湖北省武汉华师一附中2026届高三五月适应性考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖北省武汉华师一附中2026届高三五月适应性考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,故 .
2. 已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,故 .
3.已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则
A. -1 B. 1C. D. -2
【答案】A
【解析】由 是定义在 上的奇函数,得 ,故 ,当 时, , 所以 .
4.已知向量 满足 ，则 在 上的投影向量的模为
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】 ,所以 在 上的投影向量的模为 .
5.“不以规矩，不能成方圆” 出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规， “矩” 是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具. 如图，现有一椭圆经某同学以 “矩” 量之得 ， ,其中 为椭圆的左焦点, 经过坐标原点 ,则该椭圆的短轴长为
A. 2cm B. 4cmC. D.
【答案】D
【解析】根据椭圆的对称性可知 ,故 ,得 ,
又 ,所以 ，得 ，
由 得 ，所以椭圆的短轴长为 .
6.已知一组样本数据 的平均数为 6，方差为 24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为 30 , 则
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】由已知得 ,因为删除某个数据后,平均数没有变化,故方差为 , 得 .
7.已知 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】由 得 ，所以 ，
又由余弦定理 ,得 ,解得 或 ,
若 ,则 ,得 ,
又由 且 ,得 ,与 矛盾,
若 ,由余弦定理得 , ,所以 ,符合题意.
8.已知关于 的方程 有两个不等实根，则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】即方程 有两个不相等的实根,
令 ,则 ，
又因为 单调递增，所以 ，即 有两个不相等的实根，
令 ,求导得 在 单调递增,在 单调递减, 时 , 时 ,由图象得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知点 ， ， 为圆 上一点，则
A. 点 在圆 外 B. 的最大值为 6
C. D. 的最大值为 9
【答案】ABD
【解析】对于 ，所以 在圆 外， 正确；
对于 ， 正确；
对于 ,当 时, 错误;
对于 ,设 ,则 ,故 , ,所以 ,当且仅当 时取等，D 正确.
10.如图，圆锥 的轴截面为正三角形，底面圆 的半径为 ， 为圆 的两条直径，且 ,母线 与该圆锥的内切球 分别切于 两点,则
A. 圆锥 的体积为
B. 球 与圆锥 的公共点的轨迹的周长为
C. 异面直线 与 所成角为
D. 平面 截球 的截面面积为
【答案】ACD
【解析】对于 ,由已知得 ,所以 ,且 , 所以圆锥 的体积为 正确；
对于 ,公共点的轨迹是以 为直径的圆,因为 ,所以轨迹的周长为 错误;
对于 ,连 ,则 ,且 ,由 ,可得 平面 ,得 ,所以 为等腰直角三角形, 正确;
对于 ,设球 半径为 ,则 ,得 ,由 ,且 ，得 到平面 的距离为 ，所以平面 截球 的截面面积为 ， 正确.
11.已知函数 与 的部分图象如图所示, 为两曲线相邻的交点的横坐标,记 ,则
A.
B. 的最小正周期为
C. 若 在 上有 9 个零点,则
D.
【答案】ACD
【解析】对于 ， 若 ,则 ,得 ,所以 ,又 且 ,得 ,此时 ,符合题意; 若 ,则 ,得 ,所以 ,又 且 ，得 ，此时 ， 在其单调递减区间内，与图象不符,所以 ,最小正周期为 正确, 错误;
对于 ,由 得 ,所以 相邻两零点的距离为 ,因为 在 上有 9 个零点,所以 ,即 正确;
对于 ,由 ,得 ,又由 ,且 ,
得 ，所以 , D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式的第 3 项为________.
【答案】
【解析】 的展开式的第 3 项 .
13.已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 _______.
【答案】-144
【解析】由已知得 ,则 ,
当 时, ,
因为 为等比数列,所以 ,得 ,公比 ,故 .
14.已知双曲线 的右焦点为 为坐标原点， 为 的渐近线上一点， 且 在第一象限， 为 的左支上一点，若四边形 为菱形，则 的离心率为________.
【答案】
【解析】记双曲线的左焦点为 ，连 ，
由四边形 为菱形，则 ，易得 到渐近线的距离为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又由双曲线定义有 ,所以 ,得 ,所以 ,
故 的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意的 ，求 的取值范围 .
【解析】(1) 的定义域为 ,（2 分）
当 时, ; 当 时, , （4分）
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ; （6 分）
(2)由(1)知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ,（8 分）
由 ,所以 在 上的最大值为 .（11 分）
所以对任意的 ,故 的取值范围是 .（13 分）
16.如图，一张边长为 2 的正方形纸片 ， 为 的中点，现沿 将 折起至 ， 使得 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1) 由已知得 ,又 ,
所以 ,所以 , （3 分）
又 平面 ,所以 平面 ;（6 分）
(2)方法一:以 为原点， ， 为 轴， 轴，垂直于平面 的直线为 轴,建立空间直角坐标系.
由已知得 ,设 ,由 ,
得 ,解得 ,所以 ,（9 分）
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 ，不妨取 ，得 ，所以 ，（12分）
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（15 分）
【说明】若结果错误，但整个过程都完备，从错的步骤之后缀多给一半分。不同的建系方式同样处理:
方法二: 因为 平面 平面 ,所以 平面 , 因为 平面 ,所以 到平面 的距离 , （9 分）
取 中点 ，连 ，过 作 于 ，连 ，
则 ，
又 平面 ,所以 平面 ,所以 ,
因为 平面 , 所以 ,所以 ,所以 ,
因为 , 平面 ,所以 平面 ,
所以 . 所以 , （12 分）
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（15 分）
17.已知抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)设 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 两点( 在第一象限)，以 为直径的圆与 轴交于点 ( 在 的右侧),若 ,求 .
