2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，共7页。试卷主要包含了D4，等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ）
A．0°B．180°C．360°D．720°
3．（2分）在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（﹣3，b），当线段AB最短时，b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．0
4．（2分）若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．无法确定
5．（2分）小方家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开．若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为（ ）
A．13B．16C．19D．29
6．（2分）新冠病毒奥密克戎变异株的直径约为0.00000012米，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．1.2×10﹣6米B．1.2×10﹣7米
C．12×10﹣8米D．0.12×10﹣6米
7．（2分）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心、大于12AB长为半径作弧，两弧相交于点F，H，作直线FH分别交AC，AB于点D，E，连接DB，若∠A＝32°，∠C＝90°，则∠CBD的度数为（ ）
A．38°B．32°C．26°D．24°
8．（2分）老师对某班全体学生在电脑培训前后进行了一次水平测试，考分以同一标准划分为“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级，成绩见下表．
下列说法错误的是（ ）
A．培训前“不合格”的学生占80%
B．培训前成绩“合格”的学生是“优秀”学生的4倍
C．培训后80%的学生成绩达到了“合格”以上
D．培训后优秀率提高了30%
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）式子xx−1有意义的条件为 ．
10．（2分）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式为 ．
11．（2分）方程2x+3=12x的解为 ．
12．（2分）已知反比例函数y=6−3kx（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1•x2＞0，请写出一个满足条件的k值 ．
13．（2分）如图，点O是圆心，点C在ACB上，若∠OAB＝20°，则∠ACB的度数是 ．
14．（2分）某校为了监测学生的心理健康状况，对九年级学生进行了心理健康测试．小芳从中随机抽取50名学生，并把这些学生的测试成绩x（单位：分）制成了如图的扇形统计图，据此估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x＜90分的共有 名．
15．（2分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④当四边形CDMH为正方形时，tan∠FNC=34．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
16．（2分）某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到 朵，最多能收到 朵．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：4+(π−3)0−tan45°+(12)−1．
18．（5分）解不等式组：4x−3＜52x+13＞2−x．
19．（5分）先化简，再求值：(1−1a−1)÷a2−4a+4a2−a，从1，2，3，4中选取一个适当的数代入求值．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，以BC，CD为一组邻边作▱BCDE，ED与AB交于点O，连接AE，BD．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝82，tan∠ODB=12，求BD的长．
21．（5分）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表，
该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量．
22．（5分）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，3），与过点（0，5）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y=12x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于5，请判断出n是个取值范围还是个确定的值，若n是个取值范围，直接写出n的取值范围，若n是个确定的值，直接写出n的值．
23．（5分）“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在举办的数学文化节上对八年级（1）班和（2）班开展了趣味数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀）：
A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
八年级（1）班10名学生的成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派 班．
（3）若八年级两个班共有110名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC，BD，过点B作⊙O的切线，与∠BDC的平分线交于点E，DE与BC交于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若tan∠BMD＝22，CD＝4，求线段BF的长．
25．（6分）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25ℎ后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以每小时80km的速度匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时15min，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车各自离A地的路程y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a＝ ．
