浙江省26届中考数学精准预测卷八（含解析）

这是一份浙江省26届中考数学精准预测卷八（含解析），共7页。试卷主要包含了如图，该几何体的俯视图是，下列式子运算正确的是，对于一组数据等内容，欢迎下载使用。
1．物理学中真空光速约为3×108m/s，下列关于该数的相反数是（ ）
A．3×108B．﹣3×108C．13×108D．−13×108
2．据最新统计，台州市常住人口数约为6760000人，其中数据6760000用科学记数法表示为（ ）
A．6.76×106B．6.76×105C．67.6×106D．67.6×105
3．如图，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子运算正确的是（ ）
A．a3+a7＝a10B．5a5﹣a5＝5C．a3•a2＝a6D．（a2）3＝a6
5．关于反比例函数y=4x，下列说法错误的是（ ）
A．点（2，2），（1，4）均在其图象上
B．函数图象在第一、三象限
C．当y＜﹣2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0
D．该函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC=22，则线段DF的长度为（ ）
A．22B．32C．42D．62
7．对于一组数据：x1，x2，x3，…x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
8．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km．已知小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为xkm/h，根据题意，可列方程为（ ）
A．3x+602x=3B．32x+60x=3C．6x+602x=3D．62x+60x=3
9．如图，在矩形ABCD中，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E，以A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F．若AB＝1，AD=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−2B．1+π2−2C．2+1−π2D．2−1−π2
10．如图1，在矩形ABCD中，E是BD上一定点，点P从B点出发，沿BA，AD两边匀速运动，运动到点D停止．设点P运动的路程为x，PE的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中F，G分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ）
A．AD＝8B．F点坐标为(5，245)
C．PE的最小值为175D．点M的横坐标为352
二．填空题（共6小题）
11．计算：20260+3−27= ．
12．若代数式2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为 ．
14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为 米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cs44°≈0.72，tan44°≈0.97）
15．如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则∠ABC＝ °．
16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，若BE＝4，则CE＝ ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：(12)0+38+|−3|．
18．先化简，再求值：x2−4x⋅xx+2−x2，其中x＝4．
19．如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作DF∥BE交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BF＝3，求BC的长．
20．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．
小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算n的大小．
【初步感知】
已知52＝25，62＝36．若m是28的整数部分，则m＝ ．
【方法探究】
小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若a≈b，则ab≈a+b2．
她在估算18时想到的方法是：因为18的整数部分是4，所以可以取a＝4，则b=184=4.5，则18=4×4.5≈4+4.52=4.25．
【学以致用】
请利用小红的方法，估算39的值．
21．为了解某校学生在遇到学习困难时的解决方式，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，调查问卷和不完整的统计图如下：
（1）本次调查中选择“咨询老师”的学生有多少人？
（2）若该校共有1800名学生，根据统计信息，估计该校选择“咨询同学”的学生人数．
22．图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF；光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM＝∠BEF，∠BFE＝∠CFN．
（1）求证：FN∥EM．
（2）已知AD＝4，若反射光线FN恰好经过点D（如图2），求AM的长．
23．请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
24．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E．点F为AC上一动点，连接BF分别交AD，AC于点H，K，过点F作FG∥AB交AC于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠CAE；
（2）如图2，连接FC，若BF为⊙O的直径，
①求证：GF＝GC；
②若AG＝2GC，BC＝6，求AC的长；
（3）如图3，若AB＝5，BC＝6，直接写出FG的最大值．
浙江省26届中考数学精准预测卷八（精选浙江省各市最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．物理学中真空光速约为3×108m/s，下列关于该数的相反数是（ ）
A．3×108B．﹣3×108C．13×108D．−13×108
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：∵3×108+（﹣3×108）＝0，
