2026年河北邯郸市武安市初中学业水平模拟监测数学试卷（二模）（含解析）

这是一份2026年河北邯郸市武安市初中学业水平模拟监测数学试卷（二模）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（ ）
A. 互相平行B. 互相垂直C. 互相平分D. 重合
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得，结合已知条件与互补，可求出的度数，进而判断直线，的位置关系．
【详解】解：与是对顶角 ，
，
与互补，
，
，
，
，
即直线，互相垂直．
2. 下列各数中，相反数比本身小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A．原数为，相反数为，，不符合要求；
选项B．原数为，相反数为，，不符合要求；
选项C．原数为，相反数为，，不符合要求；
选项D．，相反数为，，即相反数比本身小，符合要求．
3. 若是整数，则下列选项的值一定为偶数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整数分为奇数和偶数，结合奇偶数的运算性质，分情况讨论每个选项，即可得到一定为偶数的结果．
【详解】解：由于是整数，则分为奇数、为偶数两种情况讨论：
选项A、当是奇数时，取，则是奇数，因此A错误；
选项B、，当是偶数时，取，则是奇数，因此B错误；
选项C、当是偶数时，取，则是奇数，因此C错误；
选项D、，若是偶数，偶数乘任意整数结果为偶数，因此原式是偶数；若是奇数，奇数奇数偶数，奇数乘偶数结果为偶数，因此原式是偶数；
无论是奇数还是偶数，一定为偶数，因此D正确．
4. 如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系．
【详解】解：延长、交于点，
由图甲可知，、，由图乙可知，、，
、，
在和中，
，
，
、
、，
，
、，
，
．
5. 若（），且，下列关于代数式的说法正确的是（ ）
A. 是无理数B. 精确到为
C. 有两个平方根D. 在数轴上不存在一个点与之对应
【答案】C
【解析】
【分析】先对分式因式分解化简，再代入求出的值，结合实数的相关性质判断各选项即可．
【详解】解：
，，
选项A：是分数，属于有理数，故A错误；
选项B：，精确到为，故B错误；
选项C：，正数有两个平方根，故C正确；
选项D：所有实数都对应数轴上的一个点，是实数，存在对应点，故D错误．
6. 求证：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．
已知：如图，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
以下是排乱的证明过程：
①∴，∴．
②四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
③连接，∵，∴．
④∵，，．
证明步骤正确的顺序是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过三角形全等，可判定两组对边分别相等，从而判定四边形是平行四边形．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：A．
本题考查平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
7. 将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径．
【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ，
摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差，
摩天轮的直径为，
摩天轮的半径为．
8. 如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（ ）
A. 6B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
由折叠的性质可知：，，，
∴，，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴．
9. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先通过判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，逐一判断选项即可．
【详解】解：方程的判别式为：，
方程有两个不相等的实数根，即，
故选项A、D错误；
根据根与系数的关系得：，，
为任意实数，
，不是固定值，
故选项B错误，选项C正确．
10. 4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的平均数是3B. 这组数据的平均数与无关
C. 当时，这组数据的众数为10D. 当时，这组数据的中位数为2
【答案】D
【解析】
【分析】根据条形统计图读出各阅读次数对应的人数，计算总人数和总阅读次数，结合平均数、众数、中位数的定义逐一判断选项即可．
【详解】解：由图可知，阅读0次、1次、2次、4次、5次的人数分别为4、6、8、10、2人，阅读3次的人数为人，
总人数为，
总阅读次数为．
对于A、B，平均数，显然平均数与有关且不恒为3，故A、B错误；
对于C，当时，阅读4次的人数最多（10人），故众数为4，故C错误；
对于D，当时，总人数，则中位数应在第14-18人之中，，，则这组数据的中位数为2，故D正确．
