2025-2026学年上海市闵行区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市闵行区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题，综合运用等内容，欢迎下载使用。
1．在直角坐标平面内，点的坐标是，则点到轴的距离是（ ）
A．2B．3C．D．
2．已知点、点、点，那么△的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
3．若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ）
A．六B．七C．八D．九
4．下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在周长为的平行四边形中，，，相交于点，交于点，则△的周长是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形
B．矩形绕点旋转后，能与自身重合
C．对角线、是矩形的对称轴
D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．点位于第 象限．
8．已知函数：，则（1） ．
9．当 时，函数是正比例函数．
10．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的值随的值的增大而 ． “增大”或“减小”
11．在平行四边形中，，则 ．
12．写一条正方形具有而菱形不一定具有的性质： ．
13．菱形的周长是20，一条较短的对角线长是5，则该菱形较大的内角是 ．
14．在△中，，，，是△的重心，连接，则 ．
15．已知点，点在轴上且线段的长度是4，那么点的坐标为 ．
16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是 ．
17．已知：点，，为坐标原点，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，则四边形的面积为 ．
18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，．将对角线绕点顺时针旋转，点落在点处，则线段的长等于 ．
三、解答题（本大题共7题，共52分）
19．已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）求当时的值．
20．已知：正比例函数的图象经过点．过图象上一点作轴的垂线，垂足为，求△的面积．
21．如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是 米秒；
（2）先到达终点的是 （填“甲”或“乙” ；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域 ．
22．如图，已知：在平行四边形中，对角线、相交于点，过点且与边，分别相交于点，，连接、．求证：四边形是平行四边形．
23．我们知道：当三角形三条边的长度均确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质也叫做三角形的稳定性．
（1）与三角形不同，如果用四根木条制作成一个四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有 ．
（2）生活中，很多家庭使用的伸缩晾衣架也利用了上述四边形的特性．如图是一款伸缩晾衣架的示意图．
该款伸缩晾衣架包含两侧的支架和三根晒被杆（图，每一侧的支架由6根铝合金杆（宽度忽略不计）组成，支架的每个交点处均可以转动（图．其中，，点、、分别是这些铝合金杆的中点．支架展开后，点、、、在一直线上．
问题：如果把的度数称做支架的展开角度，当支架展开角度为时，晾衣架最远处点Ⅰ离开墙面距离约为多少厘米？
（3）若要增加晒被杆的根数，需要增加铝合金杆的数量，在不改变原来设计方案的前提下，制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架，共需要铝合金杆 ．
24．如图，已知四边形是正方形，对角线，相交于点．求证：，，，是全等的等腰直角三角形．
25．如图，平行四边形中，，点是边上一点，连接，作垂直平分，分别交边、、于点、、．
（1）如图1：若，，当点恰好是边中点时，求的长；
（2）若，当时，求的长．
四、综合运用（本题满分12分）
26．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点（点不与、重合），△沿翻折后得到△，直线与边相交于点．
（1）△是否一定是等腰三角形？证明你的结论；
（2）当点恰好落在矩形的对角线上时，在图2中画出大致图形并求线段的长；
（3）如图3，点、分别是、的中点，设，△的周长为，求关于的函数关系式，并写出定义域．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】
1．在直角坐标平面内，点的坐标是，则点到轴的距离是（ ）
A．2B．3C．D．
【思维点拨】根据点到坐标轴距离的定义解答即可．
解：点的坐标为，
点到轴的距离为．
故选：．
2．已知点、点、点，那么△的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【思维点拨】利用平面直角坐标系中两点间距离公式计算三角形三边长度，再根据边长特征判断三角形形状，依据等腰三角形的定义得出结论．
解：对于平面内两点，和，，两点间距离公式为．
，，
计算得：
，，
可得，且，
验证是否存在直角：
，，
故三角形不存在直角，则△是等腰三角形，
故选：．
3．若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ）
A．六B．七C．八D．九
【思维点拨】根据任何多边形的外角和都是，用除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
解：任意多边形的外角和是，
因为多边形是正多边形，
所以多边形的每个外角相等等于，
则多边形的边数是：．
故选：．
4．下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【思维点拨】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案．