（2）求c的值．
（3）求货车返回过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（4）当两车相距15km时，直接写出巡逻车行驶的时间．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，2），与y轴的交点为C（0，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）已知直线y＝ax+2与抛物线交于两点，其中点B是右侧交点．
①求点B的横坐标；
②过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M（M不与B，C重合），连接MB，MC．已知在点P从点O运动到点D（2a，0）的过程中，△MBC的面积随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AO⊥BC于点O，点D是BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，AD=22，求BD的长；
（2）如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，点F为线段CD的中点，连接EF，DE．求证：AC=3BD+2EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，当OE最小时，将△AOE沿着AE翻折得到△AO′E，连接O′C，请直接写出S△AOES△AO′C的值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O半径为1，A、B为圆上不重合的两点．点B绕点A顺时针旋转60°得到点C，点B关于直线AC的对称点为D，则称点D为AB关于圆O的旋称点．
（1）若A坐标为（1，0），则在D1（2，0），D2(32，32)，D3(2，−3)，D4(2，3)中， 是AB关于⊙O的旋称点；
（2）对于所有可能的AB关于⊙O的旋称点D，线段OD的最大值为 ；
（3）若点A在第一象限，B在第三象限，在直线y=33x+k上存在点D，使得点D为AB关于⊙O的旋称点，则k的取值范围是 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2分）如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ）
A．0°B．180°C．360°D．720°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和外角的性质解答即可．
【解答】解：一个多边形，外角和始终是360°，不会随边数改变．
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角和外角．正确理解多边形内角与外角的性质是解决此题的关键．
3．（2分）在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（﹣3，b），当线段AB最短时，b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．0
【考点】两点间的距离公式．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：由题意知，点B在直线x＝﹣3上运动，
∴AB垂直直线x＝﹣3时，AB最短，
∴b＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
4．（2分）若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】需考虑方程可能为一次或二次方程：当k＝0时，方程为一次方程，直接求解；当k≠0时，方程为二次方程，利用根的判别式求范围．
【解答】解：当k＝0时，原方程为−3x−94=0，
解得 x=−34，有实数根，
∴k＝0符合条件；
当k≠0时，方程为一元二次方程，根的判别式Δ=(−3)2−4⋅k⋅(−94)=9+9k，
由条件可知9+9k≥0，
∴k≥﹣1．
综上，实数k的取值范围是k≥﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
5．（2分）小方家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开．若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为（ ）
A．13B．16C．19D．29
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及正好客厅灯和走廊灯同时亮的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中正好客厅灯和走廊灯同时亮的结果有：（B，C），（C，B），共2种，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为26=13．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6．（2分）新冠病毒奥密克戎变异株的直径约为0.00000012米，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．1.2×10﹣6米B．1.2×10﹣7米
C．12×10﹣8米D．0.12×10﹣6米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【解答】解：直径约为0.00000012米，用科学记数法表示这个数为：
0.00000012＝1.2×10﹣7，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，正确进行计算是解题关键．
7．（2分）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心、大于12AB长为半径作弧，两弧相交于点F，H，作直线FH分别交AC，AB于点D，E，连接DB，若∠A＝32°，∠C＝90°，则∠CBD的度数为（ ）
A．38°B．32°C．26°D．24°
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；三角形．
【答案】C
