浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2026届高三第三次学情诊断数学试卷含解析（word版）

这是一份浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2026届高三第三次学情诊断数学试卷含解析（word版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2. 复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】 ,对应点 ,在第二象限.
3.已知 是空间的一组基底,则能与 构成另一组基底的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对 ,设 则 中, ,所以只能选A .
4.已知一组实数: ，若该组数据的第 百分位数为 4，则 不可能是
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
【答案】D
【解析】 时第 3 个数为 4 . 时第 3、4 个数的平均数为 4. 时第 4 个数为 ,需第 5 个数为 4,不可能.
5.若随机变量 ,随机变量 且 , 则
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】，.
6.在平行六面体 中,记三棱锥 的体积分别为 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】只看体积比, 不妨取单位正方体,
.
7.已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，若函数 的值域为 ,则函数 的最大值为
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】设 ,则 ,
.
8.数列 满足 ,且 . 若 ,则 的最小值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】方法一: 由题目条件
或 ,令 ,则 或
,所以 .
若不超过 6 次变换能到 50,设总次数为 ,其中倍增 次,加 1 共 次,则
时, ,需 49 个 ;
时, ,需 24 个 2,24>5;
时, ,至少需 12 个数, ;
时, ,至少需 6 个数,6 > 3 ;
时， ，至少需 3 个数， ；
时， ，至少需 2 个数， ；
时, . 所以不超过 6 次不可能,最少 7 次变换, .
方法二:
或 ,令
或
要求 的最小值,采用逆推法寻找:
正向递推路径为: ,序列共 8 项,
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知两个平面 和两条直线 ,满足 ,下列命题正确的是
A. 若 不垂直,则 不可能垂直 B. 若 垂直,则 可能不垂直
C. 若 不平行，则 不可能平行D. 若 平行，则 可能不平行
【答案】BD
【解析】对 取 相交且不垂直,交线为 ,在 内取 ,取 则 ，A 错；
对 ,若 ,交线为 ,取 ,则 不垂直， 对；
对 ,若 相交,交线为 ,取 ,则 , 错;
对 ,若 ,取 方向不同,则 不平行, 对.
10.将一颗质地均匀的骰子(点数为1-6)连续抛掷 3 次，记录向上的点数，则
A. 三个点数之积大于 150 的概率为
B. 三个点数之和大于 10 的概率为
C. 若不考虑点数的先后顺序,能构成等比数列的概率为
D. 若考虑点数的先后顺序, 在三个点数之和是奇数的条件下, 能构成等差数列的概率为
【答案】ABD
【解析】总数为 .
对 ,积大于 150 的情况为 的排列及 ,共 种,A 对;
对 ,令和为 ,对应 ,若 ,则
,反向也成立,两类等数,所以 , B 对;
对 ,能构成等比数列的情况为三数相同或 的排列,共 种, 错;
对 ,在和为奇数的条件下,总数为 . 设中间项为 ,则 ,和为 ,所以 为奇数. 时 1 种, 时 5 种, 时 3 种,共 种, , D 对.
11.在一块木板上绘制平面直角坐标系,在 四点处钉上四枚钉子, 将长度为 10 的细绳环放在木板上围出一个封闭区域, 且四枚钉子在此区域内. 用一支铅笔拉紧细绳, 移动笔尖一周, 笔尖在木板上留下了封闭的轨迹 ,则
A. 轨迹 上任意一点到原点距离的最大值为 3
B. 轨迹 上任意一点到原点距离的最小值为
C. 轨迹 的面积大于 20
D. 直线 与轨迹 最多有 2 个公共点
【答案】BCD
【解析】方法一: 设笔尖为 ,把轨迹记为 . 细绳拉紧时, 的周长为10. 当 在右侧,且 时,
,令 ,则
所以右侧弧上, ,当 在右上角时,
,设 ,则
,此弧上,
由对称性得 错, 对.