解：、是正比例函数，符合题意；
、是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；
、是反比例函数，不符合题意；
、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意．
故选：．
5．如图，在周长为的平行四边形中，，，相交于点，交于点，则△的周长是（ ）
A．B．C．D．
【思维点拨】根据平行四边形性质得到，利用垂直平分线性质和判定推出，再结合三角形周长公式，以及平行四边形的周长求解，即可解题．
解：平行四边形中，，相交于点，
，
，
，
△的周长是，
平行四边形的周长为，
，
△的周长是，
故选：．
6．如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形
B．矩形绕点旋转后，能与自身重合
C．对角线、是矩形的对称轴
D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形
【思维点拨】根据旋转对称图形的性质进行判断即可．
解：、在矩形中，，对角线、相交于点．
两条对角线把矩形分割成四个等腰三角形，故错误，不符合题意；
、矩形绕点旋转后，能与自身重合，故错误，不符合题意；
、对角线、不是矩形的对称轴，故错误，不符合题意；
、将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形，故正确，符合题意；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．点位于第 三 象限．
【思维点拨】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，即可判断点所在象限．
解：点的横坐标，纵坐标，
点位于第三象限．
故答案为：三．
8．已知函数：，则（1） 1 ．
【思维点拨】将代入函数即可求得（1）的值．
解：，
当时，（1）．
9．当 时，函数是正比例函数．
【思维点拨】先合并同类项化简函数解析式，再根据正比例函数的定义列不等式求解即可．
解：函数是正比例函数，合并同类项得，
，
．
故答案为：．
10．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的值随的值的增大而 增大 ． “增大”或“减小”
【思维点拨】根据正比例函数的性质进行解答即可．
解：函数的图象经过第一、三象限，那么的值随的值增大而增大，
故答案为：增大．
11．在平行四边形中，，则 130 ．
【思维点拨】根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得．
解：如图：
四边形为平行四边形，
，．
，
，
．
故选：130．
12．写一条正方形具有而菱形不一定具有的性质： 每一个角都是直角 ．
【思维点拨】根据正方形既是矩形也是菱形，写出矩形的性质即可．
解：正方形具有而菱形不一定具有的性质为：每一个角都是直角（或对角线相等），二者任写其一．
故答案为：每一个角都是直角（或对角线相等）．
13．菱形的周长是20，一条较短的对角线长是5，则该菱形较大的内角是 120 ．
【思维点拨】根据题意求出菱形的边长，再结合等边三角形性质和判定推出较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，利用等边三角形性质和菱形性质求解，即可解题．
解：由条件可知菱形的边长是，
一条较短的对角线长是5，
如图，可得，
△为等边三角形，
，
该菱形较大的内角是．
故答案为：120．
14．在△中，，，，是△的重心，连接，则 ．
【思维点拨】延长交于点，在的延长线上取一点，使，连接，，，，设的延长线交于点，则，先由勾股定理求出，根据重心的定义得，，证明四边形是平行四边形得，进而证明是△的中位线得，继而得，则，据此可得的长．
解：延长交于点，在的延长线上取一点，使，连接，，，，设的延长线交于点，如图所示：
，
在△中，，，，
由勾股定理得：，
点是△的重心，
，分别是，上的中线，
，，
在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
即，
又，
是△的中位线，
点是的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
15．已知点，点在轴上且线段的长度是4，那么点的坐标为或 ．
【思维点拨】根据坐标特点可知点与点都在轴上，再结合线段的长度是4，分两种情况：当点在点上方时，当点在点下方时，分析求解，即可解题．
解：由题意可得：
当点在点上方时，点的坐标为，
当点在点下方时，点的坐标为，
点的坐标为或．
故答案为：或．
16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是 ．
【思维点拨】利用平行四边形的性质得到，，再结合三角形三边关系求解，即可解题．
解：平行四边形中，对角线，相交于点，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．已知：点，，为坐标原点，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，则四边形的面积为 27 ．
【思维点拨】先根据旋转变换的坐标规律得到旋转后，的坐标，得到四边形为梯形，再利用梯形的面积公式求解即可．
解：，，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，
，，
如图，四边形为梯形，设梯形的高为，
，，，
四边形的面积为．
故答案为：27．
18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，．将对角线绕点顺时针旋转，点落在点处，则线段的长等于 ．
【思维点拨】首先过点作的垂线，构造直角三角形，勾股定理求出的长，进而根据平行四边形的性质得到、的长，然后根据旋转的性质得到，，从而求出的度数，最后在等腰△中，利用三线合一、直角三角形的性质和勾股定理求出的长；
解：过点作于点，
在△中，，，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得，
，
，，
，
点、、在同一直线上，
，
，
△是等腰三角形，，
过点作于点，
，，
在△中，，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，共52分）
