安徽省十联考2026届高三最后一卷数学试题解析版

这是一份安徽省十联考2026届高三最后一卷数学试题解析版，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若 是 -1,5 的等差中项,2 是 的等比中项,则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】由题意知 ，所以 ，所以 .
2. Tken 是 AI 大模型处理信息的最小单元, 2026 年 3 月国家数据局正式确定 Tken 的中文译名为“词元”，已知 2024 年- 2029 年中国“词元”调用数量及预测调用数量(单位:百万亿次) 依次为 9,246,1117,2875,8509,25033,则这组数据的 75% 分位数为
A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771
【答案】C
【解析】因为 ,所以这组数据的 75% 分位数是按从小到大排列后的第 5 个数 8509.
3.已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
A. B. C. (-2,2) D.
【答案】D
【解析】由 ，得 ，所以 或 ，所以若 ， 的取值范围为 .
4.已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为 ,球的半径为 ,由圆锥与球的表面积相等,得 ,所以 , 圆锥的高为 ,所以圆锥的体积与球的体积的比为 .
5.不共线的两个单位向量 满足 ,若 ,则实数 的值为
A. B. C. 或 -1 D. 或 1
【答案】A
【解析】因为 为单位向量, ,两边平方得 ,解得 或 ,当 时, ,所以 ,所以 共线,不满足题意; 当 时,由 ,得 ,所以 .
6.若双曲线 的两条渐近线与圆 共有 3 个公共点,则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 、半径为 2,所以 的渐近线 与圆相交,渐近线 与圆相切,所以 ,解得 ,此时 ,所以 的离心率为 .
7.一盒子中装有 6 个编号分别为 1,2,3,4,5,6 的小球 (小球的其余特征完全一致). 从中有放回地随机取球 2 次,每次取 1 个小球. 记“第 1 次取出的小球的编号为 1 ”为事件 ，“第 2 次取出的小球的编号为 1 ”为事件 ，“两次取出的小球的编号之和为 5”为事件 ，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件 ，则
A. 事件 与事件 互斥B. 事件 与事件 相互独立
C. 事件 与事件 相互独立D.
【答案】C
【解析】由题意知,事件 与事件 可以同时发生,故二者不互斥,故 错误;
,
所以 ,故事件 和事件 不相互独立,事件 与事件 相互独立;
又 ,故 D 错误.
8.已知函数 ,若对 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数 的定义域为 ,所以 为偶函数.
又 ,令 ,则 .
因为 ,所以 ,所以 在 上单调递增.
又 ,所以当 时, ,即 在 上单调递增.
又函数 为偶函数,所以 在 上单调递减，
所以不等式 可化为 .
又 ，所以 ，即 ,
由 ,得 ,即 ; 由 ,得 , 即 .
综上， .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 ,则
A. 当 时,
B. 当 为纯虚数时,
C. 在复平面内对应的点恒在直线 上
D. 当 时,
【答案】BC
【解析】对于 A，当 时， ， ，A 错误；
对于 B，由 及 为纯虚数,得 正确;
对于 在复平面内对应的点为 ,恒在直线 上, 正确;
对于 ,当 时, 错误.
10.已知点 是抛物线 上的动点, 为 的焦点, 为 的准线,过 且与 相切的直线交 于点 ,则
A. 的最小值为 2
B. 的最小值为 -2
C. 的最小值为 2
D. 以 为直径的圆恒过点
【答案】ACD
【解析】对于 A,点 到直线 的距离 , 当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 2, A 正确;
表示过点 和点 的直线的斜率,当斜率最小时直线与 相切,
设切线方程为 ,与 联立,得 ,
由 ,得 ,所以 的最小值为 , B 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,
其几何意义是点 到点 与到 轴的距离之和,
由抛物线定义,得当 和焦点 三点共线时,距离和最小,其最小值为 2, C正确;
对于 ,过 作 的垂线,垂足为 ,由抛物线光学性质得 的反射光线平行于 轴,
即直线 与直线 关于 对称,故 ,
由抛物线定义知 ,又 为公共边,所以 ,所以 ,
即 ,故点 在以 为直径的圆上,所以 为直径的圆恒过点 ,故 正确.
11.已知 是定义域为 ,最小正周期为 的函数,我们把 称为 的叠加函数，则
A. 的叠加函数是最小正周期为 的周期函数
B. 当 时, 的值域为
C. 当 时方程 在 上有 25 个实根
D. 当 时方程 在 有实根的充要条件为
【答案】BCD
【解析】对于 ,取 ,则 为 的一个正周期, 错误;
对于 ,当 时 , B正确;
对于 ,当 时, ,当 Z 时,
由 ,得 或 的最小正周期为 ,
方程 在 的实根有 ,共 4 个,
所以方程 在 的实根有 24 个,在 的实根有 25 个, 正确;
对于 ,当 时, ,
当 时, ,
所以方程 在 上有实根的充要条件是 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某旅游博主准备从安徽省的 5 个国家全域旅游示范区与 10 个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选 4 个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选 3 个，则选取方法种数为________.
【答案】105
【解析】选取方法种数为 .
13.写出一个满足下列条件的函数 的解析式:_____.
① ；
②对任意正数 ；
③ ;
④ .
【答案】 (答案不唯一)
【解析】条件①表明函数为偶函数;
条件②表明函数为 上的单调递增函数;
条件③表明函数图象上任意两点连接的弦在函数图象下方;
条件④表明函数的运算特征. 在学过的函数中,底数大于 1 的对数函数具有类似于②③④的特征，
但单纯的对数函数不具有奇偶性，故 可以是由对数函数构造的一类函数,
比如 ,或 等都符合条件 .
14.已知等差数列 的前 项和为 ,数列 满足 ,则 最小时 的值为________.
【答案】9
【解析】由 ,
得 ,因为 ,所以 ,
所以当 时, ,当 时, ,
所以当 时, ,
当 时, ,且 ,
所以 的值最小时 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若点 为 的中点， ， ，求 的面积 .
【解析】(1) 由 及正弦定理,得 ,
所以 ,即 .
因为 ,所以 ,
所以 .
(2)在 中，由余弦定理，得 ,
在 中,由余弦定理,得 ,
因为 ，所以 ，
整理得 ,
在 中,由余弦定理,得 ,即 .
所以 .
又 ,所以 ,
所以 .
16.如图，在正三棱柱 中，点 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若点 满足 ，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:连接 交 于 ，则 为 中点，
连接 ,因为 为 中点,所以 ,
平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)解:取 中点 ，在正三棱柱 中， ， ， 两两垂直， 故以点 为原点,直线 分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ,则 , ,
所以 ,
所以 ,
因为 平面 ,所以 ,
所以 ,又 ,所以 .
所以 ,由题意知 为平面 的一个法向量,
又 ,所以 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则 .
17.已知函数 .
(1)若 ，判断 的单调性；
(2)若 ，证明: .
【解析】
(1)解:当 时， ，其定义域为 ，

