2026年八年级数学下学期第一次学情自测 拔尖卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第19章 二次根式~第20章 勾股定理）

这是一份2026年八年级数学下学期第一次学情自测 拔尖卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第19章 二次根式~第20章 勾股定理），共10页。
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知a=4，b2=6，且a−b2=b−a，则a+b的值为（ ）
A．−2或−10B．2或10C．10D．−10
【答案】B
【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算a+b即可．
【详解】解：∵a=4，
∴a=±4，
∵b2=b=6，
∴b=±6，
∵a−b2=a−b=b−a，
∴b−a≥0，即b≥a，
∵b=−6时，无论a取4或−4，都不满足b≥a，故舍去，
∵b=6时，a=4和a=−4都满足b≥a，
当a=4时，a+b=4+6=10，
当a=−4时，a+b=−4+6=2，
∴a+b的值为2或10．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定△ABC是等腰直角三角形成为解题的关键．
如图：连接BC，先运用勾股定理求出△ABC的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出△ABC是等腰直角三角形，进而得出∠BAC的度数即可．
【详解】解：如图：连接BC，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，
∵10+10=20，
∴AC2+CB2=AB2，AC2=CB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°．
故选：B．
3．（25-26八年级上·全国·期末）计算10+3202610−32025的结果是（ ）
A．10−3B．10+3C．－3D．3
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为10+3202510−3202510+3，逆用积的乘方计算即可．
【详解】解：10+3202610−32025
=10+3202510−3202510+3
=10+310−3202510+3
=10−9202510+3
=1202510+3
=10+3．
故选：B．
4．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰Rt△ACD，斜边AD=4，分别以的边AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（ ）
A．4B．4πC．2πD．π2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，然后确定出S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作CB⊥AD于点B,
∵等腰Rt△ACD，斜边AD=4，
∴AC2+CD2=AD2，CB=12AD=2
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD=12π×14AD2=18πAD2 ，S半圆AEC=12π⋅14AC2=18πAC2， S半圆CFD=12π⋅14CD2=18πCD2，
∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为S半圆AEC+S半圆CFD+S△ACD−S半圆ACD=S△ACD，
∵△ACD的面积=12×2×4=4，
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为4，
故选：A．
5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为3，则最后输出的结果是（ ）
A．25B．27C．15+73D．25+3
【答案】C
【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键．
根据流程图的计算公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意，当输入n=3时，nn+1=3×3+1=3+3，
∵3+326，
∴输出的结果为15+73．
故选：C．
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=3，CD=1，AB=BC=5，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．5B．4C．10D．8
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
连接AC，由勾股定理求得AC=10，再由勾股定理逆定理可得∠ADC=∠ABC=90°，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可求解．
【详解】解：连接AC，如图：
∵∠ADC=90°，AD=3，CD=1，
∴AC=AD2+CD2=32+12=10，
又∵AB=BC=5，
∴AC2=BC2+AB2=52+52=10，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=5×52+3×12=4，
故选：B．
7．（24-25九年级下·云南昆明·月考）一组数据按一定规律排列：−2，2，−6，22，−10，23，−14，…这组数据的第n项是（ ）
A．−2nB．2nC．(−1)n2nD．(−1)n+12n
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征．
观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式．
【详解】将数据统一化为二次根式形式：
第1项：−2=(−1)12×1；
第2项：2=4=(−1)22×2；
第3项：−6=(−1)32×3；
第4项：22=8=(−1)42×4；
由此可见，符号规律为(−1)n，根号内的数字为2n，
∴这组数据的第n项是(−1)n2n．
故选：C．
8．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2025的值为（ ）
A．122020B．222021C．222023D．122022
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得S1=4，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得2DE2=CD2=S1，即可得出S2=DE2=S12，同理可得S3=12S2=S122，从而得出规律Sn=S12n−1，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S1=CD2=22=4，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴2DE2=CD2=S1，
∴S2=DE2=S12，
同理可得：S3=12S2=S122，
