上海市复旦大学附属中学2025_2026学年高一下学期期中数学试题 [含答案]

这是一份上海市复旦大学附属中学2025_2026学年高一下学期期中数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间： 120 分钟
满 分： 150 分
一、填空题 (第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分， 共 54 分)
1. 已知 ，若 ，则 ______．
【正确答案】
【详解】由题意得：，解得.
2. 函数的最小正周期是_____________．
【正确答案】
【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期.
【详解】，所以函数的最小正周期.
故
3. 当函数 取到最大值时， 的值为______．
【正确答案】
【详解】当时，即，.
4. 若复数满足(为虚数单位)，则的虚部为______．
【正确答案】
【详解】由得，
所以的虚部为.
5. 函数 的定义域为______．
【正确答案】
【分析】由二次根式下被开方数非负及分母不为0可得.
【详解】由题意3x−x2≥0x≠kπ+π2,k∈Ztanx≠0，解得0≤x≤3x≠kπ+π2,k∈Zx≠kπ，所以.
6. 在中，角所对的边分别为，则的面积为__________.
【正确答案】
【分析】利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】，，，
由余弦定理得，
，或（舍去），
的面积.
故
7. 已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________.
【正确答案】
【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值.
【详解】设，
则，
所以，
因为，
所以，
则.
故答案为.
8. 在平面直角坐标系中，点． 将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为______．
【正确答案】
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意得OA→=12+32=2 ，
所以 在 方向上的数量投影为OA→cs2π3=2×−12=−1 .
9. 在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______．
【正确答案】
【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，可得，由得，设，，代入，然后根据三角函数的辅助角公式直接得最大值.
【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
则，
又，所以CP2=9λ2+16μ2=4 ，
设，，
则，
所以的最大值是.
10. 在四边形 中，若 ，则 ______．
【正确答案】
【分析】利用数量积的线性运算即可求解.
【详解】由题意得：AB⋅CD=AD−BD⋅BD−BC=AD⋅BD−AD⋅BC−BD2+BD⋅BC
=AD−BD+BC⋅BD−AD⋅BC
.
11. 已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为______．
【正确答案】
【分析】根据得，又根据函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，进而得的范围，最后验证即可求解.
【详解】由题意得：fπ=sinωπ+π4=0 ，所以，解得，
又，所以，
又函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，
由π