2026届河北省新高考压轴卷数学试卷含解析

这是一份2026届河北省新高考压轴卷数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知函数满足=1，则等于，设集合等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．240，18B．200，20
C．240，20D．200，18
4．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数满足=1，则等于（ ）
A．-B．C．-D．
6．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为( )
A．8B．4C．D．6
8．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．设集合（为实数集），，，则（ ）
A．B．C．D．
10．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）
A．甲件，乙件B．甲件，乙件C．甲件，乙件D．甲件，乙件
11．已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（ ）
A．1B．C．2D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．
14．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）
①，，；
②，，；
③，，；
④，，.
15．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．
16．设为正实数，若则的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
19．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值
20．（12分）已知.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若的最小值为1，求的最小值.
21．（12分）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设和交点的交点为，求 的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】
由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
2、A
【解析】
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，
∴＞3，即b1＞3a1，
∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．
则e=＞1．
∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3、A
【解析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【详解】
样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，
∴抽取的户主对四居室满意的人数为：
故选A．
【点睛】
本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．
4、C
【解析】
可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.
【详解】
解：因为，即，又，
设，根据条件，，；
若，，且，则：；
在上是减函数；
；
；
在上是增函数；
所以，
故选：C
【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.
5、C
【解析】
设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.
【详解】
解：设的最小正周期为，因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
，因为
，
整理得，因为，
，
，则
所以
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.
6、A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
7、A
【解析】
作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.
【详解】
作出可行域，如图所示
由，可得.
平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.
解方程组，得.
.
，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为8.
故选：.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.
8、C
【解析】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】
解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．
9、A
【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.
【详解】
集合,,
所以
所以
故选:A
【点睛】
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
10、D
【解析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.
【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，
画出可行域如图所示，
显然当经过时，最大.
故选：D.
【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
11、B
【解析】
先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.
【详解】
由题，
即
由累加法可得：
即
对于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故选B
【点睛】
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.
12、C
【解析】
设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．
【详解】
由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），
∴y1+y2＝p，
又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,
故选C．
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，
则，为锐角.故当和抛物线相切时，的值最小.
再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值.
【详解】
解：由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，
则，为锐角.
故当最小时，的值最小.
设切点，由的导数为，
则的斜率为，
求得，可得，
，，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.
14、①②④
【解析】
由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断
【详解】
①时，令，则，单调递增， ，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.
②时，易知，满足题意.
③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.
④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.
令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.
令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.
因此，满足题意.
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题
15、0
【解析】
利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，，是等差数列可知
因为，所以，
故答案为：0
【点睛】
本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
16、
【解析】
根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，，
所以，
当时，，当时，
所以当时，取得最大值，
又，
所以取值范围是，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
【详解】
(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式得到关于的方程,解方程即可求解;
由知,在中利用余弦定理得到关于的方程,与方程联立求出,进而求出,利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
由题意得，,
由二倍角的余弦公式可得,
,
又因为，所以，
解得或，
∵，∴.
在中,由余弦定理得,
即①
又因为,把代入①整理得，
，解得，，
所以为等边三角形，，
∴,
即.
【点睛】
本题考查利用平面向量数量积的坐标表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟练掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）当时，令，作出的图像，结合图像即可求解；
（Ⅱ）结合绝对值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼凑为，结合基本不等式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）
令，作出它们的大致图像如下：
由或（舍），得点横坐标为2，由对称性知，
点横坐标为﹣2，
因此不等式的解集为.
（Ⅱ）.
.
取等号的条件为，即，联立得
因此的最小值为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题
21、（1）（2）
【解析】
（1）项和转换可得，继而得到，可得解；
（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
即，∴，
∴，
∴．
（2）．
=2·-λ（2n+1）．
∵数列为递增数列，
∴，即．
令，
即．
∴为递增数列，∴，
即的取值范围为．
【点睛】
本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将和的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（α为参数），
消去参数的的直角坐标方程为．
所以的极坐标方程为
（2）解方程组，
得到．
所以，
则或（）．
当（）时，，
当（）时，．
所以和的交点极坐标为： ,.
所以．
故的面积为．
【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.