【解析】
(1) 设 上点 ,
则 到直线 的距离 .（2 分）
当 即 时, ,不符合题意;（4 分）
当 即 时， ，所以 ，得 ，故 的方程为 ；（6 分）
[说明] 没有讨论得出正确结果的，扣 2 分。
(2)方法一:焦点 ，显然直线 斜率不为 0，
设直线 的方程为 ，与抛物线联立得 ,
设 ,由韦达定理得 .（8 分）
因为 在以 为直径的圆上，所以 ，（10 分）
由 得 ,所以 ,整理得 .（12分）
即 ,得 或 ,
又因为 在 的右侧,所以 ,故 ,（14 分）
所以 .（15 分）
方法二: 因为 在以 为直径的圆上,所以 ,（8 分）
由 ，设 ，则 ，则 ，
记 的准线为 ,过点 作 于 ,则 ,
得 ,同理 ,（10 分）
在 中,由正弦定理得 , （12 分）
又 ，代入得 ，
整理得 ,得 (负根舍去),（14 分）
所以 .（15 分）
18.某商场举行回馈顾客的抽奖游戏. 箱子里有 10 张奖券, 其中 4 张 “金券”, 6 张 “银券”. 每张 “金券” 面值均为 100 元；每张 “银券” 面值不同，分别为 -10 元，-20 元，...，-60 元. 顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到 3 张 “金券” 时停止，不可中途退出游戏. 游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金. 现有一顾客参加了此次抽奖游戏.
(1)求游戏停止时该顾客共抽取 5 次的概率；
(2)求该顾客的奖金不低于 270 元的概率；
(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量 ，有 ， 求该顾客的奖金的期望.
【解析】(1)游戏停止时共抽取 5 次，即前四次抽到 2 金 2 银，且第五次抽到金券，
所求概率为 ; (另解: ) .（4 分）
(2)奖金不低于 270 元，则可能为 300 元，290 元，280 元，270 元.
①若奖金为 300 元，即连续抽到 3 次金券，其概率为 ;
②若奖金为 290 元，即前三次抽到两张金券和一张 -10 元银券，且第四次抽到金券，其概率为 (另解 )
③若奖金为 280 元，即前三次抽到两张金券和一张 -20 元银券，且第四次抽到金券，同 2) 知 ；
④若奖金为 270 元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张 -30 元银券，且第四次抽到金券，同 2) 知其概率为 ; 另一种情况是前四次抽到两张金券、一张 -10 元银券和一张 -20 元银券,且第五次抽到金券. 其概率为 ,所以 ; (另解 .（8 分）
综上所述，奖金不低于 270 元的概率为 ; 10 分
(3)方法一:记银券分别为 ，对应面值 -10 元， -20 元， ， -60 元.
记 .（12 分）
银券 与 4 张金券被抽到的先后次序是等可能的， 表示 在与 4 张金券一起排列时，排在了前三
个位置上，所以 ，（14 分）
所以 , （16 分）
因为奖金 .
所以 ,即奖金的期望为 174 元 .（17 分）
方法二: 记 为停止时抽到银券的张数,则 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,且 .
由已知得 ,
（16 分）
计算得 . 又因为 ,所以 ,
因为每张银券被抽到是等可能的,所以 ,
所以 ,即奖金的期望为 174 元.（17 分）
19.给定自然数 ,定义集合 . 对于 中的任意一个元素 ,定义集合 ,将 的元素个数称为 的 “逆对数”. 例如,若 中的一个元素 ,则 的“逆对数”为 2 .
(1)当 时,若 ， ，直接写出 ， ；
(2)记 为 中“逆对数”为 的元素个数.
(i) 求 与 的递推关系式;
(ii) 求 .
【解析】(1) ; （4 分）
(2) (i) 方案一:设 是 中 “逆对数” 为 1 的一个排列，且这两个数为 ， 若去掉 中最大的数 后仍有一个逆对数的排列，则 位于 之间或最后；
若去掉 后逆对数为 0,则 可能位于除最后的所有位置 .（6 分）
所以 ; （10 分）
方案二: 对 按 所在位置分类:
若 在末位,则当 的逆对数为 1 时, 的逆对数为 1 ; （6 分）
若 不在末位,设 ,则当 的逆对数为 1 时, 前面和后面的数都从小到大排列,共 个,逆对数个数 .（8 分）
综上， .（10 分）
【说明】若没有文字说明, 仅通过归纳得出结果, 扣 2 分.
(ii) 设 是 中 “逆对数” 为 2 的一个排列,且 ,
若去掉 中最大的数 后仍有两个逆对数的排列,则 位于 或 之间或最后;
若去掉 后逆对数为 1,且为 ,则 可能位于除最后与 之间的所有位置,
所以 ,（13 分）
由 (i) 知 ,
又 ,则 ,
所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 ,（15 分）
所以 ,所以 ,
所以 ,
又 ,则 ，
所以 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，
所以 ,所以 .（17 分）