2026湖南省师大附中等学校高一下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2026湖南省师大附中等学校高一下学期期中联考数学试题含解析，共3页。试卷主要包含了 设集 ， 若 ，则， 已知直四棱柱 的棱长均为 ， 在 中， ，则 的面积可以是等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一､选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 设集 .集合 .则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到集合 ，再利用集合的交集求解.
【详解】
又 ，所以
故选：B
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘法运算求解判断.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
3. 如图，在 中， ， 为 CD 的中点，设 ， ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
【详解】由已知得
.
故选：D.
4. 函数 的图象关于直线 对称的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数 的图象，再结合对称性可得合适的选项.
【详解】函数 的图象可视为将函数 的图象向上平移 个单位，
所以，函数 的图象如下图所示：
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所以，函数 的图象关于直线 对称的函数的图象如 A 选项中的图象.
故选：A.
5. 若 外接圆的半径为 ，内角 的对边分别为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知等式由正弦定理边化角解得 ，又 ，可求 的值.
【详解】由 ，有 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 或 ，
又 ，所以 应舍去，则 .
又 ，解得 .
6. 若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 ， 夹角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 ， 与 即可确定 在 上的投影与 在 上的投影， 方向为 x 轴正方向
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建立平面直角坐标系，即可确定 ， 的横坐标，设出坐标由 得到两向量纵坐标的关系后，列出
， 夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定 ， 夹角的范围，注意
即 ， 的夹角为锐角.
【详解】设 ， ， ，以 O 为原点， 方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，
， ， ，
， ， 三者直接各自的夹角都为锐角，
， ， ，
， ，即 在 上的投影为 1， 在 上的投影为 3，
， ，如图
，
即 ，且
则 ，
由基本不等式得 ，
，
与 的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得： 与 夹角的取值范围是 ，
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故选：C.
7. 已知函数 ，当 时，方程 的根的个数是
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出函数 的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即
可得到结果.
【详解】
设 ，则 ，即 ，故 ，
因为 ，故 ，画出 的大致图象，由图象可知 与 共有 6 个公共点，
故原方程共有 6 个根.
故选：D.
8. 已知直四棱柱 的棱长均为 .以 为球心， 为半径的球面与侧面
的交线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出平面 截球面的截面圆的圆心是 的中点 ，再找到截面圆的半径和交线.
【详解】如图，取 的中点为
因为 ，直四棱柱 的棱长均为 2，
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所以 为等边三角形，所以 ，
又四棱柱 为直四棱柱，
所以 平面 ，
又 在平面 内，故 ，
因为 侧面 ，所以 侧面 ，
设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，
因为球的半径为 ，所以 ，
所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，
取 的中点为 的中点为 ，连接 、 ，
则 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，
则 ，所以 ，根据弧长公式可得 .
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 在 中， ，则 的面积可以是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
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【详解】解：∵ ，
由余弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，或 ，
∴由 的面积公式 得 或 ，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．
10. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数 的最小正周期为
C. 函数 的图象关于点 成中心对称
D. 函数 的一个单调递减区间为
【答案】BD
【解析】
【分析】先由三角函数的图象变换求出 的值并判断选项 A，再求出 的解析式，然后根据三角函数的
性质逐项判断 B，C，D 即可得解.
【详解】 的图象向右平移 个单位长度后得到
，
而 ，则 ，即 ，A 不正确；
此时 ，其周期 ，B 正确；
由 ，得 ，即 的对称中心为 ( )，C 不
正确；
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由 ，解得 ，即 的单调减区
间为 ，
当 时， 是函数 的一个递减区间，D 正确.
故选：BD
11. 已知正方体 的棱长为 1，平面 与对角线 垂直，则（ ）
A. 该正方体的每条棱所在直线与平面 所成角均相等
B. 平面 截该正方体所得截面面积的最大值为
C. 直线 与平面 内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D. 当平面 与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面 位置变化时，平面 始终与对角线垂直入手去考虑.
【详解】对于 A，因为平面 与对角线 垂直，又 平面 ，
所以平面 与平面 平行或重合，而正方体各棱与平面 所成角，即为体对角线 与正方体各
棱所成角的余角，
由正方体的对称性易得体对角线 与正方体各棱所成角均相等，
故直线 与平面 所成角也相等，故 A 正确；
对于 B，当平面 沿对角线 平行移动时，
只有当平面 移动到平面 （ 分别为所在棱的中点）时，面积最大.
又由题易知，六边形 为正六边形，可求得 ，
则平面 截此正方体所得截面面积的最大值为 ，故 B 错误；
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对于 C，直线 与平面 内任一直线所成角的正弦值的最小值，
即为直线 与平面 所成角的正弦值，不妨取平面 为平面 ，又 ，
故等价于求 与平面 所成角，设 与平面 交于点 ，
因为 平面 ，所以 为所求角，
，则 ，故 C 正确；
对于 D，当平面 与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，
，
同理可得
当平面 与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 ，故 D 正确.
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三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 一个圆台的母线长为 5，上、下底面圆直径长分别为 2，8，则圆台的高为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直
角梯形的性质求得.
【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形 ，
其中上底长为 2，下底长为 8，腰长为 5，如图所示：
作 CD⊥AB 与 E,则 CE 为圆台的高 h,
∴高 h＝ .
故答案为：4
13. 已知 P 是一个圆锥的顶点， 是母线， ，该圆锥的底面半径是 1．B、C 分别在圆锥的底面上，
则异面直线 与 所成角的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过 作 交底面圆锥于 点，则 为异面直线 与 所成角，结合余弦定理与
余弦函数的性质即可得 的取值范围，从而得所求最值.
