2026届河北省承德市重点中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届河北省承德市重点中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共53页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知向量满足,且与的夹角为,则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集为，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )
A．2020B．4038C．4039D．4040
3．已知等差数列的前13项和为52，则（ ）
A．256B．-256C．32D．-32
4．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
5．若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（ ）
A．B．2C．1D．3
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是( )
A．B．C．D．
7．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( )
A．B．C．D．
8．已知向量满足,且与的夹角为,则( )
A．B．C．D．
9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：
①曲线有四条对称轴；
②曲线上的点到原点的最大距离为；
③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；
④四叶草面积小于.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
10．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
11．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知全集，集合则_____．
14．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
15．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）
16．已知命题：，，那么是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．
18．（12分）已知，设函数
(I)若，求的单调区间：
(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：…为自然对数的底数.
19．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
21．（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
22．（10分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,
再由交集的定义求解即可.
【详解】
,
,.
故选:D
【点睛】
本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.
2、D
【解析】
计算，代入等式，根据化简得到答案.
【详解】
，，，故，
，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3、A
【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.
【详解】
由，，得.选A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.
4、D
【解析】
计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
5、B
【解析】
根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.
【详解】
解：由已知得，，，经检验满足题意.
，.
由得；由得或.
所以函数在上递增，在上递减，在上递增.
则，，
由于，所以在区间上的最大值为2.
故选：B.
【点睛】
本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题．
6、A
【解析】
根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.
【详解】
中，，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，得.
D是AB的中点，且，
，即，
即，
，当且仅当时，等号成立.
的面积，
所以面积的最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.
7、B
【解析】
首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，
那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.
【详解】
的最小正周期为，
那么(∈)，
于是，
于是当时，最小值为，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.
8、A
【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
9、C
【解析】
①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.
【详解】
①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有四条对称轴，故正确；
②：因为，所以，
所以，所以，取等号时，
所以最大距离为，故错误；
③：设任意一点，所以围成的矩形面积为，
因为，所以，所以，
取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；
④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明.
10、D
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为，连接，，，
设，则，，，
，根据对称性知四边形为矩形，
中：，即，解得；
中：，即，故，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
11、B
【解析】
作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.
【详解】
如下图所示：
设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，
四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，
四边形为平行四边形，且，
且，且，则四边形为平行四边形，
，平面，则存在直线平面，使得，
若平面，则平面，又平面，则平面，
此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，
所以，平面，，平面，
平面，平面平面，，
，所以，四边形为平行四边形，可得，
为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12、C
【解析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据补集的定义求解即可.
【详解】
解：
．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了补集的运算,属于基础题.
14、
【解析】
直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，故，当时，，
故，解得.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15、-40
【解析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数
【详解】
的二项展开式的通项公式为，
r=0，1，2，3，4，5，
令，
所以的二项展开式中x项的系数为.
故答案为：-40.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
16、真命题
【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】
已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，
故答案为：真命题
【点睛】
本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.
【详解】
（1），，
由正弦定理得：，
即，
，，，
又，.
（2）在锐角中，，．
．
，，，，
函数的值域为．
【点睛】
本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.
18、 (I)详见解析；(II)
【解析】
(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.
(II) ，故，取，，求导得到单调性，得到，得到答案.
【详解】
(I) ，，
当时，恒成立，函数单调递增；
当时，，，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增.
综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.
(II) 在上恒成立；
，故，
现在证明存在，，使的最小值为0.
取，，（此时可使），
，，
故当上时，，故，
在上单调递增，，
故在上单调递减，在上单调递增，故.
综上所述：的最大值为.
【点睛】
本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）由条件建立关于的方程组，可求得，得出椭圆的方程；
（2）①当直线的斜率不存在时，可求得，求得，②当直线的斜率存在且不为0时，设 联立直线与椭圆的方程，求出线段，再由得出线段，根据等差中项可求得，得出结论.
【详解】
（1）由条件得，所以椭圆的方程为：；
（2），
①当直线的斜率不存在时，，此时,
②当直线的斜率存在且不为0时，设,联立 消元得，
设，
，
直线的斜率为，同理可得
，
所以，
综合①②，存在常数，使得成等差数列.
【点睛】
本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.
【详解】
（1），，
为等边三角形，，椭圆的标准方程为．
（2）设四边形的面积为．
①当直线的斜率不存在时，可得，，
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立得：，
，，．
，，，，
面积．
令，则，，
令，则，，
在定义域内单调递减，．
综上所述：四边形面积的取值范围是．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.
【详解】
（1）∵平面ABCD，平面ABCD.
∴.
又∵底面ABCD是菱形，∴.
∵，∴平面BDE，
设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，
，，四边形OCFG是平行四边形
，平面BDE
∴平面BDE，
又因平面BEF，
∴平面平面BDE.
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
∵BE与平面ABCD所成的角为，
，
，，，，.
，
设平面BEF的法向量为，，
，
设平面的法向量
设二面角的大小为.
.
【点睛】
本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
22、≤x≤
【解析】
由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于2.
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.