2026年人教版八年级数学下册期末冲刺五《特殊的平行四边形—矩形》专项高分练习含答案

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、考查内容1：矩形的性质
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角互补
C．对边相等D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项．
【详解】解：选项A：对角相等
平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除．
选项B：对角互补
矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意．
选项C：对边相等
平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除．
选项D：对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除．
故选：B．
2．新考法数形
结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为S，周长和为C，则下列关于S和C的说法正确的是（ ）
A．S和C均为定值B．只有S为定值
C．只有C为定值D．S和C均不为定值
【答案】C
【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意．
根据题意，列出代数式逐个进行分析即可．
【详解】解：由题意可知，矩形公园的长、宽为定值，
如图，设矩形公园的长和宽分别为b，a，利用线段平移可知，两阴影部分的周长和，则C为定值，
设图中两阴影部分的面积分别为，长分别为m，n，则.将向下平移个单位长度后，两阴影部分的面积和．
∴只有当时，S为定值，
故选：C．
3．在矩形中，对角线，则矩形的面积为（ ）
A．48B．60C．80D．96
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理等知识 ，根据矩形的性质以及勾股定理求得的长是解题的关键．
利用矩形的对角线相等和勾股定理，求出另一条边的长度，再计算矩形面积．
【详解】解：∵ 在矩形中，对角线，
∴ 在中，，为斜边，
由勾股定理得：，即，
∴ 矩形面积．
故选A．
4．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质．
由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：矩形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
点为的中点，
．
5．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等．
根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，故C符合题意，
而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意
故选：C．
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．4D．8
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线的性质是解题的关键．
根据，是矩形的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则，根据矩形对角线互相平分的性质证得，进而求得阴影部分的面积等于即可．
【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O，
∴、，
，
在和中，
，
，
，是矩形的对角线，
，
阴影部分面积为：．
故选：A．
7．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到．
【详解】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴，
故选：D．
8．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对于本题，重点掌握直角三角形斜边中线逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
先由直角三角形斜边中线逆定理得到，再根据等边三角形的判定得到为等边三角形，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：是的中点，
，
是直角三角形，且，为等边三角形，
，
．
，
∴，
．
9．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ）
A．24B．12C．17D．22
【答案】D
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵点P，Q分别为，的中点，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴四边形的周长为．
10．如图，在中，，，且两锐角之差是，取中点D，连结，则________ ．
【答案】/78度
【分析】利用“两锐角互余”及直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解．
【详解】解：，
，
，且两锐角之差是，
，
，
，D为的中点，
，
，
．
11．如图，在中，，作斜边的中线，得到第一个三角形；于点E，作斜边的中线，得到第二个三角形；依此作下去…，则第3个三角形的面积等于________．
【答案】
【分析】先根据直角三角形的性质说明是等边三角形，再求出第三个等边三角形的边长，然后根据勾股定理求出，最后根据得出答案．
【详解】解：如图，设第3个三角形为，
∵，是斜边上的中线，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
同理可知，被分成的第二个，第三个三角形都是等边三角形，
∵是斜边上的中线，是斜边上的中线，
∴第一个等边三角形的边长为；
第二个等边三角形的边长为；
第三个等边三角形的边长为，
即．
过点N作于G，则，
根据勾股定理得，
∴，
所以第3个三角形的面积等于．
12．如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】47
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，根据图形可得1个长加上3个宽等于13，一个长加上一个宽等于9，据此建立方程组求解，再求得每块长方形瓷砖的面积后即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴图中每块长方形瓷砖的面积为，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：47．
13．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．
取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值．
【详解】解：取中点，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，取得最小值为，
故答案为：．
14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图．
(1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等．
(2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
（1）取上的格点，得到，利用等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可确定一点P，使点P到边的距离相等；
（2）根据三角形的中线平分的面积，利用矩形的性质确定边的中点Q即可．
【详解】（1）解：如图①中，点即为所求，
∵，
∴由图可得平分，
∴点P到，的距离相等．
（2）解：如图②中，点Q即为所求，
由图可得点Q是的中点，
∴是的中线，
∴．
二、考查内容2：矩形的判定
15．测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否互相平分D．测量对角线是否相等
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定方法，根据矩形判定定理逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、根据三个角是直角的四边形是矩形，可以判定为矩形，原选项符合题意；
、测量两组对边是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意；