【详解】
如图，过 作 交底面圆锥于 点，连接 ，
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因为 ，则 为异面直线 与 所成角，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，函数 在 上单调递减，所以 ，
故异面直线 与 所成角的最小值为 .
故答案为： .
14. 已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，则 的取值范围为______
．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得 ，从而可求得 的一个大范围，根据 ，可得
，再由 的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为函数 在区间 上有且仅有一个零点，
所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，
由 ，得 ，
当 ，即 时，
则 ，解得 ，
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所以 ，
当 ，即 时，
则 ，解得 ，
综上所述： 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 或 的形式；
（2）将 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 或余弦函数 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称
性、单调性等）解决相关问题.
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可；
（2）由 ，平方可得 ，再根据数量积的坐标运算可求得 ，再根据二倍角的正余弦
公式及平方关系化弦为切即可得解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，即 ，
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所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以
.
16. 如图，在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 为棱 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）若 为棱 上一点，且 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，根据线面平行的判定定理可得 平面 ；
（2）根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；
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（3）根据线面垂直的判定定理证得 平面 ，得 为直线 与平面 所成的角可得
答案．
【小问 1 详解】
连接 交 于点 ，连接 ．
在 中， 为 的中点， 为 的中点．
是 的中位线，
，
平面 平面 ，
平面 ；
【小问 2 详解】
在正三棱柱 中，
平面 平面 ，
，
在等边 中， 为 的中点，
，
又 是平面 内的两条相交直线，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
【小问 3 详解】
连接 ，
和 都是直角三角形，且 ，
，
，
，
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由（2）得，平面 平面 ，平面 平面 ，又 平面 ，
平面 ，则 为直线 与平面 所成的角．
在 中， ，则
所以直线 与平面 所成角的正切值为 .
17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成 3 个功能区： 区域为桃树林和
散养走地鸡， 区域为“民宿”供游客住宿及餐饮， 区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知
.
（1）若 ，求 和 的长度；
（2）当 为何值时，鱼塘 的面积最小，最小面积是多少？
【答案】（1） ，
（2）15°时面积最小，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）先根据题干条件得到 ，利用余弦定理求出 ，进而求出
；
（2）设 ，应用正弦定理及三角形面积公式可得 ，
再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.
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【小问 1 详解】
在 中， ，
则 ，所以 ，
在 中， ，
所以 .
于是 ，
在 中，
，
在 中， ，所以 .
【小问 2 详解】
设 ，
在 中 ，得 ，
在 中， ，得 ，
所以 的面积
因为 ，所以当 时面积最小，最小值为 .
18. 已知函数 .
（1）若集合 .
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（i）若函数 为奇函数，求不等式 的解集；
（ii）若函数 为偶函数，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；
（2）设 若对于区间 上的任意实数
，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2） .
【解析】
【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得 ，通过 换元，求解得出得 或 ，再解指数
不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得 ，通过 换元， 由单调性求得
，原式化为 ，结合单调性即可求解.
（2）根据偶函数特征与函数的单调性求得 的值域为 .由不等式
恒成立，根据 的正负分情况解不等式即可求得其取值范围.
【小问 1 详解】
（i）因为函数 为 上的奇函数，故 ，解得 ，
则 ，此时因 ，函数 为奇函数，
则不等式 ，设 ，代入整理得 ，
解得 或 （舍），即 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
（ii）因为函数 为偶函数，故 ，
即 ，因 不恒为 0，故 ，则 ，
则 （*），
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设 ，因 ，则 ，
而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
由（*）左式可得 ，
则（*）可化为 ，
因函数 在 上单调递减，则 ，
故 .
【小问 2 详解】
根据（1）知，
当 时， ，设 ，则 ，
此时函数 在 上单调递增，则 ；
当 时， ，设 ，则 ，
此时函数 在 上单调递增，故 ，
又函数 在 上为偶函数，故当 时，
.
综上所述， 的值域为 .
因对于区间 上的任意实数 ，不等式 恒成立，
则当 时，即 ，即 ，解得 ，则 ；
当 时，即 ，即 ，显然成立；
当 时，即 ，即 ，解得 则 .
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综上所述， .
19. 已知复数 的三角形式是 ，其中 是复数 的模， 是复数 的
辐角.当 时， 称为辐角的主值，记为 .复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的
几何意义：若 ，则
.即模相乘，辐角相加.
（1）写出复数 的三角形式，并计算 （三角形式），由此归纳出 的三角形式；
（2）设复平面上单位圆内接正十六边形的 16 个顶点对应的复数依次为 （逆时针顺序），其中
.求复数 在复平面所对应不同点的个数；
（3）设复数 不全为实数， ，证明： .
【 答 案 】 （ 1）
（2）8 个 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)写出 的三角形式，再观察规律；
(2) 根据三角函数的周期性求解；
(3) 根据 导出三角关系再求解.
【小问 1 详解】
，故 .故 .
【小问 2 详解】
正十六边形每边对应的圆心角为 ，故任意一个顶点逆时针旋转 可得到下一个顶点，
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即 .
故 ，
由三角函数的周期性知， ，即 以 8 为周期，所以一共对应 8 个不同的点.
【小问 3 详解】
设 是复数 的辐角主值， 是复数 的辐角主值，
，则 .
，即
，
即 .
又因为 ，所以 .
采用反证法：假设 ，因为 不全为实数，则 ，所以
.
即 ，进一步得到 ，
又 ，所以 ，所以 ，
故 ，这与 矛盾，故假设不成立，
从而 .
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