【分析】由作图过程可知，直线FH为线段AB的垂直平分线，则AD＝BD，可得∠A＝∠ABD＝32°．由题意可得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝58°，根据∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，直线FH为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝32°．
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝58°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝58°﹣32°＝26°．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
8．（2分）老师对某班全体学生在电脑培训前后进行了一次水平测试，考分以同一标准划分为“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级，成绩见下表．
下列说法错误的是（ ）
A．培训前“不合格”的学生占80%
B．培训前成绩“合格”的学生是“优秀”学生的4倍
C．培训后80%的学生成绩达到了“合格”以上
D．培训后优秀率提高了30%
【考点】统计表；百分数的应用．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】D
【分析】此题只需根据统计表分别计算要求的数据，即可进行正确判断．
【解答】解：A、4040+2+8×100%=80%，故正确；
B、“优秀”学生为2人，“合格”的学生为8人，所以培训前成绩“合格”的学生是“优秀”学生的4倍，故正确；
C、25+1510+25+15×100%=80%，故正确；
D、培训后优秀率：1510+25+15×100%=30%，
培训前优秀率：240+8+2×100%=4%，
∵30%﹣4%＝26%，
∴培训后优秀率提高了26%，故错误．
故选：D．
【点评】本题考查统计表的制作与从统计表中获取信息的能力．统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来．正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）式子xx−1有意义的条件为 x≥0且x≠1 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】x≥0且x≠1．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．
【解答】解：根据题意，得x≥0且x﹣1≠0，
解得x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
10．（2分）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式为a（x+a）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a（x+a）2．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：ax2+2a2x+a3
＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2，
故答案为：a（x+a）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2分）方程2x+3=12x的解为 x＝1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1．
【分析】方程两边都乘2x（x+3）得出4x＝x+3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：2x+3=12x，
方程两边都乘2x（x+3），得4x＝x+3，
4x﹣x＝3，
3x＝3，
x＝1，
检验：当x＝1时，2x（x+3）≠0，
所以分式方程的解是x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．（2分）已知反比例函数y=6−3kx（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1•x2＞0，请写出一个满足条件的k值 32（答案不唯一） ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】32（答案不唯一）．
【分析】令6−3kx=−7x+b，根据函数与方程的关系、由根与x系数的关系得到x1•x2=6−3k7，由x1•x2＞0，得到6−3k7＜0，即可k＜2．
【解答】解：令6−3kx=−7x+b，
整理得7x2﹣bx+（6﹣3k）＝0，
∵反比例函数y=6−3kx（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象两个交点横坐标为x1、x2，
∴x1•x2=6−3k7，
∵x1•x2＞0，
∴6−3k7＞0，
∴k＜2，
∴1＜k＜2，
∴满足条件的k值为32（答案不唯一），
故答案为：32（答案不唯一）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，根与系数的关系，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键．
13．（2分）如图，点O是圆心，点C在ACB上，若∠OAB＝20°，则∠ACB的度数是 70° ．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】70°．
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝20°，再利用三角形内角和定理可得：∠AOB＝140°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝140°，
∴∠ACB=12∠AOB＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2分）某校为了监测学生的心理健康状况，对九年级学生进行了心理健康测试．小芳从中随机抽取50名学生，并把这些学生的测试成绩x（单位：分）制成了如图的扇形统计图，据此估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x＜90分的共有 238 名．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】238．