、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，不可以判定为矩形，原选项不符合题意；
、测量对角线是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意；
故选：．
16．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得．
【详解】解：A、，
∵四边形是平行四边形，对角线相交于，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形，
故A能判定，该选项不符合题意；
B、，
∴平行四边形为矩形，
故B能判定，该选项不符合题意；
C、
∴是直角三角形， ，
∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意；
D、添加， 不能判定或，
∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意．
故选： D．
17．四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形．
【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意；
B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意；
D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意．
故选：D．
18．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（ ）
A．15B．10C．D．5
【答案】D
【分析】先证明，根据平行四边形的性质，得，再证明，得到矩形，解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，M是边的中点，
∴，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵的周长为30，
∴，
解得，
故选：D．
19．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°
20．如图，在中，于D，交于E，交于F，点O在内，且到，，，的距离都相等，若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点O分别作、、、的垂线，垂足为、、、，连接并延长，交于点，连接，由题意可得，．根据三角形内角和定理，可以计算出，结合题干，容易证明出，，运用全等三角形的性质可以得出，进一步证明．通过等量代换可以得到，则可以证明，因此．
【详解】解：如图，过点O分别作、、、的垂线，垂足为、、、，连接并延长，交于点，连接，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理，四边形也是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，矩形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
21．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A．60B．30C．90D．96
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵为直角，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，则，
∴四边形的面积为．
故选：A．
22．如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（ ）
A．2.5B．C．D．3
【答案】D
【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵对角线分得到的两个角的度数之比是，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．如图，在中，，，点D是直角边上的一点且满足，在过点D且垂直于的射线上取点E使得，连接，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、整式加减的应用；
先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，从而可得，于是有，再证明，从而可得，，然后证明，从而可得，再求出的周长．
【详解】解：在上方作，交的延长线于点N，作，交的延长线于点M，
则，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又，，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故选：A．
24．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
25．如图，四边形中，，，，．点F为的中点，则的长度为________．
【答案】
【分析】连接并延长交的延长线于，过点作于，先证四边形为矩形得，，则，进而得，再证得，，，由此得，据此可证和全等，由此可得的长．
【详解】解：连接并延长交的延长线于，过点作于，如图所示：
，，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
，
，，
在和中，
，，，
（），
，，
，
，
，
，
在和中，
，，，
（），
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
26．如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形．
【答案】2.4或4或7.2
【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动．
四边形是矩形，
，．
．
若，则四边形是矩形．
根据题意，得．
当时，，
∴，
解得．
当时，，
∴，
解得．当时，，
，
解得．
当时，，
，
解得，此时无法构成矩形，故舍去．
综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形．
故答案为：2.4或4或7.2．
【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论．
27．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接．
(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键，
（1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得；
（2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
28．如图，在中，是高线，是中线，，于点G．
(1)求证：G是的中点．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质：
（1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴G是的中点．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
29．如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足 ．
(1)如图1，若C的坐标为 且于点H，交于点P，试求点P的坐标；
(2)在（1）条件下， 如图2，连接，求证：；
(3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作 交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变? 如发生改变，求出该式子的值的变化范围：若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后证明，得出，从而得出点P的坐标；
（2）过O分别作于M点，作于N点，证明，得出，再根据角平分线判定定理即可得出平分，从而求出；
（3）连接，证明，从而有，由此可得；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵C的坐标为，
∴，
∴；
（2）证明：过O分别作于M点，作于N点，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴；
（3）解：的值不发生改变，等于4，理由如下：
如图：连接，
∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了全等三角形综合．熟练掌握算术平方根及完全平方式的非负性，全等三角形综合的判定与性质，角平分线的判定和性质，矩形的判定和性质，等积变换，是解决本题的关键．