2026年广东省深圳市初中学业水平数学考试适应性考试（一）

这是一份2026年广东省深圳市初中学业水平数学考试适应性考试（一），共8页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）文房四宝指笔、墨、纸、砚四类书画必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台示意图，从上面看它所得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）不透明的袋子中装有两个黄球和一个红球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ）
A．29B．13C．49D．23
3．（3分）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝15°，则∠BOD为（ ）
A．115°B．105°C．75°D．95°
4．（3分）不等式组3x+1≥49−x＞2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣5，4）C．(−5，21)D．（﹣5，3）
6．（3分）如图，点A（﹣3，a）在反比例函数y=−6x的图象上，点B的坐标是（﹣3，0），点C的坐标是（0，b），则△ABC的面积是（ ）
A．30B．3C．60D．6
7．（3分）若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则(mm−1−2)÷mm2−1的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
8．（3分）如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，AD与CE交于M点，延长CD交EF于N点，再连接NG，AE，DG，若A，B，E共线，A，D，G共线，M为CE中点，S△AME＝2，则△DNG的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ ．
10．（3分）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是 ．（保留π）
11．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数y=kx的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ．
12．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝AC＝12，∠ADC＝α，点E为线段BA上一点，AE＝3，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与线段CA交于点G．则HG的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（7分）先化简，再求值：当a=2−1时，求代数式（a−aa+1）÷a2−2aa2−4的值．
15．（9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按3：3：4的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算芳芳的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
16．（9分）如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米．
（1）飞机A在机场北偏东30°方向，距离是 千米；
（2）飞机B在机场 °方向，距离是40千米；
（3）飞机C在机场南偏东60°，距离是50千米，请在平面上标出C的位置．
17．（9分）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“MOSS”两种产品共100件，需购买价格为30元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“MOSS”需A种材料3千克，B种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过15000元，且生产“MOSS”不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“MOSS”需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
18．（9分）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C的对应点分别是点（A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若∠A＝70°，求∠D的度数．
19．（9分）已知，点B在线段CE上．
【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，求证：△ACB∽△AED；
【拓展】（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED；
【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，求△ABD与△BDE的面积比．
20．（9分）基础运用
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个动点，且不与点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处，点N不与点B重合．
①求证：MB＝MD；
②求证：BN=2AM．
创新探究
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个动点，且不与点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC延长线上的点N处．求证：AM＝CN．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）文房四宝指笔、墨、纸、砚四类书画必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台示意图，从上面看它所得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从上边看得到的图形即可解答．
【解答】解：从上面看它所得到的平面图形是．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．
2．（3分）不透明的袋子中装有两个黄球和一个红球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ）
A．29B．13C．49D．23
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的结果有4种，
∴两次都摸到黄球的概率为49．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
3．（3分）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝15°，则∠BOD为（ ）
A．115°B．105°C．75°D．95°
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据∠COE＝90°，∠COD＝15°，求得∠DOE＝75°，再根据OD平分∠AOE，得出∠AOD＝∠DOE＝75°，最后得出∠BOD＝180°﹣∠AOD＝105°．
【解答】解：∵∠COE＝90°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝90°﹣15°＝75°，
