四川绵阳中学2026年高三高考适应性考试(—)数学试卷

这是一份四川绵阳中学2026年高三高考适应性考试(—)数学试卷，共2页。试卷主要包含了选择题，解答题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
命题“x  R , x>x2”的否定是（ ）
A． x  R , x  x2
B． x  R , x  x2
C． x  R , x  x2
D． x  R , x  x2
若(1  2ai)i  1  bi ，其中a,b R ，则 a bi  （）
5
A． 1B．
2
C． 5
2
D． 5
4
若直线l 的一个方向向量为(3, 3) ，则它的倾斜角为（）
A． B． C． 2D． 5
6336
在等比数列{an } 中， a2  1 ， a6  4 ，则 a4 等于（）
A． 5
2
B．2C． 2
 1 , x  0
D． 2

已知函数 f (x)   x的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是（）
2x  a, x  0
a  0
a⛩1
a  0
a•1
已知函数 y  f (x) 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y  f (x) 的图象如图所示，则该函数的图象是（）
ABCD
2 2
(0, )
已知, ，且sin( ) ， tantan 1 ，则cs( )  （）
2
1
5
3
 1
3
4
 5
9
5
9
已知关于 x 的不等式 elnmxx  2  x 
e3  2
(1,)
3
2 有且仅有 3 个整数解，则实数 m 的取值范围为（）
ex
e3  2
(1,]
3
e3  2 e4  1
e3  2 e4  1
(,)
32
(,]
32
二．多选题（本题共 3 题，每题 6 分，共 18 分.全对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
设 A ， B 是一个随机试验中的两个事件，且 P( A)  1 ， P(B)  2 ， P( A  B)  5 ，则（）
236
A． A ， B 是相互独立事件B．事件 A ， B 互斥
C． P( A  B)  P (B)D． P(B | A)  P( A | B)
已知曲线C : x2  y2 cs 1，[0 ，] ，则下列结论正确的是（）
曲线C 可能是圆，不可能是直线
曲线C 可能是焦点在 y 轴上的椭圆
当曲线C 表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
2
当曲线C 表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
3
已知定点 A ， B ，C 平面，△ ABC 是边长为 4
离是 1，则下列说法正确的是（）
三棱锥 A  BCP 的体积为定值
点C 到平面 PAB 的距离的最大值是 6
的等边三角形，若动点 P 到平面的距
当点Q （异于点 P) 到平面的距离是 1 时， PQ / /
若 A ， B ， C ， P 在一个半径为 5 的球O 的球面上，则 P 的轨迹长度是 2(3 
三．填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为 1 的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为 ．
21)
已知函数 f (x)  ax2  lnx 在区间[1 ，2] 上存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是．
在ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a cs B  b cs A  c  b ，则角 A  ，
––→
若 I 为ABC 的内心，且
3 ––→––→ ，则．
AIIB  IC
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， BAC  120 ， AD 为BAC 的角平分线，且 AD  2 ．
若sin B  2 sin C ，求 a 的大小；
设 M 为 BC 中点，连接 AM ，△ ABC 面积取得最小值时，求线段 AM 的长度．
16．（本小题满分 15 分）
已知 f (x)  x sin x  a cs x ， x 是函数 g(x)  f (x) 的极小值点．
求实数 a 的值；
讨论函数 f (x) 在区间(2, 2) 内的零点个数．
17．（本小题满分 15 分）
为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联 系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到 200 名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图 1 所示.若认为成绩不低于 120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图 2 所示，已知样本中高三年级有 15 位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占 80%.
求 a 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
根据样本数据完成下方 2  2 列联表，依据小概率值a 0.001 的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附：. x2
n(ad  bc)2
(a  b)(c  d )(a  c)(b  d )
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18．（本小题满分 17 分）
2
已知△ ABC 为等腰直角三角形，B  90, AB  BC  4
–––→3 –––→
，点 E 满足
AE AC, DE
4
 AC, DE  4 ，
点 D ， B 在直线 AC 异侧．将△ DAC 绕直线 AC 向上旋转至△ SAC ，点 F 为 BC 的中点．
证明： FS  AC ；
13
若 SB  2，点G 在三棱锥的表面上恒有 BG  AC ，试求G 的轨迹长度；
13
在△ DAC 绕直线 AC 旋转至 SB  2
SEB 所成角的余弦值的取值范围．
19. （本小题满分 17 分）
的过程中， K 为 SB 的中点，试求平面 AKC 与平面
已知一簇双曲线 E : x2  y2  n(n  N* ) 当 n  1 时，双曲线 E 右顶点为 A (x ， 0) ，现按照如下规
n11 1
则依次构造点 A (n  N* ，n⛩2) ：过点 A作 x 轴的垂线交第一象限的渐近线于点Q ，再过点Q
nn 1nn
作 x 轴的平行线与曲线 E 的右支交于点 A ，记点 A 坐标为(x , y )(n  N* ) ．
n
求点 A2 的坐标；
nnnn
–––––→ –––––→
111
双曲线 En 的左焦点为 Fn ，右焦点为Gn ，记 An Fn  AnGn  an ，求 a  a
 