∴3×108的相反数是﹣3×108．
故选：B．
【点评】本题考查的是科学记数法﹣表示较大的数，相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．据最新统计，台州市常住人口数约为6760000人，其中数据6760000用科学记数法表示为（ ）
A．6.76×106B．6.76×105C．67.6×106D．67.6×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6760000＝6.76×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可．
【解答】解：俯视图是．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．
4．下列式子运算正确的是（ ）
A．a3+a7＝a10B．5a5﹣a5＝5C．a3•a2＝a6D．（a2）3＝a6
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：A、a3与a7不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、5a5﹣a5＝4a5，故该项不正确，不符合题意；
C、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．关于反比例函数y=4x，下列说法错误的是（ ）
A．点（2，2），（1，4）均在其图象上
B．函数图象在第一、三象限
C．当y＜﹣2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0
D．该函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质逐个判断选项即可得到结果．
【解答】解：A、∵当x＝2时，y=42=2，当x＝1时，y=41=4，
∴点（2，2），（1，4）都在函数图象上，正确，不符合题意；
B、∵k＝4＞0，
∴函数图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；
C、令y＝﹣2，代入得4x=−2，解得x＝﹣2，
∵在第三象限内y随x增大而减小，
∴当y＜﹣2时，﹣2＜x＜0，正确，不符合题意；
D、反比例函数y=4x仅在每个象限内y随x增大而减小，若两点不在同一象限，该结论不成立，例如取x1＝﹣1，x2＝1，满足x1＜x2，此时y1＝﹣4＜y2＝4，不满足y1＞y2，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC=22，则线段DF的长度为（ ）
A．22B．32C．42D．62
【分析】根据题意求出相似比，计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，A（﹣2，0），D（3，0），
∴△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ACDF=23，
∵AC＝22，
∴DF＝32，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键．
7．对于一组数据：x1，x2，x3，…x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
【分析】根据中位数的定义：一组数据从小到大或者从大到小排列，位于中间位置或中间两数的平均数．
【解答】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，此题关键是了解中位数的定义．
8．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km．已知小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为xkm/h，根据题意，可列方程为（ ）
A．3x+602x=3B．32x+60x=3C．6x+602x=3D．62x+60x=3
【分析】根据先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km，小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，列出分式方程即可．
【解答】解：由题意得：3+3x+602x=3，
即6x+602x=3，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E，以A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F．若AB＝1，AD=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−2B．1+π2−2C．2+1−π2D．2−1−π2
【分析】根据旋转的性质，直角三角形的边角关系求出∠ECG＝45°，EG＝CG＝AB＝1，再根据弓形面积、扇形面积以及三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，连接BE，CE，
在Rt△CEG中，EG＝AB＝1，CE＝BC＝AD=2，
∴CG=CE2−EG2=1＝EG，
∴∠ECG＝∠CEG=180°−90°2=45°，
∴S弓形BE＝S扇形CBE﹣S△CBE
=45π×(2)2360−12×2×1
=14π−22，
∴S空白不规则三角形ABE＝S△ABE﹣S弓形BE
=12×（2−1）×1﹣（14π−22）
=22−12−14π+22
=2−12−14π，
∴S阴影部分＝S扇形ABF﹣S空白不规则三角形ABE
=90π×12360−（2−12−14π）
=14π−2+12+14π
=12π+12−2
=π+12−2，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，扇形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系，旋转的性质以及扇形、弓形面积的计算方法是正确解答的关键．
10．如图1，在矩形ABCD中，E是BD上一定点，点P从B点出发，沿BA，AD两边匀速运动，运动到点D停止．设点P运动的路程为x，PE的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中F，G分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ）
A．AD＝8B．F点坐标为(5，245)
C．PE的最小值为175D．点M的横坐标为352
【分析】连接AE，过点E分别作EG⊥AB，EH⊥AD，根据图象可得BE＝8，AB＝10，△AEB是直角三角形，且∠AEB＝90°，则有sin∠ABD=AEAB=35，cs∠ABD=BEAB=45，然后根据函数图象及三角函数可进行求解．