【分析】根据用样本估计总体，先求出扇形统计图中80≤x＜90的百分比，再乘以850即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，c%＝1﹣20%﹣20%﹣32%＝28%，
∴估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x＜90分的共有850×28%＝238（名）．
故答案为：238．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂扇形统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
15．（2分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④当四边形CDMH为正方形时，tan∠FNC=34．其中正确的是 ①②③ ．（写出所有正确判断的序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力；应用意识．
【答案】①②③．
【分析】根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确；
根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；
根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；
由③求得FC＝2，NC=32，代入即可求得tan∠FNC的值，可判定④错误；从而求解．
【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，
∴∠BOM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP＝90°＝∠BOM，
∵∠BPH＝∠OPM，
∴∠CBF＝∠NMH，
∵∠MHN＝∠C＝90°，
∴△MHN∽△BCF，
故①正确；
②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，
当F与D重合时，如图2，此时MN最大，
由勾股定理得：BD＝5，
∵OB＝OD=52，
∵tan∠DBC=ONOB=CDBC，即ON52=34，
∴ON=158，
∵AD∥BC，
∴∠MDO＝∠OBN，
在△MOD和△NOB中，
∠MDO=∠OBNOD=OB∠DOM=∠BON，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴MN＝2ON=154，
∵点F在线段CD上（不与两端点重合），
∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；
故②正确；
③如图3，连接BM，FM，
当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，
∵AD＝BC＝4，
∴AM＝BH＝1，
由勾股定理得：BM=32+12=10，
∴FM=10，
∴DF=FM2−DM2=(10)2−32=1，
∴CF＝3﹣1＝2，
设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，
∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，
解得：x=32，
∴HN=32，
∵CH＝3，
∴CN＝HN=32，
∴N为HC的中点；
故③正确；
④当四边形CDMH为正方形时，由③得FC＝2，NC=32，
∴tan∠FNC=FCNC=232=43，
故④错误；
所以本题正确的结论有：①②③；
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
16．（2分）某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到 0 朵，最多能收到 5 朵．
【考点】推理与论证；一元一次不等式的整数解；三角形．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】0；5．
【分析】先推导最多可能收到的小红花数量，再通过构造法得到最少可能收到的数量．
【解答】解：先推导最多收到的小红花数量：若某位同学O收到k位同学送的花，对这k位同学中任意两点A，B，都满足OA＜AB，OB＜AB，
在△OAB 中，AB是最长边，
根据三角形大边对大角的性质，可得∠AOB＞60°，
这k位同学与点O的连线形成的k个相邻夹角之和为360°，
因此k•60°＜360°，
解得k＜6，k为正整数，
故k的最大值为5；
再推导最少收到的小红花数量：可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花，因此最少可以为0．
故答案为：0；5．
【点评】本题利用三角形的基本性质进行逻辑推理，一元一次不等式的整数解，掌握以上知识点是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：4+(π−3)0−tan45°+(12)−1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据二次根式化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的计算法则计算即可求解．
【解答】解：4+(π−3)0−tan45°+(12)−1
＝2+1﹣1+2
＝4．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等知识点的运算．
18．（5分）解不等式组：4x−3＜52x+13＞2−x．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解不等式4x﹣3＜5，得x＜2，再解不等式2x+13＞2−x，得x＞1，由此可得原不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x﹣3＜5，得：x＜2，
解不等式2x+13＞2−x，得：x＞1，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：(1−1a−1)÷a2−4a+4a2−a，从1，2，3，4中选取一个适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】aa−2；3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=a−2a−1×a(a−1)(a−2)2
=aa−2；
当a＝3时，