因为 在 上单调递增, ,
所以 在 上单调递增,又 ,
所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)证明:因为 ，所以其定义域为 ，
且 ,显然 在 上单调递增,
且 ,
所以存在 ,使得 ,即 ,即 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 .
设 ,则 ,
所以 在 上单调递减,
所以 ,
所以 .
18.为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性,科研团队进行了一项模拟测试. 测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号. 已知该区域有 个相互独立的瞬时强干扰源,每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为 . 当 个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生 次随机误差,反之亦然. 设 为该时段内被激活的干扰源数量.
(1)若 ，且某个时段至少发生了 2 次信号误差，求该时段内恰好发生 2 次信号误差的概率;
(2)若 ，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试:①某个时段内被激活的干扰源为 3 个；②连续 3 个时段内被激活的干扰源数量都是 2 个，求连续测试 3 个时段后停止测试的概率；
(3)在测试中每次信号误差会产生一个误差值. 记 为单个干扰源激活时所产生的信号误差值,且 的分布列为 ,定义该时段内信号误差值 为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和. 若 ,求 的分布列与期望.
【解析】(1)记“该时段内恰好发生 2 次信号误差”为事件 ，“该时段至少发生了 2 次信号误差”为事件 ，由题知 ,
,
故所求概率为 .
(2)每个时段内干扰源仅有 2 个被激活的概率为 ,
3 个全被激活的概率为 .
连续测试 3 个时段后停止测试有 2 种情况:
① 前 3 个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是 2 个，概率为 ,
②第 3 个时段测试被激活的干扰源数量为 3 个，第 1 个测试时段与第 2 个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量不超过 3 个，概率为 ,
故所求概率为 .
(3)因为 的分布列为 的所有可能取值为2,4,8，
所以 ,所以 ,
所以 ,
的所有可能取值为4,6,8,10,12,16.
所以 的分布列为
.
19.已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 分别为 的左、右焦点，点 是 上的动点, 的最大值为 3 .
(1)求 的方程；
(2)若点 在第一象限， 轴,过点 斜率之和为 0 的两条直线分别与 交于另外一点 ， ，证明:直线 的斜率为定值；
(3)过 的直线与 交于点 ， ，点 在直线 上的射影为 ，若直线 与曲线 从上到下依次交于不同三点 ,判断点 是否恒关于点 对称,并给出证明.
【解析】(1)解: 设 ，则 ，
由 的离心率为 ,得 ,
所以 的方程为 ,
设 ,则 ,
所以

所以 ,故 的方程为 .
(2)证明: 易得 ,设 ,直线 的方程为 ,
由 得 ,
,即
所以 ,
直线 的方程为 ,同理可得 ,
所以直线 的斜率为 ,为定值.
(3)解: 关于 对称，证明如下:
设 ,则 ,由 (1) 知 ,
设直线 的方程为 ,与 联立得 ,
所以 ,
直线 的方程为 ,
令 ,得 ,
所以点 恒在直线 上,曲线 也经过点 .
设 是曲线 上任意一点,则 ,
点 关于 的对称点为 ,
因为 ,所以点 也在曲线 上,
所以曲线 关于点 对称,记 ,
又过点 的直线与曲线 最多有 3 个公共点,当有 3 个公共点时,记另外 2 个公共点分别为 ,则 关于 对称 .4
6
8
10
12
16