2025-2026学年下学期广东省金太阳高三数学2026年5月联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期广东省金太阳高三数学2026年5月联考试卷含答案，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z=6i−1+i ,则 z=
A. 6+6i B. 6−6i
C. −6−6i D. −6+6i
2. 已知命题 p:∀x2 ,命题 q:∃x 0,b>0 )上,则双曲线 C 的渐近线方程为
A. y=±x B. y=±2x
C. y=±3x D. y=±15x
6. 已知函数 fx 的定义域为 R,f3+x+f−1−x=0 ,且 fx 在 2,+∞ 上单调递增,则 A. f−ln6>−f3>f−2−e
B. f−2−∘>−f3>f−ln6
C. f−2−e>f−ln6>−f3
D. −f3>f−ln6>f−2−∘
7. 某社区使用无人机配送生活物资，配送站 A 的位置为 A(4,3)(单位:千米)，小区 B 的位置为 B3,1 . 若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为 ω= 22,−22 ，即无人机每主动飞行 1 千米，会额外叠加 ω 的偏移位移. 目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和. 若无人机要从 A 沿直线匀速精准到达 B ,则其主动飞行的方向向量为
A. −72,12 B. −32,12
C. −322,12 D. −22,12
8. 若 a2−b>2b−2a ,则
A. a>b B. ab>0 的焦点， P 为椭圆 C 上的动点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 A,B ,若存在点 P ,使得四边形 OAPB 为矩形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2A+sin2B=sin2C .
(1)求 △ABC 的内角中最大的角的大小；
(2)延长 BC 至点 D ，使得 BD=2BC ，连接 AD ，若 5b=3a,AD=213 ，求 △ABC 的面积.
16. (15分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， △PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 为等腰梯形, AD//BC,AB=CD=4,BC=8,E 为 PB 的中点.

(1)若 AD=4 ，证明: AE// 平面 PCD .
(2)若直线 AE 与平面 PAD 所成的角为 π6 ，求 AD 的长度.
17. (15分)
为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取 500 人，甲社区有 50 人患该疾病, 乙社区有 25 人患该疾病, 用频率估计概率.
(1)从甲社区随机抽取 1 人，求这个人患该疾病的概率.
(2)从甲、乙两个社区各随机抽取 1 人，设 X 为患该疾病的人数，求 X 的分布列及数学期望.
(3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有 5%的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有 50%的概率患该疾病. 从甲社区随机抽取 1 人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率.
18. (17 分)
已知函数 fx=x−1x−alnx .
(1)当 a=2 时,求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程;
(2)讨论 fx 的零点个数；
(3)若 fx 有 3 个零点 x1,x2,x3x10 的焦点为 F ,过点 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点, PQ 的最小值为 4 .
(1)求 C 的方程.
(2)记过点 P 且与 C 相切的直线为 l ，过点 P 作直线 l 的垂线交 C 于另一点 H ，求 PH 的最小值.
(3)是否存在定圆 M ，使得以 PQ 为直径的圆始终与 M 相切？若存在，求圆 M 的方程；若不存在，说明理由.
高三数学参考答案
15.
解: (1) 2sinA+BcsA−B=2sinCcsA−B . 1 分
sin2C=2sinCcsC . 2 分
因为 2sinA+BcsA−B=sin2C ,所以 2sinCcsA−B=2sinCcsC .
因为 sinC≠0 ,所以 csA−B=csC . 3 分
因为 A,B,C∈0,π ,所以 A−B=C 或 A−B+C=0 , 4 分
所以 A=π2 或 B=π2 , 5 分
所以 △ABC 的内角中最大的角的大小为 π2 . 6 分
(2)因为 5b=3a ，所以 A>B ，结合 (1) 可得 A=π2 . 7 分
设 a=5x ,则 b=3x,c=4x,BD=4x,CD=x,sinC=45,csC=35 . 9 分
△ACD 的面积为 12CA⋅CDsinC=6 ,解得 x=5 ,所以 b=35,CD=5 . 11 分
在 △ACD 中, AD=AC2+CD2−2AC⋅CDcsC=42 . 13 分
16.
解: 取 BC 的中点 F ,连接 DF .
易证四边形 ADFB 为矩形,所以 AD⊥DF .

以 D 为坐标原点, DA,DF,DP 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 D0,0,0,A1,0,0,B1,3,0,C−1,3,0 , P0,0,3 . 2 分
DC=−1,3,0,DP=0,0,3,AP=−1,0,3,PB=(1,3 , −3), 4 分
AE=AP+PE=AP+λPB=−1+λ,3λ,3−3λ. 5 分
设平面 PCD 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅DC=−x+3y=0,n⋅DP=3z=0, 取 x=3 ,得 n=3,1,0 . 7 分
(1)证明:若 λ=12 ，则 AE=−12,32,32 . 8 分
因为 AE⋅n=0 ，所以 AE⊥n . 10 分
因为 AE⊄ 平面 PCD ,所以 AE// 平面 PCD . 11 分
(2)记直线 AE 与平面 PCD 所成的角为 θ ，
sinθ=cs⟨n,AE⟩=n⋅AEnAE=−3+3λ+3λ2−1+λ2+3λ2+3−3λ2=1313 , 13 分
化简得 128λ2−124λ+23=0 ,解得 λ=14 或 2332 ,所以 λ 的值为 14 或 2332 . 15 分
17.解: (1) 设 A= “从甲社区随机抽取 1 人，且这个人患该疾病”，用频率估计概率，则 PA= 50500=110 3 分
(2)结合(1)得 PA=910 .