原式=33−2=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，以BC，CD为一组邻边作▱BCDE，ED与AB交于点O，连接AE，BD．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝82，tan∠ODB=12，求BD的长．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）210．
【分析】（1）根据平行四边形性质得CD∥BE，CD＝BE，再根据直角三角形斜边中线性质得BD＝AD＝CD，进而得AD＝BE，由此可判定四边形AEBD是平行四边形，然后根据AD＝BD即可判定四边形AEBD是菱形；
（2）根据平行四边形性质得DE＝BC=82，再根据菱形性质得OD=42，AB⊥DE，然后解Rt△BOD即可得出BD的长．
【解答】（1）∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CD∥BE，CD＝BE，
即AD∥BE，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，
∴BD＝AD＝CD，
∴AD＝BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵AD＝BD，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）∵四边形BCDE是平行四边形，BC=82，
∴DE＝BC=82，
∵四边形AEBD是菱形，
∴OD＝OE=12DE=42，AB⊥DE，
在Rt△BOD中，tan∠ODB=OBOD=12，
∴OB=12OD=12×42=22，
由勾股定理得：BD=OB2+OD2=(42)2+(22)2=210．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质，解直角三角形，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
21．（5分）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表，
该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】50件，30件．
【分析】设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．据此列出方程组，解方程组即可得到答案．
【解答】解：设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．
由题意可得x+y=80(70−40)x+(50−30)y=2100，
解得x=50y=30．
即这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件，
答：这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
22．（5分）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，3），与过点（0，5）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y=12x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于5，请判断出n是个取值范围还是个确定的值，若n是个取值范围，直接写出n的取值范围，若n是个确定的值，直接写出n的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2x+1；C（2，5）；
（2）n＝4．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为5，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当函数y=12x+n过点（2，5）时满足题意，代入（2，5）求出n的值即可．
【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，3）代入y＝kx+b（k≠0）得：b=1k+b=3，
解得：k=2b=1，
∴该函数的解析式为y＝2x+1，
由题意知点C的纵坐标为5，当y＝2x+1＝5时，
解得：x＝2，
∴C（2，5）；
（2）由（1）知：当x＝2时，y＝2x+1＝5，
当x＝2时，y=12x+n=1+n，
∵当x＜2时，对于x的每一个值，函数y=12x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于5，
∴当函数y=12x+n过点（2，5）时满足题意，
把（2，5）代入：5=12×2+n，
解得：n＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
23．（5分）“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在举办的数学文化节上对八年级（1）班和（2）班开展了趣味数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀）：
A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
八年级（1）班10名学生的成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 86 ，b＝ 84 ，m＝ 30 ．
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派 八（2） 班．
（3）若八年级两个班共有110名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）86，84，30；
（2）八（2）；
（3）33名．
【分析】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，求出B等级的百分比，进而可得m的值；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%＝2（人），
把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a=84+882=86，
在74，75，84，84，84，86，86，95，95，97中，出现次数最多的是84，
∴众数b＝84，
m%＝1﹣20%−510×100%＝30%，即m＝30；
故答案为：86，84，30；
（2）∵八（2）班的方差小于八（1）班的方差，
∴八（2）班的成绩更稳定，
∴学校会选派八（2）班；
故答案为：八（2）；
（3）110×3+310+10=33（名），