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠DOE＝75°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝105°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得∠AOD的度数，再根据邻补角进行计算．
4．（3分）不等式组3x+1≥49−x＞2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x+1≥4，得：x≥1，
由9﹣x＞2x，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣5，4）C．(−5，21)D．（﹣5，3）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】首先求出BC＝5，然后根据勾股定理求出DO=52−22=21，进而求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴BC＝CD＝2﹣（﹣3）＝5，OC＝2，
∴DO=52−22=21，
所以点A的坐标是(−5，21)．
故选：C．
【点评】此题考查了坐标与图形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（3分）如图，点A（﹣3，a）在反比例函数y=−6x的图象上，点B的坐标是（﹣3，0），点C的坐标是（0，b），则△ABC的面积是（ ）
A．30B．3C．60D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数k值几何意义进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AO，
∵点A（﹣3，a）点B（﹣3，0），
∴AB∥y轴，
∴S△ABC＝S△AOB=12×6=3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值几何意义是关键．
7．（3分）若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则(mm−1−2)÷mm2−1的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【考点】一元二次方程的解；分式的化简求值．
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再结合m2﹣3m＝2代入计算即可．
【解答】解：(mm−1−2)÷mm2−1
=(mm−1−2m−2m−1)⋅(m+1)(m−1)m
=−(m−2m−1)⋅(m+1)(m−1)m
=−(m−2)(m+1)m
=−m2−m−2m
=−(m2−3m)+2m−2m，
∵m2﹣3m＝2，
∴−(m2−3m)+2m−2m=−2+2m−2m=−2，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，关键是分式运算法则的运用．
8．（3分）如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，AD与CE交于M点，延长CD交EF于N点，再连接NG，AE，DG，若A，B，E共线，A，D，G共线，M为CE中点，S△AME＝2，则△DNG的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；列代数式；余角和补角；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由正方形的性质得AB∥DC，∠GFE＝∠ECG＝90°，DC＝AD，M为CE中点，则EM＝CM，再证明△EAM∽△CDM，得AEDC=AMDM=EMCM=1，设 AM＝DM＝a，则AE＝DC＝AD＝2a，EM=CM=5a，所以 S△AME=a2=2，CE=25a 由DCDG=tan∠CGD=tan∠DCM=NECE=DMDC=12，得 DG＝2DC＝4a，NE=12CE=5a，求得CN＝5a，则DN＝3a所以S△DNG=6a2=12，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，
∴AB∥DC，∠GFE＝∠ECG＝90°，DC＝AD，
∵A，B，E共线，A，D，G共线，M为CE中点，S△AME＝2，
∴∠EAM＝∠CDM＝90°，∠AEM＝∠DCM，EM＝CM，
∴△EAM∽△CDM，
∴AEDC=AMDM=EMCM=1，
∴AM＝DM，
设AM＝DM＝a，则AE＝DC＝AD＝2a，EM=CM=a2+(2a)2=5a，
∴S△AME=12a×2a=a2=2，CE=2EM=25a，
∵∠CDG＝∠NDG＝90°，
∴∠CGD＝90°﹣∠GCD＝∠DCM，
∴DCDG=tan∠CGD=tan∠DCM=NECE=DMDC=a2a=12，
∴DG＝2DC＝4a，NE=12CE=5a，
∴CN=CE2+NE2=(25a)2+(5a)2=5a，
∴DN＝CN﹣DC＝5a﹣2a＝3a，
∴S△DNG=12DN⋅DG=12×3a×4a=6a2=6×2=12，
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x﹣2x2+x3＝x（1﹣x）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】x（1﹣x）2．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝x（1﹣2x+x2）
＝x（1﹣x）2，
故答案为：x（1﹣x）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（3分）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是 19π ．（保留π）
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】19π
【分析】分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果．
【解答】解：∵直径为6cm的铜钱的面积为π×32＝9π，边长为1cm的正方形小孔的面积为1×1＝1，
随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率为19π，
故答案为：19π．
【点评】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式，熟记概率公式，求出圆面积和正方形面积是解题关键．
11．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数y=kx的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 24 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】24．
【分析】易证S菱形ABCO＝2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．
【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF＝4x，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO＝S△DEO，
同理S△BCD＝S△CDE，
∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO＝2（S△DEO+S△CDE）＝2S△CDO＝40，
∵tan∠AOC=43，
∴OF＝3x，
∴OC=OF2+CF2=5x，
∴OA＝OC＝5x，
∵S菱形ABCO＝AO•CF＝20x2，解得：x=2，
∴OF=32，CF=42，
∴点C坐标为（32，42），
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴代入点C得：k＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解题的关键．