11. 如图，使量角器的0刻度线与轴重合，量角器的直径的中点为，原点位于量角器边缘．双曲线（）经过量角器边缘上的另一点，点对应刻度为，则（ ）
A. 12B. C. 27D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意确定量角器所在圆的圆心和半径，结合量角器读数及图形位置确定的度数，通过解直角三角形求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求出的值．
【详解】解：如图，连接，
量角器直径的中点为，原点在量角器边缘，
量角器所在圆的半径．
点在量角器边缘，对应刻度为，
．
过点作轴于点，
在中，，，
，．
点坐标为，
，
点的坐标为．
双曲线经过点，
．
12. 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，…依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 4或8D. 3或4或8
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知所得多边形的各边相等，结合图形分情况讨论正多边形的边数即可．
【详解】解：由旋转的性质可知， ，即所得多边形的各边相等，若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，分以下三种情况讨论：
①如图1，当点与点重合时，若为正三角形，则，此时满足题意；
②如图2，当点在边上，点在边上，且、、、分别为正方形各边的中点时，四边形为正方形，则，此时满足题意；
③如图3，当点、均在边上时，若多边形为正八边形，其内角为
，，
，为等腰直角三角形
同理可得正方形四个角处均为等腰直角三角形，可构成正八边形，则，此时满足题意
综上所述，的值为或或．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：将代入方程得：
，
解得：．
14. 若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的_____段．
【答案】②
【解析】
【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段即可．
【详解】解：，
，
，
表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段，
15. 如图，在中，点和分别是边，上一点，连接，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的外角性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，两直线平行同位角相等．由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形的外角性质得到，因此．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为：，，，点是线段上的动点（可与端点重合），连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设点的坐标为，根据点在线段上确定的取值范围，过点作轴的垂线，延长交轴于点，构造相似三角形，证明，利用相似三角形的性质建立与的函数关系式，根据二次函数的性质求出的取值范围．
【详解】设，
点是线段上的动点（可与端点重合），，，
，
过点作轴于点，延长交轴于点，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
当时，，，
，
，
，
当时，，，
，
，
，
当时，，，轴，
，
轴，
，即，此时也成立，
综上，，抛物线开口向上，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 对于有理数，，规定．
（1）计算的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）按照题干给出的运算规则，将对应数值代入计算即可．
（2）根据新运算列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴


；
【小问2详解】
解：∵，，
∴ ，
展开得，
整理得，
变形为，
解得．
18. 已知整式，，，，如下表所示．
（1）将整式进行因式分解；
（2）若，求整式的值；
（3）当，时，用科学记数法表示的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
【小问3详解】
解：，
将，代入得∶
．
19. 如下是一个数学游戏：将图1的圆周分成相等的8段，棋子从点处开始沿逆时针方向移动．掷一枚如图2的均匀正四面体骰子（四个面上分别写有1，2，3，4），游戏规则如图3．
（1）掷第一次骰子，求棋子移动4步的概率及棋子移动6步的概率；
（2）求掷二次骰子后，棋子回到点处的概率．
【答案】（1）棋子移动4步的概率为0，棋子移动6步的概率；
（2）．
【解析】
【分析】（1）分析规则得到移动步数朝下数字，即所有可能的移动步数为：6、7、8、9，每种结果概率均为，根据概率公式计算即可；
（2）圆周分为8相等段，回到O点等价于两次总步数是8的倍数，列出表格，进而根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：首先分析规则：均匀正四面体四个面数字为1、2、3、4，掷一次只有1个面朝下，剩余3个面朝上，每个面朝下概率相等（均为​），所有数字总和为，