设 B= “从乙社区随机抽取 1 人，且这个人患该疾病”，则 PB=25500=120 ，则 PB=1920 . 5 分
X 的所有可能取值为 0,1,2 .
PX=0=PAB=171200, 6 分
PX=2=1200, 7 分
PX=1=1−PX=0−PX=2=750, 8 分
X 的分布列如下表:
EX=1×750+2×1200=320. 10 分
(3)从甲社区随机抽取 1 人，设这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为 P ，
则 5%P+50%1−P=110 ,解得 P=89 . 15 分
18.
(1)解: 当 a=2 时， fx=x−1x−2lnx ， f1=0 ， 1 分 f′x=1+1x2−2x,f′1=0, 2 分
所以曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 y=0 . 3 分
(2)解: f′x=1+1x2−ax=x2−ax+1x2,x>0 .
二次函数 y=x2−ax+1 的图象过点 0,1 ,对称轴为直线 x=a2 ,当 a2≤0 或 a2>0,Δ=a2−4≤0时,y=x2−ax+1≥0 在 0,+∞ 上恒成立,此时 a≤2 . 5 分
故当 a≤2 时, f′x=x2−ax+1x2≥0,fx 在 0,+∞ 上单调递增.
因为 f1=0 ,所以 fx 只有 1 个零点. 6 分
当 a>2 时,方程 x2−ax+1=0 有 2 个正根,记为 x4=a−a2−42
1, 7 分
所以当 x∈0,x4∪x5,+∞ 时, f′x>0 ,当 x∈x4,x5 时, f′x0,fx5ea−a2−1. 9 分
令 ga=ea−a2−1,a>2,g′a=ea−2a .
令 ℎa=g′a,a>2 ,则 ℎ′a=ea−2>0 ,所以 ℎa=g′a 在 2,+∞ 上单调递增.
g′a>g′2=e2−4>0 ,所以 ga 在 2,+∞ 上单调递增, ga>g2=e2−5>0 ,
所以 fea>0,ea>x5,fx 在 x5,ea 上有 1 个零点,即 fx 在 x5,+∞ 上有 1 个零点. 11 分同理可得 f1ea2 时, fx 有 3 个零点. 12 分
综上,当 a≤2 时, fx 只有 1 个零点; 当 a>2 时, fx 有 3 个零点. 13 分
(3)证明:结合(2)可得， 01 .
fx1=x1−1x1−alnx1=0,
f1x1=1x1−x1−aln1x1=−x1−1x1−alnx1=−fx1=0.
当 x>1 时,有且仅有 fx3=0 ,所以 1x1=x3 . 15 分
x1+x2+x3=x1+1+1x1≥2x1⋅1x1+1=3 ,当且仅当 x1=1 时,等号成立,
但 00 .
由 y=kx+b,y2=4x, 得 k2x2+2kb−4x+b2=0 .
由 Δ=2kb−42−4k2b2=0 ,得 kb=1 ,则 x=1k2,y=2k ,所以 P1k2,2k .
设过点 P 且与直线 l 垂直的直线的方程为 y=−1kx−1k2+2k , 5 分与 y2=4x 联立可得 y2+4ky−4k2−8=0 .
设 Px1,y1,Hx2,y2 ,则 y1+y2=−4k,y1y2=−4k2−8 .
PH=1+k2y1+y22−4y1y2=4k2+1k2+1k=4k2+13k2, 7 分
令 k2=xx>0 ,函数 fx=x+13x ,则 f′x=x+122x−1x2 .
当 x∈0,12 时, f′x0 ,所以 fx 在 0,12 上单调递减，在 12,+∞ 上单调递增，所以 fx≥f12=274 ， 8 分
PH=4k2+13k2≥63 ,当且仅当 k=22 时,等号成立,所以 PH 的最小值为 63 .
9 分
(3)设直线 PQ:x=my+1,Px1,y1,Qx3,y3 .
由 x=my+1,y2=4x, 得 y2−4my−4=0,Δ=16m2+16>0,y1+y3=4m,y1y3=−4 ,
x1+x32=my1+y3+22=2m2+1,y1+y32=2m ,则 PQ 的中点 N2m2+1,2m .
11 分
PQ=m2+1⋅y1+y32−4y1y3=m2+1⋅16m2+16=4m2+4,
则以 PQ 为直径的圆的圆心为 N2m2+1,2m ,半径 R=2m2+2 . 12 分
假设存在符合题意的定圆 M ,设 Ms,t ,半径为 r ,则有 MN=R±r ,
即有 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2−r2 恒成立,
或 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2+r2 恒成立. 13 分
若 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2−r2 ,
化简得 4m2r−s−4tm+s2+t2−r2+4r−2s−3=0 ,
则 r−s=0,−4t=0,s2+t2−r2+4r−2s−3=0, 解得 s=32,t=0,r=32,
故存在定圆 M:x−322+y2=94 ,符合题意. 15 分
若 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2+r2 ,
化简得 4m2r+s+4tm−s2−t2+r2+4r+2s+3=0 ,
则 r+s=0,4t=0,−s2−t2+r2+4r+2s+3=0, 解得 s=32,t=0,r=−32, 舍去. 16 分
综上,存在定圆 M:x−322+y2=94 ,使得以 PQ 为直径的圆始终与 M 相切. 17 分题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
D
B
B
D
C
A
A
D
BD
ACD
ACD
270
1 或 -2
33,22
X
0
1
2
P
171 200
7 50
1200