记 围成的面积为 . 右侧弧对应的侧弓形包含矩形
其面积
右上角弧对应的角弓形包含直角三角形,直角边为 ,其面积
四个侧弓形和四个角弓形相同， ，C 对.
轨迹 由八段椭圆弧首尾相接而成，是凸曲线，且没有线段部分，所以任意直线与 最多有 2 个公共点. , D 对. 故选 BCD.
方法二: 设笔尖位置为 ,由对称性只需分析第一象限及相邻区域.
当 时,细绳绕在 和 两枚钉子上,
轨迹是以 为焦点,长轴 的椭圆在第一象限的部分.
半焦距 ,短半轴 . 此段椭圆中心在原点,短轴在直线 上. 当 时, 到原点距离最小, , B 正确.
当 时,细绳绕在 和 两枚钉子上,
轨迹是以 为焦点的椭圆弧.
中心为 ,半焦距 ,短半轴 .
其方程为 .
代入 得交点 时,
因为 ,则 时取得最大值,即 , A 错误. 轨迹内部完全包含以原点为圆心， 为半径的圆，面积 ，C 正确.
在交点 处,两段椭圆平滑拼接,且根据椭圆的光学性质,法线平分焦点三角形外角，拼接点处切线斜率相同. 轨迹 为处处光滑的曲线，直线 与其最多有 2 个公共点, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知二项式 ,若 ,则正整数 的最小值为________.
【答案】4
【解析】 ,
由 得 ,
所以正整数 的最小值为 4 .
13.设圆台的上下底面半径分别为 和 ,母线长为 ,圆台的侧面积等于上下底面的面积之和,当 取到最小值时, _______.
【答案】
【解析】设 ,则 ,，
令 ,则 ,
当 时取等号,所以 ,即 .
14.抛物线 上的 两点均位于第一象限,点 在 轴正半轴上,满足 且 . 若 的面积为9，则点 坐标为________.
【答案】
【解析】 方法一: 设 . 由 , .
所以 为抛物线 与圆 的两个交点.
由 .
设两根为 ,则 .
又 均在第一象限， .
垂直条件为:
. 所以点 坐标为 .
方法二: 设 ,且 .
.
,将 绕点 逆时针或顺时针旋转 得到 .
如果 由 逆时针旋转 得到:
两式相减得到 ,
.
.
如果 由 顺时针旋转 得到:
两式相减得到 .
.
. 故点 坐标为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 的内角 的对边分别为 ，满足 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的取值范围 .
【解析】(1)
或
① 若
② 若
(2)若 ，则 与条件矛盾，舍去，
此时
,令
原式 .
16.已知双曲线 的左顶点 到其渐近线 的距离为 ,过右焦点 的任意直线 与双曲线的右支交于 两点,且直线 与直线 分别交于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，则 是否为定值？若是，求出该定值; 若不是, 请说明理由.
【解析】(1)由渐近线方程为 得
左顶点 坐标为 ,则点 到渐近线的距离 ,
解得 ,双曲线 的标准方程为
(2)设点 ，
过点 的直线 ,与双曲线 联立,
化简得
根据韦达定理,可得 ,点 坐标为
直线 与直线 的交点 坐标为 ,
同理可得点
.
17.正项数列 的前 项和 ,且 .
(1)证明:数列 是等差数列;
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】
(1)证明:当 时， ，解得 .
当 时, .
与 作差可得: ,
则 .
即数列 是等差数列.
(2)
当 时,
.
18.如图，在平行四边形 中， . 现将 沿着 翻折,使点 到达点 的位置,形成三棱锥 . 线段 上有两点 ,满足平面 平面 且平面 平面 .
(1)当平面 平面 时,求三棱锥 外接球的表面积;
(2)在翻折过程中，当点 为线段 上靠近点 的三等分点时，求点 到平面 的距离;
(3)在翻折过程中，是否存在 ，若存在，求平面 与平面 所成角的余弦值; 若不存在,请说明理由.