∴Sn=S12n−1，
∴S2025=S122024=422024=122022，
故选：D．
9．（2024·天津·模拟预测）11−1011+10的小数部分是（ ）
A．21−2110B．22−2110C．20−5110D．25−3110
【答案】A
【分析】本题考查分母有理化、无理数的大小估计，先将二次根式分母有理化，判断无理数部分的范围，然后根据不等式的性质，求出整个式子值的范围，求出其整数部分，最后即可求出其小数部分得到答案．
【详解】解：11−1011+10=11−10×11−1011+10×11−10=11−102=21−440
∵2020，
∴21−440的整数部分为0，小数部分为21−440=21−2110，
故选：A．
10．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路AB和铁路CD在点O处交汇，∠BOD=45°，公路AB上E处距离O点1202m．若火车行驶时，周围150m内会受到噪音的影响，则火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点E作EH⊥AB于H，点E、F在AB上，且GE=EF=150m，利用三角函数的定义求出EH=120m，利用勾股定理求出GH、HF的长，即可得出GF的长，根据时间=距离÷速度即可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，点G、F在CD上，且GE=EF=150m，
由题意可知：OE=1202m，∠HOE=45°，
∴EH=OE⋅sin45°=120m，
∵火车行驶时，周围150m以内会受到噪音的影响，
∴当火车行驶在E、F之间时，会受到噪音的影响，
∴GH=PG2−EH2=1502−1202=90m，
同理可得：HF=90m，
∴GF=180m，
∵火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶，72km/h=20m/s，
∴点E处受噪音影响的时间为180÷20=9s．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a,b,c，三角形的面积S=14a2b2−a2+b2−c222．若a=22,b=3,c=1，则S的值为_________________．
【答案】2
【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．
【详解】解：S=14a2b2−a2+b2−c222
将a=22，b=3，c=1代入上式：
14(22)2×32−(22)2+32−1222
=148×9−8+9−122
=1472−1622
=1472−82
=14[72−64]
=14×8
=2
故答案为：2．
12．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，若AB=9，AD=12，则ED= ______．
【答案】4.5
【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得CD′=CD=9，DE=D′E，求出AD′=6，设DE=x，则D′E=x，AE=12−x，再根据勾股定理可得方程12−x2=62+x2，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，
∴CD=9，∠D=90°，
由勾股定理得：AC=92+122=15，
∵将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，
∴CD′=CD=9，DE=D′E，
∴AD′=AC−CD′=15−9=6，
设DE=x，则D′E=x，AE=12−x，
在Rt△AED′中：由勾股定理得AE2=AD′2+D′E2，
∴12−x2=62+x2，
解得：x=4.5，
∴ED的长为4.5，
故答案为：4.5．
13．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知a，b满足8−a+a−8=b+9，则a+b2025的值为______．
【答案】−1
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得8−a≥0,a−8≥0，得出a=8，进而求得b=−9，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵8−a，a−8有意义，
∴8−a≥0,a−8≥0，
∴a=8，
∵8−a+a−8=b+9，
∴b+9=0
∴b=−9
∴a+b2025=8−92025=−1
故答案为：−1．
14．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积S=______．
【答案】36
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接AC，在直角△ABC中，根据勾股定理可以求得AC=5，在△ACD中，可得AC2+CD2=AD2，根据勾股定理的逆定理确定△ADC为直角三角形，四边形ABCD的面积为△ACD和△ABC面积之和．
【详解】解：连接AC，
在直角△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=5，
又∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴Rt△ABC的面积为12×3×4=6，Rt△ACD的面积为12×5×12=30，
∴四边形ABCD的面积为△ACD和△ABC面积之和，即S=30+6=36．
故答案为：36．
15．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：x−2+x−4=3，则x−2−x−4的值为_________．
【答案】23
【分析】本题考查二次根式的混合运算，设a=x−2，b=x−4，则a+b=3，利用平方差公式，a+ba−b=a2−b2，计算a2−b2的值，再代入已知条件求解a−b即可．
【详解】解：x−2+x−4=3，
设a=x−2，b=x−4，则a+b=3．
∴a2−b2=x−2−x−4=2，
∵a+ba−b=a2−b2，
∴3a−b=2，
∴a−b=23，
即x−2−x−4=23．
故答案为：23．
16．如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，AD=DE=4，BE=1，当CD长为________________△ABC为直角三角形．
【答案】3或2或134．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，AB2=AF2+BF2=25,
AC2=AD2+CD2=16+CD2,
BC2=CE2+BE2=(CD+4)2+1=CD2+8CD+16+1,
当△ABC为直角三角形时，AB2+AC2=BC2,
即25+16+CD2=CD2+8CD+16+1,
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，AB2=AH2+BH2=25,
AC2=AD2+CD2=16+CD2,
BC2=CE2+BE2=(4−CD)2+1=CD2−8CD+16+1,
由AB2=AC2+BC2得：25=16+CD2+CD2−8CD+16+1,
解得：CD=2,
同理可得：当∠ABC=90°时，CD=134.