答：估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数为33名．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC，BD，过点B作⊙O的切线，与∠BDC的平分线交于点E，DE与BC交于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若tan∠BMD＝22，CD＝4，求线段BF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BF的长是185．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，根据垂径定理得AB垂直平分CD，则BC＝BD；
（2）由切线的性质得BE⊥AB，则CD⊥AB，所以BE∥CD，则∠E＝∠CDE，而∠BDE＝∠CDE，所以∠E＝∠BDE，则BE＝BD，再求出CN＝DN=12CD＝2，由∠BNC＝90°，∠C＝∠BMD，得BNCN=tanC＝tan∠BMD＝22，则BN＝22CN＝42，所以BE＝BC=BN2+CN2=6，由△BEF∽△CDF得BFCF=BECD=32，则BF=35BC=185．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，
∴BE⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴∠E＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵CD＝4，
∴CN＝DN=12CD＝2，
∵∠BNC＝90°，∠C＝∠BMD，
∴BNCN=tanC＝tan∠BMD＝22，
∴BN＝22CN＝22×2＝42，
∴BC=BN2+CN2=(42)2+22=6，
∴BE＝BC＝6，
∵△BEF∽△CDF，
∴BFCF=BECD=64=32，
∴BF=33+2BC=35BC=35×6=185，
∴BF的长是185．
【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明BE∥CD是解题的关键．
25．（6分）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25ℎ后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以每小时80km的速度匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时15min，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车各自离A地的路程y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a＝ 1 ．
（2）求c的值．
（3）求货车返回过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（4）当两车相距15km时，直接写出巡逻车行驶的时间．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）1；
（2）10；
（3）y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（4）4755h或12985h或15985h．
【分析】（1）根据货车到达B地的时间和装卸货物的时长计算a的值即可；
（2）根据货车“路程＝速度×时间”求出A、B两地之间的距离，从而根据“速度＝路程÷时间”求出巡逻车的速度，进而求出25ℎ巡逻车行驶的路程，即c的值；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）利用待定系数法分别求出货车和巡逻车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式，根据两车的间距列绝对值方程并求解，再换算成巡逻车行驶的时间即可．
【解答】解：（1）15min=14h，则a=34+14=1．
故答案为：1．
（2）A、B两地之间的距离为80×34=60（km），则巡逻车的速度为60÷（2+25）＝25（km/h），25ℎ巡逻车行驶的路程为25×25=10（km），
∴c的值为10．
（3）设货车返回过程中y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（1，60）和（2，0）分别代入y＝kx+b，
得k+b=602k+b=0，
解得k=−60b=120，
∴货车返回过程中y与x之间的函数关系式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）．
（4）设货车从A地驶向B地的过程中y与x之间的函数关系式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将坐标（34，60）代入y＝k1x，
得34k1＝60，
解得k1＝80，
∴y＝80x（0≤x＜34），
∴货车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式为y=80x(0≤x＜34)60(34≤x＜1)−60x+120(1≤x≤2)；
设巡逻车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式为y＝k2x+b1（k2、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标（0，10）和（2，60）分别代入y＝k2x+b1，
得b1=102k2+b1=60，
解得k2=25b1=10，
∴巡逻车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式为y＝25x+10（0≤x≤2）．
当0≤x＜34时，|80x﹣（25x+10）|＝15，解得x=511或x=−111（不符合题意，舍去）；
当34≤x＜1时，|60﹣（25x+10）|＝15，解得x=75（不符合题意，舍去）或x=135（不符合题意，舍去）；
当1≤x≤2时，|﹣60x+120﹣（25x+10）|＝15，解得x=1917或x=2517；
∴x=511或1917或2517．
511+25=4755（h），
1917+25=12985（h），
2517+25=15985（h），
∴当两车相距15km时，巡逻车行驶的时间为4755h或12985h或15985h．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数表达式是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，2），与y轴的交点为C（0，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）已知直线y＝ax+2与抛物线交于两点，其中点B是右侧交点．
