浙江省浙东北联考2025-2026学年高一下学期5月期中数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省浙东北联考2025-2026学年高一下学期5月期中数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了结束后，只需上交答题卡， 在 中，若 ，则这个三角形是等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效.
4.结束后，只需上交答题卡.
选择题部分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知 ， ， ， ，且四边形 ABCD 为平行四边形，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，可得 ， ，根据平行四边形的性质，可得
，化简即可得答案.
【详解】由题意 ， ，
因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以 ，即 ，
整理得 .
故选：B
2. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的直角梯形 ，其中梯
形的上底长是下底长的 ，若原平面图形 的面积为 ，则 BC 的长为（ ）
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A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出原平面图形 ，并根据斜二测定义得到 ， ，设
，表达出其他各边，利用梯形面积公式列出方程，求出 ，得到答案.
【详解】画出原平面图形 ，如下：
其中 ，故 ， ，
设 ，则 ， ，
平面图形 的面积为 ，
故 ，解得 ，
故 .
3. 已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A. 12 B. 8 C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据向量的模的坐标表示、垂直关系的向量表示、向量的数量积及运算律求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
则 .
4. 已知圆锥的底面周长为 ，侧面积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
（ ）
A. 48 B. 50 C. 96 D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】由题可求出圆锥底面半径 和母线长 ，先求当截面过中心轴 时顶角 为钝角，然后得
出截面面积的最大值即可.
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，
则 ，解得 .
当截面过中心轴 时，则 ， ，
所以 ，
由三角形面积公式可得，当 时，截面面积最大，最大为 .
5. 在 中，若 ，则这个三角形是（ ）
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
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【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ，
化简可得 ，
即 ，
即 ，所以 或 ，
即 或者 ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
故选：A
6. 已知 ， 为异面直线， 平面 ， 平面 .若直线 满足 ， ， ， ，则（
）
A. ， B. 与 相交，且交线平行于
C. ， D. 与 相交，且交线垂直于
【答案】B
【解析】
【分析】假设 得到矛盾，确定 与 相交，设 ，过直线 一点，作 ， 设 与 确
定的平面为 ，根据 ， 得到答案.
【详解】若 ，则由 平面 ， 平面 ，可得 ，这与 m，n 是异面直线矛盾，
故 与 相交，A 错误；
设 ，过直线 一点，作 ， 设 与 确定的平面为 .
因为 ，所以 ，又 ， 与 相交， ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
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因为 ，所以 ， ，又 与 相交， ，所以 ，
又因为 ， ，所以 l 与 a 不重合，所以 ，B 正确，D 错误；
因为 ， ， ，所以 ，C 错误.
故选：B.
7. 如图，在正方形 中， 为 的中点，将 沿直线 折起至 处，使得点 在平面
上的射影在 上.若三棱锥 的外接球表面积为 ，则 到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可.
【详解】连接 ，交 于 ，交 于点 ，连接 ， ，设正方形 的边长为 ，
因为 为正方形，所以 沿对角线 折叠的过程中，
点 （即点 ）在底面上的射影一直在直线 上，
又点 在平面 上的射影在直线 上，所以点 即为点 在平面 上的射影，
即 平面 ，
则 即为点 到平面 的距离.
因为 平面 ，所以 .
正方形 中， ，即 ，
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所以 为三棱锥 外接球的球心，则三棱锥 外接球的半径 ，
又三棱锥 的外接球表面积为 ，则 ，解得 ，
所以 .
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 为 的重心，
则 .
在 中， .
所以点 到平面 的距离为 .
8. 已知 ， ， ， ，…， 是平面内两两互不相等的向量，满足 ，且
（其中 ， ），则 的最大值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】将向量问题转化为平面几何中的点的问题：把 看作平面内的两个定点， 看作平面内的动点；
由 ，得两个定点之间的距离为 2；因为 ，所以动点到两个定点的距离分别为
1 或 2，分别以两个定点为圆心，1 和 2 为半径作圆；因为 是两两互不相等的向量，所以对应的动点是这
些圆的交点，那么 的最大值就是这些圆的交点的总数.
