2026届广西贵港市港南中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广西贵港市港南中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知，则，已知三棱柱等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若变量，满足，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．10
3．设集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
4．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
7．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知三棱柱( )
A．B．C．D．
11．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______.
14．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_______．
15．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
16．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.
（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求与该平面所成角的正弦值.
18．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点
（1）求椭圆的方程；
（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.
19．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，，求数列的前n项和．
20．（12分）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
21．（12分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
22．（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.
【详解】
抛物线，则焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可得，
圆，圆心为，半径为，
点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，
则的周长为，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.
2、D
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：
如图点坐标分别为，
目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.
故选：D
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
3、D
【解析】
根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.
【详解】
根据题意，
则
故选：D
【点睛】
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
4、A
【解析】
由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.
【详解】
解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），
∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，
设＝(a，b)，，
则，
即，
又，
解得：，
∴，
对应复数为.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
5、D
【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】
解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
6、A
【解析】
根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，又为锐角
所以，
根据三角函数的定义：
所以
由
所以
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.
7、B
【解析】
先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
不超过的素数有：、、、、、，
在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，
其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直角三角形的斜边长为，
利用等面积法，可得其内切圆的半径为，
所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9、D
【解析】
根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.
【详解】
因为，所以，所以是减函数，
又因为，所以，，
所以，，所以A,B两项均错；
又，所以，所以C错；
对于D，，所以，
故选D.
【点睛】
这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
10、C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
11、B
【解析】
可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】
，，则，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
12、B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得，解得，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，，，，
根据，即，，，则，
，即，，，则，，
所以，
，
，，，
，且，
故，
设，，易知二次函数的对称轴为，
故函数在，上的最大值为，最小值为，
故的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．
14、
【解析】
由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案．
15、2
【解析】
先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】
解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
16、.
【解析】
.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）.
【解析】
（1）与平面垂直，过点作与平面平行的平面即可
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中，，，，分别为边，，，，的中点，则垂直于平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则.
不妨取，则，
所以与该平面所成角的正弦值为.
（若将作为该平面法向量，需证明与该平面垂直）
【点睛】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.
18、（1）（2）或
【解析】
（1）由已知条件得到方程组，解得即可；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为
联立，消元整理得，，
由，解得
设弦中点坐标为，
所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，
即满足，即，
解得或
【点睛】
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）因为，所以，所以，
所以数列是等差数列，
设数列的公差为，由可得，
因为成等比数列，所以，所以，所以，
因为，所以，
解得（舍去）或，所以，所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以．
20、（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】
（1）成等比数列，，即，
，解得：，
.
（2）由（1）得：，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
22、（1） （2）9060元
【解析】
(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.
【详解】
解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则
.
（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，
，
，
，
所以（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.
【点睛】
本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10