综上：CD的长为：3或2或134．
故答案为：3或2或134．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）化简：
(1)0.2m+1m5m3−m125m；
(2)13x4y⋅−4y2x÷34xy2．
【答案】(1)−1955m
(2)−169xy
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可．
【详解】（1）解：0.2m+1m5m3−m125m
=5m5+1m×m5m−m×55mm
=5m5+5m−55m
=−1955m．
（2）13x4y⋅−4y2x÷34xy2
=x2y3⋅−4yxx÷3yx4
=x2y3⋅−4yxx⋅43yx
=−169xy．
18．（6分）（25-26八年级上·广东茂名·期中）可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．
例如：12=22×2=22，13−2=3+23−23+2=3+232−22=3+2−1=−3−2
(1)53分母有理化的结果是_____，16+7分母有理化的结果是_____；1n+n+1分母有理化的结果是_________；
(2)利用以上知识计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12024+2025．
【答案】(1)533，7−6，n+1−n
(2)44
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用分母有理化的定义进行计算；
（2）先进行分母有理化，然后合并计算，即可作答．
【详解】（1）解：53=533×3=533，
16+7=7−67+67−6=7−672−62=7−67−6=7−6，
1n+n+1=n+1−nn+1+nn+1−n=n+1−nn+12−n2=n+1−nn+1−n=n+1−n，
故答案为：533，7−6，n+1−n；
（2）解：由（1）得1n+n+1=n+1−n，
依题意， 11+2+12+3+13+4+…+12024+2025
=2−1+3−2+4−3+⋯+2025−2024
=2025−1
=45−1
=44．
19．（8分）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．

(1)若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB=∠ACF；
(3)求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】(1)20°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AC=AE，再证AB=AE，得到∠ABE=∠AEB，然后由三角形内角和定理求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，再由SAS推出△BAF≌△CAF，得出∠ABF=∠ACF，由（1）得，∠ABE=∠AEB，从而即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得BF=CF，由三角形外角的性质可得∠CFG=∠EAG=90°，然后由勾股定理得EF2+BF2=EF2+CF2=CE2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ △ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，
∴AC=AE，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵ ∠BAC=50°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=50°+90°=140°，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
∴∠ABE=∠AEB=180°−∠BAE2=180°−140°2=20°；
（2）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF，
在△BAF和△CAF中，
AB=AC∠BAF=∠CAFAF=AF，
∴△BAF≌△CAFSAS，
∴∠ABF=∠ACF，
由（1）得，∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）证明：由（2）得：△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AGF=∠AEB+∠EAG，∠AGF=∠ACF+∠CFG，∠AEB=∠ACF，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴在Rt△CFE中，EF2+BF2=EF2+CF2=CE2，
∵ △ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，
∴AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，
∴EF2+BF2=2AC2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【答案】(1)假
(2)45°
(3)见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识．
（1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可；
（2）根据题意得到a=c，根据“类勾股三角形”的定义得到ac+a2=b2，得到△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出∠A；
（3）在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到∠CDB=∠B，根据等腰三角形的性质得到DE=BE=12(c−a)，根据勾股定理计算，得到b2=ac+a2，根据“类勾股三角形”的定义证明结论．
【详解】（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a2=c2，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得：b2+a2=c2，
∴ab+a2=b2+a2，
∴a=b，
∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：∵AB=BC，AC>AB，
∴a=c，b>c，
∵ △ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2=b2，
∴c2+a2=b2，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
（3）证明：在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，
∵∠B=2∠A，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB=a，
∴AD=CD=a，
∵BC=a， AB=c，
∴DB=AB−AD=c−a，
∵CE⊥AB，
∴DE=BE=12(c−a)，
∴AE=AD+DE=a+12c−a=12a+c，
在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=b2−12c+a2，