【解答】解：连接AE，过点E分别作 EG⊥AB，EH⊥AD，
由图象可知：当x＝0时，y＝8，即当点B与点P重合时，BE＝8，
当x＝10时，y＝6，即AE＝PE＝6，此时点P与点A重合，则AB＝10，
∵BE2+AE2＝82+62＝100＝AB2，
∴△AEB是直角三角形，且∠AEB＝90°，
∴sin∠ABD=AEAB=35，cs∠ABD=BEAB=45，
由E是BD上一定点，点P是动点可知：当点P在线段AB上运动时，最小值为EP⊥AB时，此时点P与点G重合，
∴BP=BE⋅cs∠ABD=325，PE=BE⋅sin∠ABD=245，
∵F是第一段曲线的最低点，
∴F点坐标为(325，245)，故B错误；
当点P在AD上运动时，最小值为PE⊥AD时，此时点P与点H重合，
∵∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∵∴∠ABD＝∠DAE，
∴sin∠DAE＝sin∠ABD＝3，cs∠DAE=cs∠ABD=45，
∴EH＝AE•sin∠DAE＝18＝PE，AH=AE⋅cs∠DAE=245，
∵185＜245，
∴PE的最小值为185，故C错误；
在Rt△AED 中，cs∠DAE=45，AE＝6，
∴AD=AEcs∠DAE=152，故A错误；
∴点P运动的总路程为AB+AD=10+152=352，
∴点M的横坐标为352，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，动点问题的函数图象，锐角三角函数的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．计算：20260+3−27= ﹣2 ．
【分析】根据实数的运算，零指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：20260+3−27
＝1+（﹣3）
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
12．若代数式2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得，x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为 13 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及使得小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：如图：
由电路图可知，闭合开关S1和S3时，小灯泡发光．
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有：（S1，S3），（S3，S1），共2种，
∴使得小灯泡发光的概率为26=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为 1 米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cs44°≈0.72，tan44°≈0.97）
【分析】根据∠ADB的正切值求解即可．
【解答】∵AB＝2，∠ADB＝44°，AB⊥BD
∴BD=ABtan∠ADB=20.97≈2.1（米）．
故答案为：2.1．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
15．如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则∠ABC＝ 135 °．
【分析】根据多边形内角的求法解答即可．
【解答】解：根据多边形的内角与外角可知：
∠ABC=(8−2)×180°8=135°．
故答案为：135．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握该知识点是关键．
16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，若BE＝4，则CE＝ 23−2 ．
【分析】连接AC，作EH⊥AB于点H，由菱形的性质得AD＝CD＝CB＝AB，∠D＝∠B＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝60°，因为将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，所以∠BAE＝∠FAE=12∠BAF，∠CAF＝∠DAF=12∠DAC＝30°，则∠BAF＝90°，所以∠BAE＝45°，则∠HEA＝∠BAE＝45°，由EHBE=sin60°=32，BHBE=cs60°=12，且BE＝4，求得AH＝EH=32BE＝23，BH=12BE＝2，所以CB＝AB＝23+2，则CE＝CB﹣BE＝23−2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC，作EH⊥AB于点H，则∠AHE＝∠BHE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AD＝CD＝CB＝AB，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∵将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，
∴∠BAE＝∠FAE=12∠BAF，∠CAF＝∠DAF=12∠DAC＝30°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠BAE=12×90°＝45°，
∴∠HEA＝∠BAE＝45°，
∵EHBE=sin60°=32，BHBE=cs60°=12，且BE＝4，
∴AH＝EH=32BE=32×4＝23，BH=12BE=12×4＝2，
∴CB＝AB＝AH+BH＝23+2，
∴CE＝CB﹣BE＝23+2−4=23−2，
故答案为：23−2．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、翻折变换的性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：(12)0+38+|−3|．
【分析】先去括号、开立方根、绝对值，再算加减即可．
【解答】解：(12)0+38+|−3|
＝1+2+3
＝6．
【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．先化简，再求值：x2−4x⋅xx+2−x2，其中x＝4．
【分析】先算乘除，再算减法即可．
【解答】解：原式=(x+2)(x−2)x•xx+2−x2
＝x﹣2−x2
=2x−4−x2
=x−42，
