【期末冲刺练】第五章+分式与分式方程（单元自测 基础卷）B卷数学新教材北师大版八年级下册（含解析）

这是一份【期末冲刺练】第五章+分式与分式方程（单元自测 基础卷）B卷数学新教材北师大版八年级下册（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可．
【详解】解： ∵符合分式定义，是分式，
∴A符合题意，
∵属于整式，不符合分式定义，
∴B不符合题意，
∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义
∴C不符合题意，
∵属于整式，不符合分式定义，
∴D不符合题意．
故选：A．
2．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：要使有意义，则，
解得．
3．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．缩小到原来的倍
C．不变D．缩小到原来的倍
【答案】A
【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案．
【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为，
∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍．
4．解方程时，在方程的两边同乘以，得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：
两边同乘以，得．
5．已知其中A，B为常数，则的值为（ ）
A．7B．9C．13D．5
【答案】C
【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴．
6．关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．B．1C．0D．3
【答案】B
【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母，解得，
即方程的增根为，
方程两边同乘，得，
展开整理得：，
移项化简得：，
将代入得，
解得．
7．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。
【详解】解：∵ ，
∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求，
∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去，
∴的可取值为，
对应得
所有符合条件的的值的和为 ．
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答．
【详解】解：设规定时间为天，
∵慢马所需时间比规定时间多天，
∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为，
∵快马所需时间比规定时间少天，
∴快马的行驶时间为天，快马速度为，
又∵快马的速度是慢马的倍，
∴可得方程 ，即选项B符合题意．
9．观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值．
【详解】解：∵，
∴
以为循环节3次一循环，周期为
∵，
∴．
10．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的积为（ ）
A．B．3C．D．15
【答案】A
【分析】本题主要考查解不等式组和解分式方程，解题的关键是注意分式方程的增根．先解不等式组，根据不等式组有解且至多3个整数解得到m的取值范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且分母不为0，找出符合条件的整数m，计算它们的积即可．
【详解】解：解不等式组
解①得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有解且至多有3个整数解，
∴，解得，
解分式方程，
方程两边同乘得 ，
整理得 ，
当时，方程无解，不符合题意，
当时，，
∵分式方程分母不为0，
∴，即，得，
∵方程有整数解，m为整数，
∴是3的因数，即，
解得，排除，符合的整数m为，
它们的积为，
故选∶A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分式，的最简公分母是______．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可．
【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母.
两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为 ．
12．若分式的值为0，则实数x的值为______．
【答案】
【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可．
【详解】解：由题意得 且 ，
由 解得 ，
由 ，因式分解得，
解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去，
所以实数的值为．
13．如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为，，且点A，B到原点的距离相等．则x的值为______．
【答案】
【分析】由题意，得，解分式方程即可．
【详解】解：由题意，得，
解得，
经检验是原方程的根．
14．若，则分式的值为________．
【答案】
【分析】首先得到，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴．
15．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______．
【答案】
【分析】先根据新定义运算得到关于的分式方程，再解分式方程并检验即可得到结果．
【详解】解：由定义新运算可知：，
即，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，是原分式方程的根．
16．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________．
【答案】或
【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值．
【详解】解：
，
根据分式有意义的条件有：，，，即，
则当时，原分式方程无解，
令，解得：或，
当或时，原分式方程无解．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算∶
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据分式混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程．
（1）找到两个分母的最简公分母后，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验：将解得的根代入原分式方程的最简公分母验证，确保分母不为．
（2）首先因式分解，找到最简公分母，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验，此时分母为，所以原分式方程无解．
【详解】（1）解：，
等式两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为：；
（2）解：，
，
等式两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为，得：，
检验，当时，，
∴原分式方程无解．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用平方差公式，同时利用分式除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度．
【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟
【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可．
【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ，
此时，
答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟．
21．学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同．
(1)分别求型、型雕刻刀的单价；
(2)学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元
(2)购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用．
（1）设B型雕刻刀的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设花费为元，购买型雕刻刀把，则购买B型雕刻刀把，列出关于花费的一次函数，再根据一次函数的图象与性质即可求解．
【详解】（1）解：设B型雕刻刀的单价是元，
则型雕刻刀的单价为元，
根据题意，得，解得，
经检验：是分式方程的解，且符合题意．
（元）．
答：型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元．
（2）解：设花费为元，购买型雕刻刀把，
则购买B型雕刻刀把，
根据题意，得，
解得，
由（1）可知，
，
随的增大而增大，
当取最小整数30时，有最小值，
最少花费为（元）．
答：购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元．
22．关于的分式方程．
(1)当时，求此时方程的解；
(2)若此方程有增根，求的值；
(3)若此方程的解为正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解；
（2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；
（3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入方程，得，
去分母得，
整理得，
即，
解得，
检验：当时，，
分式方程的解为；
（2）解：方程两边都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得；
（3）解：方程两边都乘以得，
，
解得，
方程的根为正数，
，且，
∴且．
23．在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：已知，且，求的值．
解：令，则，，，．
根据材料回答问题：
(1)若，且，求的值．
(2)若且，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可；
（2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算．
【详解】（1）解：令，则，，，
；
（2）解：令，则，，，
，
，
若，则有，解得，
，，，
；
若，则有，，，
；
的值为或．
24．探究规律及应用
(1)【观察】；；
【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明．
(2)【拓展】
①利用你发现的规律计算：；
②利用上述规律解答：若的值为，求n的值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①；②88
【分析】（1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明；
（2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解；
②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解．
【详解】（1）解：第n个等式为：；
证明如下：
；
（2）解：①
；
②∵
，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
的值为88．
25．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”．
①（ ）；②（ ）．
(2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
【答案】(1)×，√
(2)
(3)
【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可；
（2）根据“友好数对”定义计算即可；
（3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可．
【详解】（1）解：关于x的分式方程，
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴ ，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∴．