19．已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）求当时的值．
【思维点拨】（1）设关于的函数解析式为，将当时，，代入解析式求解，即可解题；
（2）将代入（1）中解析式求解，即可解题．
解：（1）与成正比例，
设关于的函数解析式为，
当时，，
，
解得，
关于的函数解析式为；
（2），
，
解得．
20．已知：正比例函数的图象经过点．过图象上一点作轴的垂线，垂足为，求△的面积．
【思维点拨】先设出正比例函数解析式，利用已知点坐标求出函数解析式，再根据垂直于轴的直线上点的坐标特征得到点的纵坐标，最后利用三角形面积公式计算得到结果．
解：设正比例函数解析式为，则，
解得，
正比例函数解析式为，
轴，垂足为，
点的纵坐标为，
将代入得：，
解得，
点坐标为，
，，
．
21．如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是 米秒；
（2）先到达终点的是 （填“甲”或“乙” ；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域 ．
【思维点拨】（1）由甲的速度甲的路程甲的时间，即可求得甲的速度；
（2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点；
（3）由乙的速度乙的路程乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可．
解：（1）由甲的速度甲的路程甲的时间可得：
（米秒）．
故答案为：；
（2）由图象可知：甲先到达终点．
故答案为：甲；
（3）乙的速度为：（米秒），
乙的图象的函数解析式为．
故答案为：．
22．如图，已知：在平行四边形中，对角线、相交于点，过点且与边，分别相交于点，，连接、．求证：四边形是平行四边形．
【思维点拨】根据平行四边形的性质得出，，结合平行线的性质证明△△，得，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在△△中，
，
△△，
，
又，
四边形是平行四边形．
23．我们知道：当三角形三条边的长度均确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质也叫做三角形的稳定性．
（1）与三角形不同，如果用四根木条制作成一个四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有 不稳定性 ．
（2）生活中，很多家庭使用的伸缩晾衣架也利用了上述四边形的特性．如图是一款伸缩晾衣架的示意图．
该款伸缩晾衣架包含两侧的支架和三根晒被杆（图，每一侧的支架由6根铝合金杆（宽度忽略不计）组成，支架的每个交点处均可以转动（图．其中，，点、、分别是这些铝合金杆的中点．支架展开后，点、、、在一直线上．
问题：如果把的度数称做支架的展开角度，当支架展开角度为时，晾衣架最远处点Ⅰ离开墙面距离约为多少厘米？
（3）若要增加晒被杆的根数，需要增加铝合金杆的数量，在不改变原来设计方案的前提下，制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架，共需要铝合金杆 ．
【思维点拨】（1）直接根据四边形性质回答即可；
（2）先证明四边形为菱形，连接，，，再证明△为等边三角形，推出，同理可得，结合点、、、在一直线上求解，即可解题；
（3）根据含4根晒被杆的伸缩晾衣架，铝合金杆需增加一个四边形，进而算出需要增加的铝合金杆总长．
解：（1）随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有不稳定性；
故答案为：不稳定性；
（2），，点、、分别是这些铝合金杆的中点，
，
四边形为菱形，
，
，
，
连接，，，
△为等边三角形，
，
同理可得，
点、、、在一直线上，
晾衣架最远处点离开墙面距离约为；
（3）由题意可得：铝合金杆总的材料需要增加一个四边形的周长，
即共需要铝合金杆．
故答案为：76．
24．如图，已知四边形是正方形，对角线，相交于点．求证：，，，是全等的等腰直角三角形．
【思维点拨】根据四边形是正方形，对角线，相交于点，得出，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：四边形是正方形，对角线，相交于点，
，，
在与中，
，
，
．
25．如图，平行四边形中，，点是边上一点，连接，作垂直平分，分别交边、、于点、、．
（1）如图1：若，，当点恰好是边中点时，求的长；
（2）若，当时，求的长．
【思维点拨】（1）连接，根据垂直平分线的性质，证明△是等边三角形，即可得解；
（2）连接，根据30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而推出△是等边三角形，即可得解．
解：（1）连接，
点恰好是边中点，，，
，
垂直平分，
，
，
△是等边三角形，
，
；
（2）连接，
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
△是等边三角形，
，
．
四、综合运用（本题满分12分）
26．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点（点不与、重合），△沿翻折后得到△，直线与边相交于点．
（1）△是否一定是等腰三角形？证明你的结论；
（2）当点恰好落在矩形的对角线上时，在图2中画出大致图形并求线段的长；
（3）如图3，点、分别是、的中点，设，△的周长为，求关于的函数关系式，并写出定义域．
【思维点拨】（1）由折叠的性质和矩形的性质证明，得到，即可证明△是等腰三角形；
（2）先由矩形的性质与折叠的性质得到，根据面积法和勾股定理求出，，设，则，利用面积法列方程求出，进而解题；
（3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理可得、，进而得出函数解析式．
解：（1）△一定是等腰三角形．证明如下：
将△沿翻折后得到△，且直线与边相交于点，
，
矩形中，，
，
，
，
△是等腰三角形；
（2）在矩形中，，，，
，
将△沿翻折后得到△，点恰好落在矩形对角线上，如图，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
解得，
即
；
（3）设，△的周长为，连接，
矩形中，，，，
，，，
点、分别是、的中点，，
，，
，
即，
函数定义域为．