因此移动步数朝下数字，所有可能的移动步数为：6、7、8、9，每种结果概率均为，
则棋子移动4步的概率为0，棋子移动6步的概率；
【小问2详解】
解：圆周分为8相等段，回到O点等价于两次总步数是8的倍数．
列表如下：
根据表格可知掷两次共有种等可能结果，其中8的倍数有3种，
∴棋子回到点处的概率．
20. 如图1是某社区运动场安装的一架双人漫步机，立柱，静止时，踏板支柱与重合， ，点到地面的距离，小丽踩在上面进行运动时的侧面示意图如图2，踏板连杆绕着点旋转到处，且．
（1）求图2中点到地面的距离（过程中的计算结果均精确到）；
（2）某人踩漫步机运动，当绕来回摆动时，若点到的最大水平距离为，扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
（参考数据：取0.67，取0.74，取0.90，取0.8，取0.6，取1.33．）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作地面的垂线于点，过点作于点，解即可求解；
（2）假设点运动到点时，到的水平距离最大，，关于对称，此时扫过的区域扇形的面积最大，解即可求解．
【小问1详解】
解：如图2，过点作地面的垂线于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
依题意得，，
在中，，
，
，
，
，
答：图2中点到地面的距离为．
【小问2详解】
解：如图，假设点运动到点时，到的水平距离最大，，关于对称，此时扫过的区域扇形的面积最大，
依题意得，，，
在中，，
，
．
．
答：这个扇形面积最大时圆心角的度数为．
21. 如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点．
（1）直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式；
（2）直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为，
当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值；
直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围．
【答案】（1）直线的函数表达式为；直线的函数表达式为
（2）或；
【解析】
【分析】（1）根据平行设出直线的函数表达式，利用待定系数法可求出直线的函数表达式；进而求出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数表达式；
（2）当时，分别确定点，，的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点，，在点下方时；情况二：当点，，在点上方时，分别求解即可；设对称点，分别求出当点 落在直线上和落在轴上时对应的值，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
解：直线与直线平行，
设直线的函数表达式为，
将点代入得，，
直线的函数表达式为；
令，得，
，
将点和点代入直线：得，
，解得，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：对于，
令，得，
，
由题意可得，，
直线与轴、直线、直线分别交于点，，，点在线段上（不与点，重合），
；
令，得，故，
令，得，故，
当时，
情况一：当点，，在点下方时，，如图，此时点为的中点，
，解得，且，符合题意；
情况二：当点，，在点上方时，，如图，
，
，解得，且，符合题意．
综上所述，当或时，；
设点关于直线的对称点 ，
当点落在直线上时，，
此时，
当点落在轴上时，，
此时，
点在直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）时，的取值范围为．
22. 【问题背景】如图1，在矩形中，，，经过矩形中心点的直线与，分别交于点，，点，是线段，上的点，，设，连接，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）直接写出满足什么条件，四边形为菱形．
【操作探究】
（3）尺规作图：在图2中作出正方形，并求的值（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法）
【拓展探究】
（4）如图3，若四边形为矩形，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，点为矩形中心，
∴，
∵
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∴四边形是平行四边形；
（2）当时，四边形为菱形（答案不唯一）；
（3），
（4）6
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质及平行线的性质证明，得到，再根据得到，即可证明四边形是平行四边形；
（2）平行四边形为菱形的条件是对角线互相垂直；
（3）过点作的垂线，交于，交于；以为圆心，长为半径画弧，分别交于、交于，连接，即得正方形；由作图可知，根据三角函数求出的值即可；
（4）根据矩形的性质及垂线段最短作答即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：当时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：由作图可知，，，
∴四边形为正方形，，
在中，，，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴求的最小值即求的最小值．