a
的值；
3420
设 为射线OA 与 x 轴正半轴的夹角，已知 0 ，存在实数，使得对任意 m  N * ，不等
nn
式cs( m)  2 sin (n  N *, n  2) 均成立，求的最小值．
4n
一、单选题
绵阳中学 2023 级高考适应性考试（一）
数学答案
二、多选题
三、填空题
1
12：813： (, )14： ； 2 3
833
四、解答题
解：（1）根据sin B  2 sin C ，由正弦定理得b  2c ，
因为BAC  120 ， BAC 的角平分线交 BC 于点 D ，所以BAD  CAD  60 ，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
B
B
A
D
D
题号
9
10
11
答案
AC
BD
ABD
由 S ABC
 S ADB
SCDA
，可得 1 bc sin BAC  1 c  AD sin BAD  1 b  AD sin CAD ，
222
即 1  2b sin 60  1  2c sin 60  1 bc sin120 ，化简得bc  2c  2b ，解得b  6 ， c  3 ，
222
在△ ABC 中，由余弦定理得 a2  b2  c2  2bc cs120  36  9  2  3  6  ( 1 )  63 ，
2
63
所以 a  3 7 （舍负）；
（2）由 S
 ABC
 S ADB
SCDA
，得 1 bc sin BAC  1 c  AD sin BAD  1 b  AD sin CAD ，
222
即 1  2b sin 60  1  2c sin 60  1 bc sin120 ，化简得bc  2b  2c ，
bc
bc
222
4bc
根据 2b  2c  2
 4
，可得bc  4
，解得bc16 ，
当且仅当b  c  4 时等号成立，
当bc 取得最小值时，△ ABC 的面积取得最小值，此时△ ABC 为等腰三角形， M 为 BC 中点，
即 AM 既是中线也是角平分线，可得 D 、 M 重合，故 AM  AD  2 ．
解：（1）由已知得： g(x)  f (x)  sin x  x cs x  a sin x ，所以 g(x)  2 cs x  x sin x  a cs x ，因为 x  是函数 g (x) 的极小值点，所以 g()  2  a  0 ，解得 a  2 ，
当 a  2 时， g(x)  x sin x ， g(x)  0  (0 ，) ， g(x)  0  (， 2) ，符合题意，故 a  2 ．
（2）因为 f (x)  x sin x  2 cs x 为偶函数，故只需研究 x [0 ， 2) 的情形，
由（1）知 g(x)  x cs x  sin x ， g(x)  x sin x ， g(x)  0  x (0 ，) ， f (x) 单调递减；
g(x)  0  x (， 2) ， f (x) 单调递增，因为 f (0)  0 ， f ()  ， f (2)  2， 所以存在 x1  (, 2) ，使得 f (x1 )  0 ；
当 x (0, x1) 时， f (x)  0 ， f (x) 单调递减；当 x  (x1 ， 2) 时， f (x)  0 ， f (x) 单调递增；
因为 f (0)  2 ， f ()  0 ， f (2)  0 ，故存在 x2 (0,) ， x3  (, 2) ，使得 f (x2 )  f (x3 )  0 ； 由对称性可知，函数 f (x) 在区间(2, 2) 内的零点个数为 4．
解：（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为 ，组距为，
因此： ，解得：
下四分位数即第 百分位数，计算累计频率
频率 ，累计 ； 频率 ，累计 ； 频率 ，累计 ； 频率 ，累计 。 ，因此第 百分位数在区间内，
计算得：
（2）零假设 ：认真完成作业与成绩无关
，因为 ，
依据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关，该判断出错概率不超过 0.001，
2
AE AC
