2026届广西南宁市三十三中学高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份2026届广西南宁市三十三中学高三第三次测评数学试卷含解析，共15页。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
2．若（），，则（ ）
A．0或2B．0C．1或2D．1
3．已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( )
A．B．C．D．
4．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对B．3对
C．4对D．5对
5．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
6．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A．B．C．6D．与点O的位置有关
7．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）.
A．6B．5C．4D．3
8．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）
A．55B．500C．505D．5050
9．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（ ）
A．B．4C．5D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A．B．2
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足对任意，，则数列的通项公式__________.
14．函数过定点________.
15．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．
16．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
18．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
（1）求的极值点与极值.
（2）当，时，证明：.
19．（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）当时，求的面积；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.
20．（12分）中，内角的对边分别为，.
（1）求的大小；
（2）若，且为的重心，且，求的面积.
21．（12分）已知数列和满足，，，，.
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求正整数的值.
22．（10分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.
【详解】
在上投影为，即

又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
2、A
【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于（），，所以，解得或.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
3、B
【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.
【详解】
∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，
∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，
∴，∴，故的标准方程为.
故选：B
【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.
4、C
【解析】
画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面平面，
同理可证：平面平面，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
5、C
【解析】
由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间
上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.
6、B
【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.
【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面上，高为2，
所以四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
7、C
【解析】
若对任意的恒成立，则为的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值时的n即可.
【详解】
由已知，，又三角形有一个内角为，所以，
，解得或（舍），
故，当时，取得最大值，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
8、C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
9、D
【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出 的值.
【详解】
解：，即
，即.
，则.
，解得.
，
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角 的正弦值余弦值.
10、C
【解析】
由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P一定在左支上.
由及，得，，
再结合M为的中点，得，
又因为OM是的中位线，又，且，
从而直线与双曲线的左支只有一个交点.
在中.——①
由，得. ——②
由①②，解得，即，则渐近线方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
11、A
【解析】
根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示，平面，从而平面，
易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∴结合四个选项可知，只有正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
12、A
【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC的高为AO＝，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用累加法求得数列的通项公式，由此求得的通项公式.
【详解】
由题，
所以
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
14、
【解析】
令，，与参数无关，即可得到定点.
【详解】
由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关，
所有过定点.
故答案为：
【点睛】
此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.
15、
【解析】
先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.
【详解】
解:依题意设切点,
因为,
则,
又因为曲线在点处的切线为,
,解得,
又因为点在第四象限内,则,
.则
又因为点在切线上.
所以.
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.
16、
【解析】
根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.
【详解】
由指数函数与对数函数图象可知：，
恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，
的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
当时，，又，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）更适宜（2）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气
【解析】
（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；
（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.
（2）由公式可得：，
，
所以所求回归方程为.
（3）设，则煤气用量，
当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小.
故x为2时，烧开一壶水最省煤气.
【点睛】
本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.
18、（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为.
，由已知得，解得
∴，
令，得
令，得，∴在上单调递增.
令，得∴在上单调递减
∴的极小值点为，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，∴，
令，
即
∵，， ∴恒成立.
∴在上单调递增
又，∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴， 即
∴
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
19、（1）；（2）或
【解析】
（1）联立直线的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形的面积.
（2）法一：根据的坐标求得的坐标，将的坐标都代入椭圆方程，化简后求得的坐标，进而求得的值.
法二：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合求得点的坐标，进而求得的值.
【详解】
（1）设，，
若，则直线的方程为，
由，得，
解得，，
设直线与轴交于点，则且
.
（2）法一：设点
因为，，所以
又点，都在椭圆上，
所以
解得或
所以或.
法二：设
显然直线有斜率，设直线的方程为
由，得
所以
又
解得或
所以或
所以或.
【点睛】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理，转化为，分析运算即得解；
（2）由为的重心，得到，平方可得解c,由面积公式即得解.
【详解】
（1）由，由正弦定理得
C，即
∴
∵∴，
又∵
∴
（2）由于为的重心
故，
∴
解得或舍
∴的面积为.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）,；（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.
（Ⅱ）由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可.
【详解】
（Ⅰ）因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.
又当时, ,解得.
当时, …①
…②
①-②有,即.当时也满足.故为常数列,
所以.即.
故,
（Ⅱ）因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.
设,则,
又,
又当时,时.
当时,因为
.
故.
综上可知.故随着的增大而增大,故,故
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.
【详解】
（1），，
由正弦定理得：，
即，
，，，
又，.
（2）在锐角中，，．
．
，，，，
函数的值域为．
【点睛】
本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.