2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷（含解析）中考模拟，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 左图是一个正三棱柱，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，主视图如下，
故选：C．
本题主要考查了简单几何体的主视图．解题的关键在于明确从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线．
2. 据中汽协官方数据显示，2025年我国全年汽车出口超700万辆，其中新能源汽车出口达261.5万辆，中国汽车完成“换道超车”，从汽车进口大国变成出口第一大国．将数据261.5万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：261.5万.
3. 下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方的计算规则逐一判断选项．
【详解】解：A.，故原计算错误，不符合题意；
B.，故原计算正确，符合题意；
C.，故原计算错误，不符合题意；
D.，故原计算错误，不符合题意．
5. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O．此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
6. 如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理得出，结合图形得出阴影部分的面积为即可求解
【详解】解：连接，如图所示：
∵以为直径作半圆O，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为．
7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M，N，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
8. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法错误，不符合题意；
B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，不符合题意；
D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，符合题意
9. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有客自洛至燕，六日可达；使自燕至洛，九日可达，今使先发三日，客乃发洛，问几何日相逢？”其大意是：有客人从洛阳出发去燕地，6日可到；使者从燕地出发去洛阳，9日可到．现在使者先出发3日，客人才从洛阳出发，问多久后两人相遇？设使者出发x日，两人相遇，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将总路程看作单位1，根据两人路程和等于总路程列方程，先确定两人的速度和行走时间，再表示出各自路程即可得到方程.
【详解】解：把总路程看作单位1，
∵客人从洛到燕需6日到达，使者从燕到洛需9日到达，
∴客人的速度为，使者的速度为，
∵设使者出发x日两人相遇，使者先出发3日，客人才出发，
∴客人行走的时间为日，
∴使者走的路程为，客人走的路程为；
∵两人路程和等于总路程1，
∴可列方程为.
10. 如图，在中．．，①以点A为圆心任意长为半径作弧，分别交和于点D和E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G；③分别以点C和点G为圆心．大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点P和点Q．若，，则的长为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据题意得平分垂直平分，确定，，得出，，，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
根据题意得平分垂直平分，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，即．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可.
【详解】解：由题意，，解得，
故可取.
12. 一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，它们除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则n的值为______．
【答案】9
【解析】
【详解】解：根据题意，袋子中球的总个数为，其中红球有3个，
∵摸到红球的概率为，
∴，
解得.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______．
【答案】2或
【解析】
【分析】设正方形的边长为，根据题意得，，，边的三等分点有两个，，据此即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为，
由于正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形
则，，，
如图，
此时，反比例函数过点与，
代入得，解得，
如图，
此时，反比例函数过点与，
代入得，解得，
综上所述，k值为2或．
14. 如图，在中．和相交于点．，，分别是，，的中点．连接，，．若，．的周长为24．则的面积为______．
【答案】144
【解析】
【分析】连接，由平行四边形的性质推出，，，，，由等腰三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，由三角形中位线定理推出，，得到，推出，得到，由，得到，判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理求出，得到，因此的面积面积的2倍．
【详解】解：连接，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，，，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
的周长，
，
，
由勾股定理得到：，
，，
，
，
的面积，
的面积面积的2倍．
15. 如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可．
【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一条直线上时，的值最小，
点为的中点，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
点为的中点，，
，
，
，
．
的最小值为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算及化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先进行负整数指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值化简，最后合并即可得出结果；
（）先对括号内进行异分母加减法运算，再进行分式的除法运算，即得结果．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
解：
．
17. 随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱，街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表：
（1）求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？
（2）若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？
【答案】（1）智能呼叫器单价为600元，应急急救箱单价为500元；
（2）最多采购智能呼叫器20个．
【解析】
【分析】（1）设智能呼叫器单价为x元，应急急救箱单价为y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设采购智能呼叫器m个，则采购应急急救箱个，根据题意列出不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设智能呼叫器单价为x元，应急急救箱单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：智能呼叫器单价为600元，应急急救箱单价为500元．
【小问2详解】
设采购智能呼叫器m个，则采购应急急救箱个，
，
解得，
∴m的最大值为20，
答：最多采购智能呼叫器20个．
18. 2026年是人工智能（AI）发展的重要机遇期，为深化“人工智能＋”的应用实践，某中学举办了AI技术比赛．为了解比赛的成效，教研部门随机抽取了部分学生的成绩（成绩均为整数）进行整理、描述和分析，并将成绩按百分制划分为A，B，C，D四个等级，绘制了如下统计图表．