①求点B的横坐标；
②过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M（M不与B，C重合），连接MB，MC．已知在点P从点O运动到点D（2a，0）的过程中，△MBC的面积随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）c＝2，b＝﹣3a；
（2）①4；
②0＜a≤1或a＜0．
【分析】（1）将点A（3，2）和点C（0，2）代入二次函数解析中求解即可；
（2）①联立直线和抛物线进行解方程求解即可；
②分两情况：当a＞0时和当a＜0时，进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，2），与y轴的交点为C（0，2），
∴9a+3b+c=2c=2，
∴c＝2，b＝﹣3a；
（2）①∵直线y＝ax+2与抛物线y＝ax2﹣3ax+2交于两点，
∴ax+2＝ax2﹣3ax+2，
ax2﹣4ax＝0，
ax（x﹣4）＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
∵点B是右侧交点，
∴点B的横坐标为4；
②当a＜0时，如图，点P从点O运动到点D（2a，0）的过程中，MC的长逐渐增大，△MBC的面积逐渐增大，即△MBC的面积随OP的长的增大而增大．
当a＞0时，设过点P（t，0）作x轴的垂线，交直线y＝ax+2于点N，
∵过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax+2于点N，
∴M（t，at2﹣3at+2），N（t，at+2），
∴当0＜t＜4时，MN＝at+2﹣（at2﹣3at+2）
＝at+2﹣at2+3at﹣2
＝﹣at2+4at，
∵S△MBC=12MN(xB−xC)=12(−at2+4at)(4−0)=−2a(t−2)2+8a，
∵a＞0，
∴﹣2a＜0，
∵由题意得，0≤t≤2a，
∴关于△MBC的面积的二次函数开口向下，
∴当t≤2时，关于△MBC的面积的二次函数随t变大，
∴2a≤2，
∴a≤1，
∴0＜a≤1；
综上所述，a的取值范围为0＜a≤1或a＜0．
【点评】本题考查了二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AO⊥BC于点O，点D是BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，AD=22，求BD的长；
（2）如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，点F为线段CD的中点，连接EF，DE．求证：AC=3BD+2EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，当OE最小时，将△AOE沿着AE翻折得到△AO′E，连接O′C，请直接写出S△AOES△AO′C的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）23−2；
（2）证明过程详见解答；
（3）712．
【分析】（1）可求得∠BAO＝60°，从而得出∠DAO＝∠BAO﹣∠BAD＝45°，解直角三角形ADO求得OA和OD，解直角三角形AOB求得OB，从而求得结果；
（2）延长AO至G，使AG＝AB，连接BG，CG，EG，EC，作EH⊥AG于H，可得出△ABG是等边三角形，从而AB＝BG，进而得出AO＝GO=12AG=12AB，可推出△ADE是等边三角形，从而∠BAG＝∠DAE＝60°，进而得出∠BAD＝∠GAE，可证得△BAD≌△GAE，从而∠AGE＝∠ABC＝30°，EG＝BD，从而GH＝EG•cs∠AGE＝BD•cs30°=32BD，可证得△ACG是等边三角形，从而∠AGC＝60°，进而得出∠AGE=12∠AGC，从而得出GE⊥AC，GE平分AC，从而AE＝CE，可证得四边形EFOH是矩形，从而EF＝OH，从而OG＝GH+OH，进一步得出结果；
（3）设EO′的延长线交AC于W，作OT∥EW，作TV⊥OA于V，作WR⊥AO′于AO′，由（2）知：点E在AC的垂直平分线上运动，从而当OE⊥GE时，OE最小，不妨设OE＝1，则OA＝OG＝2，可证得∠AEO＝∠EAW，四边形EQTW是平行四边形，从而得出TW＝OE＝1，OT＝EW，进而得出AW＝EW，设AT＝x，则AW＝EW＝OT＝x+1，在Rt△VOT中，根据OV2+VT2＝OT2列出（2−12x）2+（32x）2＝（x+1）2，从而求得x的值，从而得出AW＝x+1=74，在Rt△ARW中，由勾股定理得出（2﹣t）2+（3t）2＝（74）2，求得t的值，进而求得sin∠CAO′的值，进一步求得，S△AO′C，进一步得出结果．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO=12∠BAC=12×120°=60°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAO＝∠BAO﹣∠BAD＝45°，
∴OD＝OA＝AD•cs∠DAO＝22⋅cs45°=22×22=2，
∴OB＝OA•tan∠BAO＝2•tan60°＝23，
∴BD＝OB﹣OD＝23−2；
（2）如图1，
延长AO至G，使AG＝AB，连接BG，CG，EG，EC，作EH⊥AG于H，
∴∠EHO＝90°，
∵∠BAO＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB＝BG，
∵AO⊥OB，
∴AO＝GO=12AG=12AB，
∵线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵∠BAG＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠GAE，
∵AB＝AG，AD＝AE，
∴△BAD≌△GAE（SAS），
∴∠AGE＝∠ABC＝30°，EG＝BD，
∴GH＝EG•cs∠AGE＝BD•cs30°=32BD，
∵AB＝AC，
∴AG＝AC，
∵∠CAO＝60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠AGC＝60°，
∴∠AGE=12∠AGC，
∴GE⊥AC，GE平分AC，
∴AE＝CE，
∵DE＝AE，
∴DE＝CE，
∵F是CD的中点，
∴EF⊥CD，
∴∠EFO＝90°，
∴四边形EFOH是矩形，
∴EF＝OH，
∴OG＝GH+OH，
∴2OG＝2GH+2OH，
∴AG=3BD+2EF，