12．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 22 ．
【考点】正多边形和圆；估算无理数的大小；规律型：图形的变化类．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】22．
【分析】根据正八边形的性质求出∠AOB＝45°，根据直角三角形的边角关系求出OB边上的高AM，由三角形的面积的计算方法可求出△AOB的面积，进而得到正八边形的面积即可．
【解答】解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M，
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360°8=45°，
在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°，
∴AM=22OA=22，
∴正八边形的面积为8S△AOB＝8×12×1×22=22，
即可估计π的近似值为22，
故答案为：22．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝AC＝12，∠ADC＝α，点E为线段BA上一点，AE＝3，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与线段CA交于点G．则HG的长为 65 ．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】65．
【分析】根据相似三角形的性质确定AG，CG的值，结合三角形内角和定理可得AH＝AD，再根据三角形全等的判定和性质得到DE＝HG，最后构建直角三角形，结合勾股定理计算边长即可．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝9，AD＝AC＝12，AE＝3，
∴△AEG∽△CDG，
∴AECD=AGCG，即39=AGCG=13，
∴AG=13CG，
∴AG=14AC=3，CG＝9，
∵AD＝AC，∠ADC＝α，
∴∠ACD＝∠ADC＝α，
又∵CD＝CG＝9，
∴∠CDG=∠CGD=180°−α2=90°−α2，
∵将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，
∴∠EDH＝∠ADC＝α，即∠EDA+∠ADH＝∠EDA+∠CDE＝α，
∴∠ADH=∠CDG=90°−α2，
∵AB∥CD，
∴∠HAD＝∠ADC＝α，∠EAG＝∠ACD＝α，
∴∠AHD=180°−∠HAD−∠ADH=180°−α−(90°−α2)=90°−α2，
∴∠ADH＝∠AHD，
∴AH＝AD＝12，
∵∠EAG＝∠HAD＝α，
∴∠EAG+∠CAD＝∠HAD+∠CAD，即∠EAD＝∠GAH，
在△EAD和△GAH中，
AE=AG=3∠EAD=∠GAHAD=AH，
∴△EAD≌△GAH（SAS），
∴DE＝HG，
如图，过A作AM⊥CD于点M，过E作EN⊥CD于点N，
∴AM∥EN，
又∵AB∥CD，
∴AE∥MN，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN＝AE＝3，AM＝EN，
又∵AC＝AD＝12，CD＝9，AM⊥CD，
∴D为CD的中点，
∴DM=12CD=92，
在直角三角形ADM中，由勾股定理得：AM2=AD2−DM2=122−(92)2=4954，DN=DM+MN=92+3=152，
在直角三角形DEN中，由勾股定理得：DE=EN2+DN2=4954+(152)2=65，
∴HG=DE=65，
故答案为：65．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的性质．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（7分）先化简，再求值：当a=2−1时，求代数式（a−aa+1）÷a2−2aa2−4的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a(a+2)a+1；22．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘除，约分化简后将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=a2+a−aa+1•(a+2)(a−2)a(a−2)
=a2a+1•a+2a
=a(a+2)a+1；
当a=2−1时，
原式=(2−1)×(2−1+2)2−1+1
=(2−1)(2+1)2
=2−12
=22．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
15．（9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按3：3：4的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是 81 分，众数是 81 分，平均数是 78 分；
（2）请你计算芳芳的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）81，81，78；
（2）芳芳的总评成绩为82.2分；
（3）
【分析】（1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
【解答】解：（1）七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：70，74，75，81，81，82，83，
所以这组数据的中位数是81分，众数是81分，平均数是70+74+75+81+81+82+837=78（分）；
故答案为：81，81，78；
（2）86×3+84×3+78×410=82.2（分），
答：芳芳的总评成绩为82.2分；
（3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下：
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为圆圆78.5分、芳芳82.2分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
16．（9分）如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米．
（1）飞机A在机场北偏东30°方向，距离是 30 千米；
（2）飞机B在机场 南偏西60 °方向，距离是40千米；
（3）飞机C在机场南偏东60°，距离是50千米，请在平面上标出C的位置．
【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）30；（2）南偏西60；（3）见解析．
【分析】（1）判定出点A到圆心的距离即可；
（2）根据方向角的定义判断即可；
（3）根据方向角的定义画出点C即可．
【解答】解：（1）飞机A在机场北偏东30°方向，距离是30千米．
故答案为：30；
（2）飞机B在机场南偏西60°方向，距离是40千米．
故答案为：南偏西60；
（3）如图，点C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，方向角问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（9分）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“MOSS”两种产品共100件，需购买价格为30元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“MOSS”需A种材料3千克，B种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过15000元，且生产“MOSS”不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“MOSS”需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设生产“MOSS”a件，生产“笨笨”（100﹣a）件．由题意得（30×4+20）×（100﹣a）+（3×30+4×20）a≤15000，解不等式可得出a≤3313，则可得出答案；
