安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．1D．
2．的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
4．下列说法正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
5．如图，已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．B．，则
C．D．
10．在中，内角A，B､C所对的边分别为a､b､c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为非直角三角形，则
11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ）
A．最大值为1B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
三、填空题
12．若复数是纯虚数，则实数___________．
13．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是____________.
14．在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________.
四、解答题
15．平面上有三点，，，向量，．
(1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值
16．已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
17．如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.

(1)计算该模型的体积.（结果精确到）
(2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元）
18．如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记．
(1)当时，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范围．
19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；
(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
【详解】由，得，而，与平行，
因此，解得，
所以实数λ的值为.
故选：D
2．B
【详解】根据复数的四则运算法则化简可得，
，
所以的虚部为，
故选：B
3．C
【详解】由题意知，,
如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形，

因为，是的中点，故，且,
故,故，
故选：C
4．B
【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，
故C错误；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；
故选：B.
5．A
【详解】因为，，
所以，，
所以,
又，，
所以.
故选：A.
6．C
【详解】依题意，在上的投影向量为.
故选：C
7．A
【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到.
由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB，
又，则，
三角形为等腰直角三角形，则，
又由题可得圆柱，圆锥的高均为2，
则圆柱，圆锥体积之和为：，
又注意到球体半径为，则球体体积为：，
则几何体体积为.
故选：A
8．B
【详解】解：由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
故选：B
9．AC
【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确；
对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误；
对于C，设，则，所以，故C正确；
对于D，举反例，如，则，而，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
【详解】对于A中，若为锐角三角形，可得且，
可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以A正确；
对于B中，在中，由知，根据正弦定理可得，所以B正确；
对于C中，由正弦定理知，可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，所以C不正确；
对于D中，在中，可得，则，
所以，即，
可得，
则，所以D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系，
则，，，
设，则，,，
所以，，，
由，得，且，,，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
12．2
【详解】因，
要使其为纯虚数，需使且，解得．
故答案为：2
13．
【详解】设,则,
所以当时，取最小值，当时，取最大值0，即的取值范围是.
14．
【详解】由，得，
所以，
因为，则，所以，
设，则点在直线上，所以，

当时，最小，其最小值为.
故答案为：
15．(1)
(2)或j．
【详解】（1）若三点不能构成三角形，则，
又，所以，解得．
（2）因为，所以，
因为，所以，
解得或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设，
则，
所以，解得，
故.
（2）是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，
.
17．(1)
(2)元
【详解】（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，
则，
设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，，
所以圆柱的体积，
圆锥的体积
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
一个模型的表面积，
所以总费用为（元）.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
由题意，
，
所以
；
（2）
，
若，则，
，
因为三点共线，
所以可设，
由于三点共线，所以设，
所以，解得，，
所以；
（3）
，
则
，
,
因为三点共线，
所以可设，
因为，所以，
所以，即，
所以，
令，所以，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故所求为.
19．(1)
(2)
(3)存在点，使得.
【详解】（1），故；
（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以
.