抽取成绩的扇形统计图
抽取成绩的统计表
（1）求m的值；
（2）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，93，94，95，96，96，97，97，97，98，100，求A等级学生成绩的众数和中位数；
（3）若测试成绩大于80分为优秀，估计该校1200名学生中成绩优秀的人数是多少？
【答案】（1）m的值为15；
（2）A等级学生成绩的众数为97分，中位数为96分；
（3）该校1200名学生中成绩优秀的人数约为648名．
【解析】
【分析】（1）因为已知A等级人数和A等级占总抽取人数的百分比，所以先用A等级人数除以对应占比得到抽取的总人数；再用总人数乘以B等级的占比即可得到m的值．
（2）求众数时，找出A等级成绩中出现次数最多的数值即可；求中位数时，先将A等级的12个成绩按从小到大排序，取第6和第7个成绩的平均值即可．
（3）因为成绩大于80分对应A和B两个等级，所以先计算A、B等级的占比之和，再用该校总人数乘以该占比，即可估计出成绩优秀的总人数．
【小问1详解】
解：所抽取的学生共有：（名），
（名）．
答：m的值为15．
【小问2详解】
解：∵97出现次数最多，
∴众数为97分．
A等级学生一共12名，排序后处于最中间的两个数据为96，96，
∴中位数为（分）．
答：A等级学生成绩的众数为97分，中位数为96分．
【小问3详解】
解：（名）．
答：该校1200名学生中成绩优秀的人数约为648名．
19. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件．
（1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？
【答案】（1）y与x的函数关系式为；
（2）当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元．
【解析】
【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价．
【小问1详解】
解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，
把，；，代入得，
，
解得．
∴y与x的函数关系式为．
【小问2详解】
解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则
∵，∴抛物线开口向下，W有最大值，
∴当时，W最大，W最大（元）．
答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元．
20. 如图1，为某两足人形机器人行走时的实拍图，图2为该时刻下半身对应的几何示意图（所有点均在同一平面内），行走时，机器人前脚跟、后脚尖同时着地，着地点分别为W，N，为后脚跟离地的最大距离，点A为髋关节，大腿与小腿在一条直线上，与地面垂直．经测量大腿长均为，小腿长均为，，，，．
（1）行走时的身高与直立时的身高相差多少？
（2）行走时每步的步长是多少？
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）行走时的身高与直立时的身高相差；
（2）行走时每步的步长约是．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，然后解即可；
（2）过C作于点P，过T作于点Q，则，，根据图形得出，，再由矩形的判定和性质确定，然后结合解三角形即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
答：行走时的身高与直立时的身高相差．
【小问2详解】
如图，过C作于点P，过T作于点Q，则，，
在中，，，，
∵，
∴．
在中，，，，
∵，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
在中，，，，，
∴．
同理四边形是矩形，
∴．
∴．
答：行走时每步的步长MW约是．
21. 如图，内接于，是的直径，平分．交于点F，交于点E，过点F作的切线，交的延长线于点M，连接．
（1）求证：∥；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆心角为直角可得，再由圆周角定理可求解的度数，结合切线定理即可证明；
（2）先证明与相似，得到边长成比例，再结合勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴∥；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，由勾股定理得，．
∴．即的半径为．
22. 如图1．在菱形中，，点是边上一点，作射线．并将射线绕点顺时针旋转与边的延长线交于点，与边相交于点．
（1）求证：；小明的思路是：如图2．只要过点作交于点，然后证明全等就可以．请按小明的思路写出完整证明过程．
（2）连，如图3所示．求证：；
（3）连接，，，如图4所示，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作平行交于点，利用菱形的性质和，证明和都是等边三角形，得到且∠EAD=∠EKF=120° ，再由射线旋转得到，通过角的等量代换推出，最后用证明△EAD≌△EKF ，从而证得；
（2）由且，证明是等边三角形，再通过四边形内角和与邻补角的性质，推出∠BEF=∠ADF ，结合菱形性质得到∠DAF=∠B=60° ，证明△BEG∽△ADF ，得到BE·AF=AD·BG ，接着利用第一问的全等结论和等边三角形的性质，推出AF=AE+AD ，将其代入比例式后整理，即可证得BE·AE+AD·BE=AD·BG ；
（3）通过角的等量代换和∠EAD=∠FCG=120° ，证明△EAD∽△GCF ，结合第一问的全等结论得到，再根据且是等边三角形，得出是的中点即FG=12ED ，代入相似比例式得到，然后设、，过作垂直的延长线于，设、相交于点，在中利用角所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求出、的长度，再在中用勾股定理求出即的长度，在菱形中求出，在中利用角所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求出的长度，进而得长，最后计算两者的比值即可得到结果．
【小问1详解】
证明：如图，过作交于点，设、相交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴∠AEK=∠B=60° ，∠AKE=∠ACB=60° ，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∵∠COD=∠ADE+∠CAD=∠AFE+∠DEF ，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴是等边三角形．
∵，
∵，
∴在四边形中，，
∵，
∴，
同理，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过作交于点，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，过作，交延长线于点，设、相交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得为等边三角形，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴在中，DM=AM+AD=5a ，
由勾股定理得，，
∴EF=DE=27a ，
∵四边形是菱形，
∴，AB=AD=4a ，，
∴∠ABD=180°−∠BAD2=30° ，
在中，AH=12AB=2a ，
∴BH=AB2−AH2=23a ，
，
∴．
23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C．
（1）求点A，B的坐标及的解析式．
（2）直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值．
（3）定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围．
【答案】（1），，；
（2）t的值为或；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据题意分别求出，，，然后再由待定系数法确定函数解析式即可；
（2）由题意，，，，确定， ，再由题意建立方程，分情况分析求解即可；
（3）根据题意得出当时，，确定，然后根据题意取临界点即可求解．
【小问1详解】
解：令，解，
得，，
∴，．
令，得，
∴．
把，代入中，
得，
解得，．
∴．
【小问2详解】
解：由题意，，，．
∴，
∵由，
∴．
∴当时，化简得，
解得（舍去），．
当时，化简得，
解得（舍去），．
综上所述，t的值为或．
【小问3详解】
解：，
当时，，
解得：，
∵，
∴开口向上，
∴当时，，
∴由题意，得
直线与有三个交点，需分两种临界情况：
联立，即，
整理得：，
判别式：，
解得．
联立，即，
整理得：，
判别式：，
解得．
∴
将代入中，得．
将代入中，得．
∴．
∴或．
智能呼叫器数量（单位：个）
应急急救箱数量（单位：个）
总报价（单位：元）
2
3
2700
4
5
4900
等级
成绩分
人数/名
A
12
B
m
C
13
D
10