【解析】方法一:(1) 的外心为 中点 ， 的外心为 中点 ， 取线段 中点 ,则
设三棱锥 外接球的球心为点 ,
则 平面 平面
(2)以点 为原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系.
,设二面角 的平面角为 ,则 .
设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,
由 ,解得 .
由平面 平面 ,可得 ,解得 .
点 为线段 上靠近点 的三等分点,可得
由 ,解得 ,即二面角 的平面角为
此时
点 到平面 的距离
(3)已知 ，点 横坐标为1.
点 在平面 上，所以点 横坐标为0. 可得 .
设
由( 2 )得平面 的法向量 .
由 ,解得
即 ,
根据条件 ,得 ,解得
在翻折过程中，存在 ，
此时平面 与平面 所成角的余弦值为
方法二: (1) 建系,令 ,
其中 .
设 ,则
平面 平面 ,则 的纵坐标为 0,设 ,
平面 平面 ,设 ,则
(1)平面 平面 ，则 ， ， .
设外接球球心为 ,由
所以外接球的表面积为 .
(2) 为线段 上靠近点 的三等分点，
平面 的一个法向量为 所以点 到平面 的距离为 .
(3)由 ，得
此时 均在线段 上,故存在.
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
方法三:(1)∵四边形 为平行四边形， ， 翻折后有 ， ， ， 平面 以 为原点建立空间直角坐标系,设
设平面 与平面 夹角为 平面 平面 , 平面 为二面角 的平面角,即 ,
,当平面 平面 时,
三棱锥 外接球球心为 中点,半径
(2) ,
设
平面 的法向量
平面 的法向量
平面 平面
当 为靠近 的三等分点时, ,
到平面 的距离
到平面 的距离 .
(3)设
平面 法向量
平面 法向量
平面 平面 若存在 ,则 ,
平面 与平面 所成角的余弦值为 .
19.已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最值;
( 2 )讨论方程 解的个数；
(3)若方程 存在两个解 ，且满足 ，证明:
【解析】方法一: (1) 当 时, ,求导可得
函数 在 单调递增,在 单调递减.
函数有最大值 ,无最小值.
(2)函数 是奇函数， 始终是方程 的一个解不妨令 ,
可化简为 ,构造函数 ,
求导可得
① 当 ， 恒成立，
因此 在 单调递增.
故 在 单调递增,故 .
即方程 在 无解.
根据函数 是奇函数可知在 也无解
② 当 ，由 ，可得 在 单调递减，
在 单调递增. 由 可得,
存在 使 .
当 单调递减; 当 单调递增.
,函数 在 有一个零点.
即方程 在 有一个解.
根据函数 是奇函数可知在 有另一个根.
综上,当 ,方程有一个解; 当 ,方程有三个解.
(3)由(2)可得此时 ，且 .
. 即证: .
因为 是方程 的解,代入可得 .
消 可得
设
函数 在 单调递增,所以 .
又因为 ,所以
方法二: (1) 时,
当 时, ; 当 时,
,无最小值.
(2)
恒为方程的解. 当 时,
设 ,右边偶函数,非零解成对出现.
令
所以 时,
时,方程只有 1 个解: .
时,方程有 3 个解: ,其中 .
(3)由(2)知，设
所以 .
方法三: (1) 当 时, .
令 . 当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减. .
无最小值.
(2)方程 . 显然 是原方程的一个解.
当 时, .
令 ,
为偶函数,只需讨论 的情况.
当 时, .
令 .
令 ,
单调递增, .
在 上单调递增. , 当 时, 无解,原方程仅有 1 个解 ; 当 时, 在 上有 1 个解,由偶函数对称性,在 上也有 1 个解, 此时原方程共有 3 个解.
(3)证明: 方程存在两个解 且 ，
由(2)可知 ，此时原方程共有 3 个解，且非零解互为相反数， ， 且 ,
.
令 .
.

.
由(2)可知，当 时， .
,证毕!