福建省五所名校2025-2026学年高一下学期5月期中联考试题 数学（含解析）

这是一份福建省五所名校2025-2026学年高一下学期5月期中联考试题 数学（含解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的虚部为（ ）
A．B．0C．1D．6
2．中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．或
3．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．四边形的周长为
4．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ）

A．B．
C．D．
5．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直三棱柱
A．B．C．D．
7．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ）
A．8B．7C．6D．5
二、多选题
9．已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则或B．若，则
C．若，则是实数D．若，则
10．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是等腰直角三角形
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则
B．向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
C．若，、分别表示、的面积，则
D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形
三、填空题
12．已知向量的夹角为，，，则________．
13．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________.
14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
四、解答题
15．知复数，复数在复平面内对应的点为
(1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
(2)若复数满足，求复数的共轭复数.
16．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______.
(1)求；
(2)若为的中点，，，求的面积.
18．如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

(1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
(3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
(1)若，，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
1．C
根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2．A
由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.
【详解】由题意，在中，则，所以，
因为，所以或，又，所以．
故选：A
3．D
根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，
，故A、B错误；
对于C，四边形的面积为：，即C错误．
对于D，在原图形中，过作交于点，则，
由勾股定理得，
故四边形的周长为：，即D正确；
4．D
根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意，
.
故选：D
5．D
根据题意求得，根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由题意可得：，则，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
6．C
【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
7．C
解法一 连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果．
解法二 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果．
解法三 借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果．
【详解】解法一 ：如图所示：

连接，设，连接，依题意得，，，，
则，
．
因为，所以，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法二 如图，

以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得，，，
因为圆的半径为1，所以可设，
所以，，所以，
又，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法三 如图所示：

设，则．
可看成是在上的投影，
当点与重合时最小，最小值为，
当点与重合时最大，最大值为0，
故．
故选：C．
8．B
在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】在中，，设，则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，又，则，故，
故选：B.
9．ACD
根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解.
【详解】若，则或，故A正确；
若， ，满足，但，故B错误；
若，则是实数，故C正确；
若，则，得或，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；
对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；
对于D，由正弦定理，结合条件，
得，，
，，，，又，，
所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.
11．ACD
由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD.
【详解】对于A，由，故，故，故A正确；
对于B，由的夹角为锐角，得，且不共线，则，
解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，
故B错误；
对于C，如图
设，，由
得，
取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心，
设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知，
所以，则，故C正确；
对于D，如图，作的内角平分线与相交于点，
因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以，
所以，
所以.即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以，
即为等边三角形，故D正确.
故选：ACD.
12．
根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可.
【详解】因为向量的夹角为，，，
则，
可得，
所以.
故答案为：.
13．
先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积.
【详解】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，
故几何体的表面积为.
故答案为：.
14．
取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.
【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故答案为：
15．(1)20
(2)
（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
，
，
解得，所以.
（2），
.
16．(1)或
(2)，此时
（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.
(2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
（2）由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.
17．(1)
(2)
（1）根据所选条件，利用正弦定理将边化角，再利用和（差）角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）依题意可得，将两边平方根据数量积的运算律求出，再利用面积公式计算可得；
【详解】（1）解：若选①，
由正弦定理可得，因为，
所以，即，
因为，所以，所以，则.
若选②，则，
由正弦定理可得，又，
所以，即，因为，所以.
若选③，则，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，又，
所以，因为，所以.
（2）解：因为为的中点，所以，因为，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
18．(1)
(2)走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上
(3)小时
（1）在中根据正弦定理可得结果；
（2）在中根据余弦定理可得结果；
（3）在中由余弦定理可得结果.
【详解】（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，在中，
，由正弦定理得，
，
代入上式得：海里．
答：走私船与观测点的距离为海里；
（2）在中，海里，海里，，
．
，
，解得海里，
又，
且，所以，
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上．
（3）设小时后缉私艇在处追上走私船，则，
又，，
在中，由余弦定理得，
，化简得
解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．

19．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
（2）（ⅰ），所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
（ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，设
，，
，所以，
所以，
，
当四点共线时，最短，
所以
所以的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
D
D
C
C
B
ACD
AD
题号
11









答案
ACD