在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2=a2−12c−a2，
∴b2−12a+c2=a2−12c−a2，
整理得b2=ac+a2，
∴ △ABC是“类勾股三角形”．
21．（10分）（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式2−32=12；
第2个等式3−53=213；
第3个等式4−74=314；
第4个等式5−95=415；
第5个等式6−116=_________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若a−23a=b112（a，b均为正整数），则b−a的值为_________．
【答案】(1)516
(2)n+1−2n+1−1n+1=n1n+1
(3)见解析
(4)−1
【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解．
【详解】（1）解：6−116=36−116=256=516，
故答案为：516；
（2）解：第n个等式为n+1−2n+1−1n+1=n1n+1，
故答案为：n+1−2n+1−1n+1=n1n+1；
（3）证明：n+1−2n+1−1n+1
=n+12−2n+1+1n+1
=n+1−12n+1
=n2n+1
=n1n+1；
（4）解：根据n+1−2n+1−1n+1=n1n+1和a−23a=b112，得
2a−1=23b=12−1，
解得a=12b=11，
∴b−a=11−12=−1，
故答案为：−1．
22．（10分）如图，已知点B在线段AE上，分别以AB，BE为边长在AE上方作正方形ABCD，BEFG，点P为AB中点，连接CF，CP，FP．设AB=a，BE=b．

(1)若a=2b，判断△CPF的形状为______；
(2)请用含a，b的式子表示△CPF的面积；
(3)若△CPF的面积为6，AE=6，求AB的长．
【答案】(1)等腰三角形
(2)14ab+14a2
(3)AB=4
【分析】（1）利用正方形性质和勾股定理可以得到CP=FP从而得到△CPF为等腰三角形；
（2）根据图像可知S△CPF=S△BCP+S△GFC+S四边形BEFG−S△FEP，分别求出各部分面积即可得到最终结果；
（3）若△CPF的面积为6，则14ab+14a2=6因式分解后结合a+b=6即可求出最后结果．
【详解】（1）解：△CPF为等腰三角形，
理由如下：∵四边形ABCD，BEFG是正方形，
∴AB=CB=a，BE=EF=FG=BG=b，∠CBP=∠GBE=∠E=∠FGB=90°，
∴∠FGC=90°，
∵a=2b，
∴BC=AB=2b，
∵点P为AB中点，
∴BP=12AB=b，
∴EP=EB+BP=2b，CG=BC−BG=b，
在Rt△CBP中，
CP2=CB2+BP2=2b2+b2=5b2，
在Rt△FEP中，
FP2=EF2+EP2=2b2+b2=5b2，
在Rt△FGC中，
CF2=FG2+CG2=b2+b2=2b2，
∴CP2=FP2即CP=FP，
∴△CPF为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）∵AB=BC=CD=AD=a，点P为AB中点，
∴BP=12AB=12a，
∵EF=EB=EG=FG=b，
∴EP=EB+BP=b+12a，CG=BC−BG=a−b，
∴S△BCP=12⋅BC⋅BP=12a⋅12a=14a2，
S△GFC=12⋅GF⋅GC=12b⋅a−b=12ab−12b2，
S△EFP=12EF⋅EP=12b⋅b+12a=12b2+14ab，
S正方形BEFG=b2，
∴S△CPF=S△BCP+S△GFC+S四边形BEFG−S△FEP=14a2+12ab−12b2+b2−12b2−14ab=14a2+14ab；
（3）由（2）得，S△CPF=14ab+14a2，
∵△CPF的面积为6，AE=6，
∴14ab+14a2=6，a+b=6，
解得a=4．
∴AB=4．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的求解，因式分解的应用，熟练掌握多边形中三角形面积的求解是解答本题的关键．
23．（12分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式a+2b可以写成m+n2的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称a+2b为完整根式，m+n是a+2b的完整平方根，例如：∵8+215=5+32，∴8+215是完整根式，5+3是8+215的完整平方根．
(1)若完整根式a+2b的完整平方根为m+n，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若a+221=3+n2，且a、n为正整数，则a=______；
(3)试判断2+5是否是完整根式7+210的完整平方根，并说明理由．
【答案】(1)a=m+n，b=mn
(2)10
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；
（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式求解即可；
（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
【详解】（1）解：∵a+2b的完整平方根是m+n，
∴a+2b=m+n2．
∴a+2b=m+n+2mn．
∵a，b，m，n都是有理数，
∴a=m+n，b=mn；
（2）解：∵a+221=3+n2，
∴a+221=3+n+23n，
∵a、n为正整数，
∴a=3+n，21=3n，
解得n=7，a=10，
故答案为：10；
（3）解：2+5是完整根式7+210的完整平方根，
理由：∵2+52=2+210+5=7+210，即7+210=2+52，
∴7+210是完整根式，
∴2+5是完整根式7+210的完整平方根．
24．（12分）（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB= ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）13；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是25厘米；（3）蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是15厘米
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得：BC=5，AC=1+3×3=12，
∴ AB=AC2+BC2=122+52=13，
故答案为：13；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：AC=12×48=24cm，BC=7cm，
∴ AB=AC2+BC2=242+72=25cm，
∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，
由题意得：DE=12BB'=1cm，AE=10−2=8cm，
∴ AD=AE+DE=8+1=9cm，
∵底面周长为24cm，
∴ B'D=12×24=12cm，
∴ AB'=AD2+B'D2=92+122=15cm，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是AB′=15厘米．