解：（ 1 ） 证明： 取 AC 的中点 O ， 连接 OB ， EF ， 因为△ ABC 为等腰直角三角形，
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
B  90, AB  BC  4
，所以OB  AC ， AC  8 ，由–––→  3 –––→ ，得 AE  6 ， EC  2 ，
4
则 E 为OC 的中点，又 F 为 BC 的中点，所以 EF / /OB ， EF  AC ，又 DE  AC ，则 SE  AC ，因为 SE∩ EF  E ，SE ，EF  平面 SEF ，所以 AC  平面 SEF ，又 FS  平面 SEF ，所以 FS  AC ．
由（1）知，AC  平面 SEF ，而 BG  AC ，则点G 必定在平面 SEF 的平行平面内，取点 M ，
AMAS
使得––––→  2 –––→ ，连接OM ，BM ，因为 AO  2 AE ，则OM / / SE ，因为OM  平面 SEF ，SE 
33
平面 SEF ，所以OM / / 平面 SEF ，又 EF / /OB ， EF  平面 SEF ，OB  平面 SEF ，所以 OB / /平面 SEF ，因为OM ∩OB ， OM ， OB  平面 MOB ，所以平面 MOB / / 平面 SEF ，因此点G 的轨迹为线段OB ，OM ，MB（不包括点 B) 组成，因为 BC  4 2 ，SB  2 13 ，SE  4 ，EC  2 ，
则 SC  2
，所以 SC 2  BC 2  SB2 ，则 SC  BC ，而OB  1 AC  4, MO  2 SE  8 ，
5
233
以O 为原点，以OB ， OC 所在直线为 x ， y 轴，以垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0 ，4 ，0) ，C(0 ，4，0) ，B(4 ，0，0) ，E(0 ，2，0) ，S (4 cs，2，4sin) ，
其中为平面 DAC 绕直线 AC 向上旋转至平面 SAC 的旋转角，
–––→–––→–––→
则 SC  (4 cs, 2, 4sin),CB  (4, 4, 0), AB  (4, 4, 0) ，因为 SC  BC ，
SC CB
所以–––→  –––→  16 cs 8  0 ，则cs 1 ，即  ，则 S (2, 2, 2 3) ，
–––→
––––→
2 –––→
23
44 3
所以 AS  (2, 6, 2 3) ，则 AM  AS  ( , 4,) ，
333
–––→–––→––––→
164 3
–––→
16 2
4 3 2
4 19
所以 MB  AB  AM  (, 0,) ，则| MB | ()  () ，
33333
则点G 的轨迹长度为OB  MO  MB  4  8  4 19  20  4 19 ．
333
由（2）及题意知，S (4 cs，2，4sin) ，且平面 DAC 绕直线 AC 向上旋转至平面 SAC 时
  ，则 0  ，而 B(4 ，0， 0) ，则 K (2  2 cs，1， 2sin) ，
33
–––→–––→–––→–––→
而 AC  (0,8, 0), AK  (2  2 cs, 5, 2sin), ES  (4 cs, 0, 4sin), EB  (4,  2, 0) ，
m
设平面 AKC 的一个法向量为 →  (x, y, z) ，
 →–––→ → –––→
m  ACm  AC  8 y  0→
则 →
–––→ ，则  →
–––→
，取 x  sin，得 m  (sin, 0, 1  cs) ，
m  AKm  AK  (2  2 cs)x  5 y  (2 sin)z  0
 →–––→ → –––→
设平面 SEB 的一个法向量为 →  (x , y , z ) ，则m  ES ，则m  ES  (4 cs)x1  (4 sin)z1  0 ，
n1 1 1
 →–––→ → –––→
m  EBm  EB  4x1  2 y1  0
n
→
取 x1  sin，得  (sin, 2sin, cs) ，设平面 AKC 与平面 SEB 所成角为，
m, n
则cs| cs → → |
→ →