【详解】设 ， ， ；
， .
（其中 ， ），
可得 或 （ ， ）,以 和 为圆心，分别作以 1 和 2 的圆，各圆交
点的个数之和即满足题意的 ，如图所示.
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由图可知， 的最大值为 7.
二、多项选择题（本题共有 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目的要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 三个平面将空间分成 个部分，则 可能是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过三个平面不同位置关系逐个判断即可.
【详解】三个平面两两平行，分成 4 个部分，如图 1
三个平面中有 2 个平行，另一个与它们相交，分成 6 个部分，如图 2
三个平面两两相交于同一直线，分成 6 个部分，如图 3
三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成 7 个部分，如图 4
三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成 8 个部分，如图 5
综上可知， 可能是 4，6，7，8.A 错误，BCD 正确.
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10. 两名同学共提一个旅行包，作用在旅行包上的拉力分别为 ， ，已知 ，旅行包所受的
重力为 ， .设 ， 的夹角为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 越小时， 越大
B. 的最小值大于
C. 当 时，
D. 当 时， 与 夹角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由 ，通过平方结合， ，再
逐项判断即可.
【详解】由两名同学提包时受力平衡，因此 ，
两边取模平方得： ，
设 ，由题设 ， ，
代入整理得： ，
选项 A： 越小， 越大，分母 越大，因此 越小，A 错误；
选项 B：因为 ，
因此 的最小值为： ，
而 ，且 ，B 正确；
选项 C：当 ， ，代入得： ，
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因此 ，C 正确，
选项 D：当 ，设 与 的夹角为 ，
则 ， D 错误.
11. 在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点，点 满足 ，
， ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当 ， 时，直线 与 所成的角为
B. 当 ， 时，过点 有 3 条直线与 ， 所成的角都是
C. 若 ，则 与平面 所成角的最小值为
D. 当 ， 时，过点 作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系，再根据每个选项求解题中要求的数值.
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.
， ， ， ， ，所以 ，
， ，
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A 选项，当 ， 时， ，
， ，
，
所以直线 与 所成的角为 ，A 正确；
B 选项，当 ， 时， ，
，
设过 且与直线 和 所成角都是 的直线的方向向量为 ，
，
化简得 ——①
，
化简得 ——②
联立①②得： 或 ，
所以 或 ，或 ，
所以过点 有 3 条不同的直线与直线 和 所成角都是 ，B 正确.
C 选项， ， ，
平面 的法向量 ，
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因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，所以
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的最小值大于 ，C 错误；
D 选项，设正方体 的外接球球心为 ，半径为 ，
则 ， ，所以
当 ， 时， ，
所以 ， ，
设球心 到截面的距离为 ， ，即 ，
设截面截球所成的圆的半径为 ，则 ，所以 ，
截面面积 ，D 正确.
非选择题部分
三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知向量 ，与 平行的单位向量的坐标是______.
【答案】 或
【解析】
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【详解】 ， ；
与 平行的单位向量为 或 .
13. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘
徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上
， 两点与点 在同一条直线上，且在点 的同侧.若在 ， 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 和
，且 ，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为 ，根据直角三角形的性质得 ，
，利用 列式，化切为弦利用辅助角公式求得 ，代入球的体积公式即可求解.
【详解】如图，
设球的半径为 ， ， ，
， ，
，即该球体建筑物的体积为 .
故答案为：
14. 平面向量 ， ， 满足 与 的夹角为 ， ， .当 最大时，
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的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】将目标式合理变形，再结合题意与向量数量积的性质求解即可.
【详解】设 ， ，因为
，
所以两式子相除可得 ，
而 ，
由基本不等式得 ，
则 ，解得 ， ，
当且仅当 ， 时， 取到最大值 2.