根据垂线段最短可知当即时，有最小值，
即的最小值为6．
23. 如图，抛物线：与轴交于点，，顶点为，抛物线：经过点，，与轴交于点，其中．
（1）当点，时，
①直接写出抛物线的函数表达式，并求抛物线的函数表达式；
②对于，求当时，的值．
（2）请你判断是否总成立，说明理由；
（3）过点作轴的平行线，交抛物线于点（不与点重合），当时，
①求当时的长度；
②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由线段，抛物线，与轴围成的封闭图形（含边界）中有8个好点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；
②；
（2）总成立，理由如下：
抛物线与轴交于，，
设，
将点代入得，，
，
；
（3）①；
②．
【解析】
【分析】（1）①抛物线顶点为，故；代入得，求出，得，抛物线过点，用交点式或待定系数法可求解析式．
②令的函数值，解一元二次方程得的值．
（2）利用抛物线与轴交点，顶点；抛物线过，，，用待定系数法表示与的关系，化简可证恒成立．
（3）①时，先求抛物线解析式，再求过的水平线与的交点，利用对称性得长度．
②时，结合，通过封闭图形内整数点（好点）的数量限制，反推的取值范围，核心是分析边界处整数点的分布．
【小问1详解】
解：①抛物线的解析式为．
抛物线与轴交于，且对称轴为轴，
，
当时，抛物线的解析式为，
，
．
将代入得，
，解得，
．
②当时，，
解方程得．
【小问2详解】
略；
【小问3详解】
解：①抛物线与轴交于，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
．
②抛物线与轴交于，，
由①得，当时，，
当时，封闭部分（含边界）有8个好点：
，
当抛物线经过点时，由于，
代入，得，
由④×＋⑤，得，
则，
由（2）得，
，
封闭部分（含边界）有个好点时，，
由（2）得，
，
的取值范围为．
24. 如图，点，点在数轴上表示的数分别为和4，点为原点，在数轴的上方作，，．点，同时从点出发在数轴上背向而行，速度均为1个单位长度/秒，当点与点重合时，立即以原速返回，点继续沿数轴正方向移动，当点与点重合时，点，同时停止运动．以为直径构造半圆，设点，的运动时间为秒．
（1）直接写出的度数及当秒时点在数轴上表示的数；
（2）直接写出的最大值，求当点，重合时，落在半圆外部的图形的面积；
（3）若半圆与直线相切时，求点在数轴上所表示的数；
（4）求边落在半圆内部（包括边界）的弦长不变的时长．（参考数据：取）
【答案】（1）；；
（2）8；
（3）或
（4）秒
【解析】
【分析】（1）过点A作于点E，利用平行四边形的面积公式求出长，在中，，从而求出的度数，当秒时，点M从点B返回运动，据此求解即可；
（2）分析M、N的运动过程，根据两点坐标差的绝对值表示长度，结合运动阶段求最大值；当M与B重合时，确定半圆P的圆心、半径，用梯形面积减去扇形面积，得到外部图形面积；
（3）分情况讨论：当半圆与第一次相切于点K时，此时点M向点B处运动，当半圆与第二次相切于点K时，此时点M从点B处返回向点O运动，分析此时半圆P的位置，利用勾股定理求解即可；
（4）设半圆与的两个交点分别为R、S（R在S的左侧），当点M返回，点R、A重合时，过点A作于点，线段开始达到固定长度，过圆心P作于点F，连接，当时，此时半圆的半径为4，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，从点R、A重合到点S与点D重合结束，线段的长度持续为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点E，
，
由题意知，、，
，
，
即，
解得：，
在中，，
；
点M从O向左运动，到达B需要：秒，
当秒时，点M从B返回向右走了1秒，位置为；
【小问2详解】
解：由题意知，，点到达点再返回到达点需要的时间为：秒，
当时，点的位置是，点的位置是，
时，点与点B重合，点N与点C重合，此时，
当时，点的位置是，点的位置是，
此时，
综上所述，的最大值为8；
解：的最大值为8；
如图1，当点M、B重合时，，则以为直径构造半圆的半径为，
过点O作于点T，平行四边形与交与点G，过点G作与点H，连接，
四边形是平行四边形，
、，
，
在中，，
，
，
在中，，
、、、，
、，
四边形、都是矩形，
、，
在中，由勾股定理得：，
，
，
【小问3详解】
解：若半圆与直线相切时，
如图2，当半圆与第一次相切于点K时，连接，此时点、重合，
，
在中，、、，
，
，
当半圆与第一次相切于点K时，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为；
当半圆与第二次相切于点K时，点从点B处向右侧运动，
如图3，
此时，，
，
，
当半圆与第二次相切于点K时，点N在数轴上所表示的数为；
综上所述，当半圆与相切时，点N在数轴上所表示的数为或；
【小问4详解】
解：设半圆与的两个交点分别为R、S（R在S的左侧），
如图4，当点M返回，点R、A重合时，过点A作于点，线段开始达到固定长度，过圆心P作于点F，连接，，
当时，此时半圆的半径为4，
，
在中，、、，
、，
，
在中，由勾股定理得：，
同理得：，
，
线段的长度为；
从图4的状态开始，到图5的状态点S与点D重合结束，线段的长度持续为，
持续时间为秒．
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法是解题的关键．
整式
整式
整式
整式
6
7
8
9
6
12
13
14
15
7
13
14
15
16
8
14
15
16
17
9
15
16
17
18