当x＝4时，原式=4−42=0．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作DF∥BE交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BF＝3，求BC的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE＝BF＝4，再由三角形中位线定理的BC＝2DE＝6即可．
【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的一条中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形BEDF是平行四边形，
∴DE＝BF＝3，
∵DE是△ABC的一条中位线，
∴BC＝2DE＝6，
即BC的长为6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．
小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算n的大小．
【初步感知】
已知52＝25，62＝36．若m是28的整数部分，则m＝ 5 ．
【方法探究】
小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若a≈b，则ab≈a+b2．
她在估算18时想到的方法是：因为18的整数部分是4，所以可以取a＝4，则b=184=4.5，则18=4×4.5≈4+4.52=4.25．
【学以致用】
请利用小红的方法，估算39的值．
【分析】（1）根据25＜28＜36得到28的取值范围即可；
（2）仿照示例作答即可．
【解答】解：（1）∵25＜28＜36，
∴5＜28＜6，
∵m是28的整数部分，
∴m＝5，
故答案为：5；
（2）∵36＜39＜49，
∴6＜39＜7，39的整数部分是6，
所以可以取a＝6，则b=396=6.5，
则39=6×6.5≈6+6.52=6.25．
【点评】本题主要考查了完全平方数估算无理数的大小，掌握其相关知识点是解题的关键．
21．为了解某校学生在遇到学习困难时的解决方式，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，调查问卷和不完整的统计图如下：
（1）本次调查中选择“咨询老师”的学生有多少人？
（2）若该校共有1800名学生，根据统计信息，估计该校选择“咨询同学”的学生人数．
【分析】（1）先求出调查的总人数，再用总人数乘选择“咨询老师”的学生所占百分比即可；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）120÷60%＝200（人），
200×20%＝40（人），
答：本次调查中选择“咨询老师”的学生有40人；
（2）200﹣120﹣40﹣10＝30（人），
30÷200＝15%，
1800×15%＝270（人），
答：由样本估计总体，得该校选择“咨询同学”的学生大约有270人．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握统计图特点．
22．图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF；光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM＝∠BEF，∠BFE＝∠CFN．
（1）求证：FN∥EM．
（2）已知AD＝4，若反射光线FN恰好经过点D（如图2），求AM的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠BEF+∠BFE＝90°，求得∠AEM+∠CFN＝∠BEF+∠BFE＝90°，得到∠AME＝∠CFN，根据平行线的性质得到∠MNF＝∠CFN，等量代换得到∠AME＝∠MNF，于是得到FN∥EM；
（2）由E为AB中点，得到AE＝BE=12AB=12CD，根据全等三角形的性质得到BF＝AM，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∵∠AEM＝∠BEF，∠BFE＝∠CFN，
∴∠AEM+∠CFN＝∠BEF+∠BFE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠CFN，
∵AD∥BC，
∴∠MNF＝∠CFN，
∴∠AME＝∠MNF，
∴FN∥EM；
（2）解：∵E为AB中点，
∴AE＝BE=12AB=12CD，
∵∠AEM＝∠BEF，∠A＝∠B＝90°，
∴△AEM≌△BEF（ASA），
∴BF＝AM，
∵AD∥BC，
∴∠CFD＝∠MDF＝∠AME，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴△AEM∽△CDF，
∴AECD=AMCF，
∴12AE2AE=AMCF，
∴CF＝2AM，
∴BC＝3AM，
∵BC＝AD＝4，
∴AM=43．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
23．请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
【分析】任务1：根据“明制”服装总件数和“唐制”服装相等列出方程即可求解；
任务2：将3种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：判断出抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质，求得合适的方案即可．
【解答】解：任务1：∵安排x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，
∴加工“明制”服装的有（60﹣x﹣y）人，
∵“明制”服装总件数和“唐制”服装相等，
∴60﹣x﹣y＝3y，
∴y=−14x+15；
任务2：w＝3×30×（−14x+15）+2x×[120﹣3（2x﹣15）]+90×[60﹣x﹣（−14x+15），
＝﹣12x2+240x+5400，
∵2x≥15，
∴x≥7.5，
∴w＝﹣12x2+240x+5400（x≥7.5）；
任务3：∵w＝﹣12x2+240x+5400，
∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线x＝10，
∵x≥7.5，−14x+15为整数，
∴x＝8或12时，w最大；
当x＝8时，y＝13，60﹣x﹣y＝39；
当x＝12时，y＝12，60﹣x﹣y＝36．
答：安排13名工人加工“唐制”服装，8名工人加工“宋制”服装，39名工人加工“明制”服装，或安排12名工人加工“唐制”服装，12名工人加工“宋制”服装，36名工人加工“明制”服装，即可获得最大利润．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
24．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E．点F为AC上一动点，连接BF分别交AD，AC于点H，K，过点F作FG∥AB交AC于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠CAE；
（2）如图2，连接FC，若BF为⊙O的直径，
①求证：GF＝GC；
②若AG＝2GC，BC＝6，求AC的长；
（3）如图3，若AB＝5，BC＝6，直接写出FG的最大值．
【分析】（1）由垂径定理易得BD=CD，再根据圆周角定理即可得解；
（2）①设∠BAE＝∠CAE＝α，证∠GFC＝∠ACF＝α即可得证；
②先证∠AFG＝90°，易得GFAG=12，则∠FAG＝30°，即可得解；
（3）易得AE＝4，半径为258，过B作BM⊥AC于点M，过F作FN⊥AC于点N，等面积可得BM=245，由∠BAM＝∠FGN，则sin∠BAM＝sin∠FGN=FNFG=BMAB=2425，可得FG=2524FN，当F位于AC中点时，FN有最大值，此时FG也有最大值，据此求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BAE＝∠CAE；
（2）①证明：设∠BAE＝∠CAE＝α，则∠BAC＝2α，
∵OA＝OB，
∴∠BAE＝∠ABO＝α，
∴∠ACF＝∠ABO＝α，
∵FG∥AB，
∴∠AGF＝∠BAC＝2α，
∴∠GFC＝∠AGF﹣∠ACF＝α，
∴∠GFC＝∠ACF，
∴FG＝GC；
②解：连接AF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∵FG∥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵AG＝2GC，GF＝GC，
∴GFAG=12，
∴∠FAG＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝6；
（3）由（1）可知AE垂直平分BC，
∴BE＝CE＝3，
∴AE=AB2−BE2=4，
连接OB，设OB＝OA＝r，则OE＝4﹣r，
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
∴（4﹣r）2+9＝r2，
∴r=258，即OA＝OB＝OF=258，
如图，过B作BM⊥AC于点M，过F作FN⊥AC于点N，
∵S△ABC=12BC•AE=12AC•BM，
∴BM=BC⋅AEAC=245，
∴sin∠BAM=BMAB=2425，
∵FG∥AB，
∴∠BAM＝∠FGN，
∴sin∠FGN=FNFG=2425，
∴FG=2524FN，即当FN有最大值时，则FG有最大值，
当F位于AC中点时，FN有最大值，
连接OF，此时O、N、F三点共线，且OF⊥AC，
∵sin∠OAN=ONOA=CEAC=35，
∴ON=35OA=35×258=158，
∴FN＝OF﹣ON=54，
此时FG最大值=2524FN=2524×54=12596．
故FG的最大值为12596．
【点评】本题主要考查了圆综合相关知识，熟练掌握相关内容是解题的关键．
遇到学习困难时的解决方式调查问卷
（单选题）当你遇到学习困难时，你通常会（ㅤㅤ）
（A）咨询AI
（B）咨询老师
（C）咨询同学
（D）其他
制定汉服加工方案
生产背景
背景1
（1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制•齐胸祸裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制•褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制•袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）；
（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套；
（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数1：1供应高端团购单．
背景2
当前市场行情下各款式获利情况如下：
①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元；
②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元；
③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．
信息整理
现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：
汉服类型
加工人数
人均日产量/套
单套净利润/元
唐制
y
3
30
宋制
x
2
明制
1
90
探究任务
任务1
探寻变量关系
根据合同约束，求x，y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．
任务3
拟定最优方案
确定使每日总利润最大的分配方案．
S1
S2
S3
S1
（S1，S2）
（S1，S3）
S2
（S2，S1）
（S2，S3）
S3
（S3，S1）
（S3，S2）
遇到学习困难时的解决方式调查问卷
（单选题）当你遇到学习困难时，你通常会（ㅤㅤ）
（A）咨询AI
（B）咨询老师
（C）咨询同学
（D）其他
制定汉服加工方案
生产背景
背景]
（1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制•齐胸祸裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制•褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制•袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）；
（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套；
（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数1：1供应高端团购单．
背景2
当前市场行情下各款式获利情况如下：
①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元；
②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元；
③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．
信息整理
现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：
汉服类型
加工人数
人均日产量/套
单套净利润/元
唐制
y
3
30
宋制
x
2
明制
1
90
探究任务
任务1
探寻变量关系
根据合同约束，求x，y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．
任务3
拟定最优方案
确定使每日总利润最大的分配方案．