山东省德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则是的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．5D．
5．已知不共线的平面向量，两两夹角相等，，则（ ）
A．3或36B．C．或6D．6
6．如图所示，在中，是的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．若角，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则为钝角
C．若为非零向量，且，则
D．若，则存在唯一的实数使得
10．已知，其中为锐角，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知两个非零向量的夹角为，定义运算.设，则（ ）
A．
B．在上的投影向量的模为
C．，均有
D．
三、填空题
12．已知，若，则与的夹角为__________.
13．已知，且，则__________.
14．如图正方形的边长为分别为边上的点，若为的中点且，则__________；若的周长为2，则的大小为__________.
四、解答题
15．已知平面向量，且.
(1)求；
(2)求与的夹角.
16．已知平面向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若锐角满足，求的值.
17．如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形.其中在半径上，记.
(1)当时，求矩形的面积；
(2)角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值.
18．如图1，在中，为直角，与相交于点，连接，记.
(1)用表示向量；
(2)设，求的值；
(3)如图2，过点的直线与边分别交于点，设（均为非零实数），求的值.
19．把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.已知向量的“广义坐标”分别为.
(1)求的“广义坐标”；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”.
参考答案
1．B
【详解】.
2．A
【详解】向量，若，则，即，
若,则，解得：或，
综上,是的充分不必要条件。
3．C
【详解】由辅助角公式，，其中，则.
4．C
【详解】由题意可知，则，
即且，
，
解得.
5．B
【详解】向量，，两两所成的角相等且不共线，
向量，，两两夹角为，又，
，
则.
6．D
【详解】由，得.
由是的中点，则，又，
所以，
则，
则
.
7．A
【详解】法1：因为，所以，
因为，所以，则，
因为，所以，
所以，，
则.
法2：因为，，所以，
因为，所以，
则，
因为，所以.
8．B
【详解】
如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以，
所以，
设，则，
所以，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以，所以，
所以，即的取值范围是.
9．ABD
【详解】对于A，当，时，满足，，但不一定平行，故A错误；
对于B，由，则，
因为，则为钝角或，故B错误；
对于C，由，得，
即，则，故C正确；
对于D，当，时，不存在使得，故D错误.
10．BC
【详解】因为为锐角，所以，得，
则，故A错误；
因为为锐角，所以，则，
，故B正确；
由，得，
则，故C正确，D错误.
11．ACD
【详解】当，，
，A正确，
在上的投影向量的模为，不一定成立，B错误；
，C正确；
若，，则，
因为，所以，
所以，D正确.
12．
【详解】由，则，
即，又，
则，即，
又，则.
13．/0.5
【详解】由，则，
由，则（负值舍去），
所以，则.
14． / /
【详解】由题意，，，
则，
所以，
则
.
设，则，
所以，.
因为的周长为2，所以，
则，
将上式两边平方，整理得，即，
因为，所以，即.
15．(1)0
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得
所以
因为，所以，所以
所以
所以，
（2）由（1）知，，
所以，
，
设的夹角为，则：
因为，所以即向量与向量的夹角为
16．(1)
(2)
【详解】（1）由
，
取，解得，
故的单调增区间为，
（2）由（1）知，则，
所以.
17．(1)
(2)当时，矩形的面积最大，最大面积为
【详解】（1）在中，，则，
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，则.
（2）在中，.
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，
则，
，
由，得，
所以当，即时.
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，.
（2）解法一：由，因为三点共线，
所以存在非零实数使得，
所以，
所以，解得①，
又因为三点共线，
所以存在非零实数使得.
所以.
又，所以，解得②.
由①②解得.
解法二：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，
而，
因为三点共线，所以
由，得.
（3）解法一：由（2）知，
因为三点共线，
所以存在非零实数使得，
因为，所以.
消去得，所以.
解法二：由（2）知，
因为，所以,
所以,
因为三点共线，所以，则.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
故，
故的“广义坐标”为；
（2）由题意得，
故
，
，故，
，故，
所以向量与的夹角的余弦值为；
（3）在平面直角坐标系中，，
设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，
所以，
所以，解得，