| m n |

→→
1  cs
2  5  4cs2
1  cs
5  4cs2
| m | | n |
| sin 2 cs(1  cs) |
sin2 (1  cs)2  sin2 4sin2 cs2
1  cs
2 
，令t  1  cs， 0  t  1 ，
t
1  4t2  8t
2  2 cs
5  4cs2
22
则cs
2 
2 
2 
，因为函数 y  1  4t 在1 上单
t
5  4(1  t)2
2
2
2
(0, ]
t2
1
t
1  4t  8
1
t
1  4t  8
调递减，则1  4t  0 ，即1  4t  8  8 ，则0 1 1 ，所以0  2  1 ，则平面
tt1  4t  8824
t
(0, ]
AKC 与平面 SEB 所成角的余弦值的取值范围为1 ．
4
E
解：（1）由题意，双曲线的第一象限渐近线为 y  x ，
n
当 n  1 时，双曲线 E : x2  y2  1的右顶点为 A (1, 0) ，
11
过点 A1 作 x 轴的垂线，交渐近线 y  x 于点Q2 ，故Q2 (1,1) ，
再过点Q 作 x 轴的平行线，与双曲线 E : x2  y2  2 的右支交于点 A ；
222
故点 A 的纵坐标为 y  1 ，代入双曲线方程，得 x2 1  2 ，所以 x2  3 ，
2222
3
因为点 A2 在右支上，所以 x2  0 ，故 x2 ，因此 A2 ( 3,1) ；
由构造知，过点 An1 (xn1 ，yn1 ) 作 x 轴的垂线，与渐近线 y  x 交于点Qn ，所以Qn (xn1 ，xn1 ) ，再过点Qn 作 x 轴的平行线与双曲线 En 的右支交于点 An ，故 yn  xn1 ，
又因为点 A 在双曲线 E : x2  y2  n 上，所以 x2  y2  n ，
nnnn
代入 y  x，得 x2  x2  n ，于是 x2  x2  n ，
nn1
nn1
nn1
n(n  1)
2
由 x  1 ，递推可得 x2  1  2  3   n  n(n  1) ，所以 x ，
1
又 y  x
n
n(n 1)
2
，故 A (
n(n  1) ,
2n
n(n  1) ) ，
nn 1
n22
n
对于双曲线 E : x2  y2  n ，有 a2  n ， b2  n ，从而c2  a2  b2  2n ，
所以左、右焦点分别为 Fn (
–––––→
2n, 0) ， Gn ( 2n, 0) ，
–––––→
2n
2n
于是 An Fn  ( xn ,  yn ) ， AnGn  (
–––––→ –––––→
 xn ,  yn ) ，
2n
2n
因此 a  A F  A G  ( x )( x )  y 2  x 2  y 2  2n ，
nn nn nnnnnn
由 x2  n(n  1) , y2  n(n  1) ，得 x2  y2  n2 ，所以 a  n2  2n  n(n  2) ，
n2n2nnn
20 120
11 20
111111531
于是 a
  n(n  2)  2 ( n 
 )  (1  
2
) ，
760
n3 n
n3
n32n
21920
故所求值为 531 ；
760
由第（2）问可知 A (
n(n  1) ,
n(n  1) ) ，
n22
x2  y2
nn
因为 a 为射线OA 与 x 轴正半轴的夹角，所以sin 
yn，
nnn
1n(n  1)
n2
又由第（2）问知 x2  y2  n2 ，故sin 
n  1 ，
nnn2n
于是 2 sinn 
n  1 ，因为 n2 ，所以
n
2 ，且当 n  2 时取等号，
n  1
n
1
2
2
所以原条件等价于存在实数，使得对任意 m  N * ，都有cs( m) 2 ，
42
设  0 ，则上式化为对任意 m  N * ，都有cs(m) 2 ，
42
2
(,)
由三角函数性质可知cs x ，当且仅当 m(md 2)   7 ，
244
设   p ， ( p, q)  1 ，则 m(md 2) 只取 q 个等分点：
2q
，
， 2 ， 4 ，  ， (2q 1)，这些点都要落在开弧 , 7
()
qqq44
该开弧长度为 7    3，
442
若 q 个等分点能全部落在长度 3 的开弧中，
2

必须有 2 2  3 2 
q  4 ，故 q3 ，
q2q2
, ]
若  不是有理数，则 m(md 2) 后的点会进闭弧[  ，不合条件，

24 4
因此必有 q3 ，为了使最小，取 q  3 ， p  1 ．此时 2，
3
  
当 2， 时，有 m
2m ，
3333
当 m  1，2， 0(md 3) 时，分别为，, 5 ，对应余弦值分别为 1 ， 1 ， 1 均小于 2 ，
33
因此，的最小值为4 8 ．
3
222