∴AC=3BD+2EF；
（3）如图2，
设EO′的延长线交AC于W，作OT∥EW，作TV⊥OA于V，作WR⊥AO′于AO′，
由（2）知：点E在AC的垂直平分线上运动，
∴当OE⊥GE时，OE最小，
不妨设OE＝1，则OA＝OG＝2，
∵EG⊥AC，
∴OE∥AC，
∴∠AEO＝∠EAW，四边形EQTW是平行四边形，
∴TW＝OE＝1，OT＝EW，
∵∠AEO＝∠AEO′，
∴∠AEO′＝∠EAW，
∴AW＝EW，
设AT＝x，则AW＝EW＝OT＝x+1，
∴AV=12AT=12x，TV=32AT=32x，
在Rt△VOT中，由勾股定理得，
OV2+VT2＝OT2，
∴（2−12x）2+（32x）2＝（x+1）2，
∴x=34，
∴AW＝x+1=74，
∵∠AO′E＝∠AOE＝120°，
∴∠AO′W＝60°，
设RO′＝t，则WO′＝2t，RW=3t，
∴AR＝AO′﹣RO′＝2﹣t，
在Rt△ARW中，由勾股定理得，
（2﹣t）2+（3t）2＝（74）2，
∴t1=38，t2=58（舍去），
∴RW=3t=338，
∴sin∠CAO′=RWAW=33874=3314，
∴S△AO′C=12AO′•AC•sin∠CAO′=12×2×4×3314=637，
∵S△AOE=12OE•AO•sin∠AOE=12×1×2×32=32，
∴S△AOES△AO′C=712．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O半径为1，A、B为圆上不重合的两点．点B绕点A顺时针旋转60°得到点C，点B关于直线AC的对称点为D，则称点D为AB关于圆O的旋称点．
（1）若A坐标为（1，0），则在D1（2，0），D2(32，32)，D3(2，−3)，D4(2，3)中，D1（2，0）、D4（2，3） 是AB关于⊙O的旋称点；
（2）对于所有可能的AB关于⊙O的旋称点D，线段OD的最大值为 1+3 ；
（3）若点A在第一象限，B在第三象限，在直线y=33x+k上存在点D，使得点D为AB关于⊙O的旋称点，则k的取值范围是 ﹣1−3≤1+3 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】（1）D1（2，0）、D4(2，3)；
（2）1+3；
（3）−1−3≤k≤1+3．
【分析】（1）在D1（2，0），D2(32，32)，D3(2，−3)，D4(2，3)，找到AB关于⊙O的旋称点，即要先将这些点分别绕点A逆时针旋转120°得到对应的点B1，B2，B3，B4，点B1，B2，B3，B4之中正好在⊙O上的点对应的点D即为AB关于⊙O的旋称点；
（2）设直线AC与⊙O交于点F，连接OB，OF，FD，BF，作OG⊥BF，由题意可得BF长为定值3，OF＝2，BF＝FD，利用OD≤OF+FD即可求出线段OD的最大值；
（3）由（2）可得点D在以点F为圆心，以FB=3为半径的圆上，所以点D的下界是当点F在y轴负半轴时，点D的上界是当点F在y轴正半轴时，分别求出对应的k值，即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）点B绕点A顺时针旋转60°得到点C，点B关于直线AC的对称点为D，如图所示：
由旋转、轴对称的性质可得：AB＝AC＝AD，∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴点B绕点A顺时针旋转120°得到点D，
反之：点D绕点A逆时针旋转120°得到点B，
点A坐标为（1，0），D1（2，0），D2(32，32)，D3(2，−3)．D4(2，3)，
如图所示：
在D1(2，0)，D2(32，32)，D3(2，−3)．D4(2，3)中，找到AB关于⊙O的旋称点，
即要先将这些点分别绕点A逆时针旋转120°得到对应的点B1，B2，B3，B4，
点B1，B2，B3，B4之中正好在⊙O上的点对应的点D即为AB关于⊙O的旋称点，
∵D1（2，0），∠D1AB1＝120°，A（1，0），
∴∠B1AE＝60°，AB1＝AD1＝2﹣1＝1，
∴AE=cs60°×AB1=12，B1E=sin60°×AB1=32，
∴B1(12，32)，
∴OB1=(12)2+(32)2=1，
∴B1(12，32)在⊙O上，即D1（2，0）是AB关于⊙O的旋称点，
同理可得：B2（0，0），B3（2，3），B4（﹣1，0），
∵OB2＝0＜1，OB3=22+(3)2=7＞1，OB4＝1，
∴B2（0，0），B3(2，3)不在⊙O上，即D2(32，32)，D3(2，−3)不是AB关于⊙O的旋称点，
B4（﹣1，0）在⊙O上，即D4(2，3)是AB关于⊙O的旋称点．
综上：D1（2，0）、D4(2，3)是AB关于⊙O的旋称点．
故答案为：D1（2，0）、D4(2，3)；
（2）当点在C在⊙O上或⊙O外时，设AC与⊙O交于点F，连接OB，OF，FD，BF，作OG⊥BF，
由题意得：OF＝OB＝1，∠BAF＝60°，BF＝FD，
∴∠BOF＝2∠BAF＝120°，
∴∠GOF=12∠BOF=60°，
∴BF=2GF=2×sin60°×OF=3，
∴BF=FD=3，OD≤OF+FD=1+3，
∴当O、F、D三点共线时，线段OD取最大值为1+3；
当点在C在⊙O内时，设AC延长线与⊙O交于点F，连接OB，OF，FD，BF，作OG⊥BF，
∵OD≤OF+FD=1+3，
∴当O、F、D三点共线时，线段OD取最大值为1+3，情况与在点在C在⊙O上或⊙O外时相同，
故答案为：1+3；
（3）设直线AC与⊙O交于点F，由（2）可知：BF=FD=3，
∴点D在以点F为圆心，以FB=3为半径的圆上，
∴点D的下界是当点F在y轴负半轴时，此时O、F、D三点共线，如图所示：
∴OD=OF+FD=1+3，
∴D(0，−1−3)代入y=33x+k得：k=−1−3，
点D的上界是当点F在y轴正半轴时，此时O、F、D三点共线，如图所示：
同理可得：D(0，1+3)代入y=33x+k得：k=1+3，
综上：−1−3≤k≤1+3．
故答案为：−1−3≤k≤1+3．
【点评】本题考查旋转的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识是解题的关键．成绩
培训前
培训后
不合格
40
10
合格
8
25
优秀
2
15
型号
成本/（元/件）
售价/（元/件）
A
40
70
B
30
50
学生
平均数
中位数
众数
方差
八（1）班
86
a
88
62.4
八（2）班
86
85
b
56
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
成绩
培训前
培训后
不合格
40
10
合格
8
25
优秀
2
15
型号
成本/（元/件）
售价/（元/件）
A
40
70
B
30
50
学生
平均数
中位数
众数
方差
八（1）班
86
a
88
62.4
八（2）班
86
85
b
56