（2）由（1）中方案可计算生产这批产品的成本得出答案．
【解答】解：（1）设生产乙产品a件，生产甲产品（100﹣a）件．由题意得，
（30×4+20）×（100﹣a）+（3×30+4×20）a≤15000，
解得a≤3313，
又∵生产乙产品不少于30件，
∴30≤a≤33，
∵a为整数，
∴a＝30，31，32，33．
∴符合条件的生产方案有甲：70、乙：30；甲：69、乙：31；甲：68、乙：32；甲：67、乙：33；
（2）方案一总共需成本费为：70×（60+120+20）+30×（80+90+80）＝21500（元），
方案二总共需成本费为：69×（60+120+20）+31×（80+90+80）＝21550（元），
方案三总共需成本费为：68×（60+120+20）+32×（80+90+80）＝21600（元），
方案四总共需成本费为：67×（60+120+20）+33×（80+90+80）＝21650（元），
∴应选择甲：70、乙：30这种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
18．（9分）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C的对应点分别是点（A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若∠A＝70°，求∠D的度数．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】70°．
【分析】根据平移的性质得到AB∥A1D，利用平行线的性质得到∠D＝∠A即可．
【解答】证明：由平移性质，得∠B＝∠A1B1C1．
又∵∠A1B1C1＝∠BB1D．
∴∠B＝∠BB1D，
∴AB∥A1D，
∴∠D＝∠A＝70°．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后两个图形之间的关系，难度不大．
19．（9分）已知，点B在线段CE上．
【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，求证：△ACB∽△AED；
【拓展】（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED；
【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，求△ABD与△BDE的面积比．
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）S△ABD：S△BDE＝7：2．
【分析】（1）由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，据此得∠A＝∠DBE，从而得证；
（2）由∠C＝∠ABD＝∠E与∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB＝∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED；
（3）由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，
∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
∴△ACB∽△AED；
（2）证明：∵AC＝AE，
∴∠C＝∠E，
∵∠ABD＝∠E，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∴∠CAB＝∠DBE，
∴△ACB∽△BED；
（3）解：∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD，
∴∠CAB＝∠DBE，
∵∠C＝∠E＝60°，
∴△ACB∽△BED，
∵△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，
∴AE＝AC＝CE＝6，
∴BE＝CE﹣BC＝4，
∴△ACB与△BED的相似比为：ACBE=64=32，BCBE=24=12，
∴S△ABC：S△BED＝9：4，S△ABC：S△ABE＝1：2，
设S△ABC＝9x，则S△BDE＝4x，S△ABE＝18x，
∴S△ABD＝S△ABE﹣S△BED＝18x﹣4x＝14x，
∴S△ABD：S△BDE＝14：4＝7：2．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想解决问题．
20．（9分）基础运用
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个动点，且不与点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处，点N不与点B重合．
①求证：MB＝MD；
②求证：BN=2AM．
创新探究
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个动点，且不与点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC延长线上的点N处．求证：AM＝CN．
【考点】几何变换综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【分析】（1）①由正方形的性质可得出答案；
②过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F，证出四边形MFBE矩形，得出MF＝BE，由正方形的性质可得出结论；
（2）证出MN＝BM，作MH∥BA交AB于点H，EH∥AM交BA于点E，证出AM＝BH＝EH，作MG⊥BC于点G，得出CG＝GH，NG＝BG，则可得出结论．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∴DM＝BM；
②过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F，
∵将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处，
∴MD＝MN，
又∵MD＝MB，
∴MN＝MB，
∵ME⊥BN，
∴EN＝BE，
∴BN＝2BE，
∵MF⊥AB，ME⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形MFBE矩形，
∴MF＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠MAF＝∠AMF，
∴MF＝AF，
∴MF=22AM，
∴BN=2AM；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴DM＝BM，
∵DM＝MN，
∴MN＝BM，
作MH∥BA交AB于点H，EH∥AM交BA于点E，如图，
则四边形AMHE是平行四边形，∠CMH＝∠BAC＝60°，∠CHM＝∠ABC＝60°，
∴AM＝BH，△CMH，△BEH都是等边三角形，
∴AM＝BH＝EH，
作MG⊥BC于点G，则CG＝GH，NG＝BG，
∴CN＝BH，
∴AM＝CN．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．选手
测试成绩/分
总评成绩/分
文化水平
口头表达
组织策划
圆圆
83
72
80
78.5
芳芳
86
84
▲
▲
黄
黄
红
黄
（黄，黄）
（黄，黄）
（黄，红）
黄
（黄，黄）
（黄，黄）
（黄，红）
红
（红，黄）
（红，黄）
（红，红）
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
文化水平
口头表达
组织策划
圆圆
83
72
80
78.5
芳芳
86
84
▲
▲