由题意得 ，
若最大化 ，当且仅当 同号时，
最大，且变为 ，
由向量数量积的性质得 ，
又 ，当且仅当 时，等号取得，
此时 ，
则 ，故 取最大值 .
四、解答题（本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量 ， 是互相垂直的单位向量，向量 ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）若 ，求向量 在向量 上的投影向量（用 ， 表示）.
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【答案】（1） 或 .
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积，向量数量积运算律及向量垂直的充要条件求解即可.
（2）根据投影向量的计算公式计算即可.
【小问 1 详解】
由题意得 ， ，
因为 与 垂直，所以 ，
所以 ，即 ，所以 或 .
【小问 2 详解】
当 时， ，又 ，所以 ，
所以 在 上的投影向量为 .
16. 如图，在平面四边形 中， ， ， ， ， ，
求四边形 绕 所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据给定条件，确定几何体的形状，再利用圆锥、圆台表面积及体积公式求解.
【详解】作 于 ，由 ，得 ，又 ，则 ，
而 ， ， ，则 ，四边形 是直角梯形，
其上下底边长分别为 2 和 6，高为 4，四边形 绕 所在直线旋转一周所形成几何体是圆台，
并挖去一个以上底面为底面，高为 2 的圆锥，几何体的表面积
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；
， ，
所以所求体积为 .
17. 已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若边 上的中线 ， ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由射影定理和辅助角公式即可求解；
（2）由 ，通过平方，结合余弦定理和面积公式即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
由正弦定理角化边可得： ，
又 ，
所以 ，
故 ，又 为三角形内角， ，
所以 ，
第 15页/共 20页
即 ，
所以 ， .
因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，两边平方，
得 ，
故 . 因为 ，
即 ，
所以 .
所以 .
18. 现有两个含 角的全等直角三角板，较短直角边长均为 ，如图， 与 为这两个三
角板，其中 ， .初始时，两三角板的直角顶点重合于点 ，斜边
， 共线.现将两三角板绕点 平行展开，得到四棱锥 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设平面 平面 .
（ⅰ）求证： 平面 ；
（ⅱ）当二面角 的大小为多少时，四棱锥 的体积取得最大值？求出该最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 最大值 .
【解析】
【分析】（1）通过 ， 确定 ， 即可求证；
（2）（ⅰ）通过 平面 ，得到 ，即可求证；（ⅱ）作 ， ，确定
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是二面角 的平面角.设 .得到 ， .再结合体积
公式，结合三角函数性质即可求解.
【小问 1 详解】
由 与 平行且相等，得四边形 为平行四边形，
所以 为 ， 的中点.
又由于 ， ，所以 ， ，
又因为 ， 平面 ， ，所以 平面 .
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（ⅱ）作 ， ，垂足分别为 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角.
因为 ， 为 的中点，
所以 ，设 .
则 ， .
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 .
所以 .
当且仅当 ，即二面角 的大小为 时，四棱锥 的体积取得最大值 .
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19. 在 中， ， ， ，平面 上的动点 满足 ，且点 ，
在直线 的两侧.
（1）求 外接圆的直径；
（2）记 ，试将 表示为关于 的函数；
（3）设点 满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2） ， .
（3） .
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求得 ，再由正弦定理即可求解；
（2）在 中,由正弦定理得到 ，进而在 中，由正弦定理即可求解；
（3）由向量数量积的运算律，结合辅助角公式和二倍角公式得到 ，进而
可求解.
【小问 1 详解】
在 中，
由余弦定理 ，
由正弦定理可得 .
【小问 2 详解】
第 18页/共 20页
因为 ，故 四点共圆，
由圆的性质，同弧所对的圆周角相等，
故 ， ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得： ， .
【小问 3 详解】
因为 ，
所以
，锐角 满足 ， .
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时， ；
又 ， .
第 19页/共 20页
所以 .
第 20页/共 20页