出QR的斜率，根据斜率与倾斜角以及正切的和差公式求解，最后根据基本不等式求解最小值即可．
【解答】根据前述条件不难写出：详细求解过程如下：第一小题，∵F（﹣1，0），e，这一步是后续推导的基础。
∴c＝1，a＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝3，
∴C的方程为：x24+y23=1；
（2）设直线l的方程为：y＝k（x+1）（k＞0），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线l与椭圆C：y=k(x+1)x24+y23=1，
整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理得：x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
由椭圆的对称性可知，R与P关于点O对称，
∴R（﹣x1，﹣y1），
（i）∵OP＝OR，
∴S△PFR＝2S△PFO，
∵△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，
∴S△PQRS△PFR=32，
∴PFQF=2，
∴y1−y2=|x1+1||x2+1|=2，
∴y1＝﹣2y2，（x1+1）＝﹣2（x2+1），
∴x1＝﹣2x2﹣3，
∵x1+x2=−8k23+4k2，
∴x1=9−4k23+4k2，x2=−9+4k23+4k2，
∵x1x2=4k2−123+4k2，
∴16k4−81(3+4k2)2=4k2−123+4k2，
解得：k2=54，
∵k＞0，
∴k=52，
∴直线l：y=52（x+1），即5x﹣2y+5=0；
（ii）kQR=y2−(−y1)x2−(−x1)=y1+y2x1+x2=k(x1+x2+2)x1+x2=k+2kx1+x2=k+2(3+4k2)−8k=−34k，
∴tan∠PQR=kPQ−kQR1+kPQ⋅kQR=k+34k1−34=4k+3k≥24k⋅3k=43，当且仅当4k=3k时，等号成立，
此时，k=32，符合题意；
故tan∠PQR的最小值为43．
【知识点】该题将椭圆标准方程、直线与椭圆联立、韦达定理、对称性质以及函数不等式等多个核心知识技艺编织成多层次综合问题，对代数运算能力和几何直观洞察力均有很高要求，属高难度题型．
19．（17分）已知函数f（x）的定义域为R，且当x＜0时，f（x）＝2x，对任意x0∈R，定义集合D（x0）＝{d∈R|f（x0+d）＞f（x0）}．
（1）若当x≥0时，f（x）＝1﹣x，求D（﹣1）；
（2）若f（x）是奇函数，f（x1）≤f（x2），且x1x2≠0，证明：D（x2）⊆D（x1）；
（3）设f（x）满足：①若f（x1）≤f（x2），则D（x2）⊆D（x1）；②当0＜x＜1时，f（x）＜f（0）．
（i）证明：f（0）≥1；
（ii）证明：f（x）在区间（0，+∞）单调递增．
【分析】（1）x1/2的解需按d-1