长沙市2026年高三第二次诊断性检测数学试卷（含答案解析）

这是一份长沙市2026年高三第二次诊断性检测数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了《普通高中数学课程标准，的展开式中的系数为，已知，复数，，且为实数，则，已知数列满足， “”是“函数等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知与之间的一组数据：
若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．1.5B．2.5C．3.5D．4.5
5．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）
A．B．C．D．
6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养高于乙
B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C．乙的六大素养中逻辑推理最差
D．乙的六大素养整体平均水平优于甲
7．的展开式中的系数为（ ）
A．5B．10C．20D．30
8．已知，复数，，且为实数，则（ ）
A．B．C．3D．-3
9．已知数列满足：，则( )
A．16B．25C．28D．33
10． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
11．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．是假命题B．是真命题
C．是真命题D．是假命题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆Г：，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.
14．已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．
15．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 .
16．若函数（）的图象与直线相切，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，
（1）证明：直线的斜率是－1；
（2）若，，成等比数列，求直线的方程.
18．（12分）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
20．（12分）已知的内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
21．（12分）已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；
（2）求证：（，且）.
22．（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：
方程，即，即函数和有两个交点.
，，故，，，，.
根据图像知：.
故选：.
本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.
2．C
【解析】
求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选：C
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
3．B
【解析】
根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.
【详解】
易知，且
故有，则
故选：B
本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题
4．D
【解析】
利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.
【详解】
利用表格中数据，可得
又，
．
解得
故选：D
本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
5．D
【解析】
这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.
【详解】
解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：
故选：D
考查几何概型，是基础题.
6．D
【解析】
根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.
【详解】
对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.
对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.
对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.
对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.
故选：D
本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.
7．C
【解析】
由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成.
【详解】
由已知，，因为展开式的通项为，所以
展开式中的系数为.
故选：C.
本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.
8．B
【解析】
把和 代入再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．
【详解】
因为为实数，所以，解得.
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
9．C
【解析】
依次递推求出得解.
【详解】
n=1时，，
n=2时，，
n=3时，，
n=4时，，
n=5时，.
故选：C
本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．A
【解析】
根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数为幂函数时，，
解得或，
∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
11．C
【解析】
设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.
【详解】
设,则,所以,
依题意可得,
设,则,
当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,
所以,且,
有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.
故选:C
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.
12．D
【解析】
举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】
当时，故命题为假命题；
记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，
易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，
∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；
∴是假命题
故选D
本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率
【详解】
如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2a−t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，设∠BAO=θ，则∠BAF1=2θ，所以Г的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，，所以，即e= =，
故答案为：.
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.
14．
【解析】
在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为 •2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；
故答案为：．
15．.
【解析】
试题分析：∵，，成等差数列，∴，
又∵等比数列，∴.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列
基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
16．2
【解析】
设切点由已知可得,即可解得所求.
【详解】
设，因为，所以，即，又，.所以，即，.
故答案为:.
本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，，由已知，得，代入中即可；
（2）利用抛物线的定义将转化为，再利用韦达定理计算.
【详解】
（1）在抛物线上，∴，
设，，
由题可知，，∴，
∴，
∴，∴，
∴
（2）由（1）问可设：：，
则， ， ，
∴，∴，
即（*），
将直线与抛物线联立，可得：，
所以，
代入（*）式，可得满足，∴：.
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.
18．（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；
（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
当时，，单调递增；
时，令得，时，，递减，时，，递增，
综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．
（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．
当时，，，
从而只需时，恒成立，即，
令，，在上递减，在上递增，
∴，从而．
时，，，
令，由，知在递减，在上递增，，∴．
综上所述，的取值范围是．
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．
19．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列
（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，，故.
当时，，
则 ，
，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
，
.
（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法 得出
（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
（Ⅰ）由得
再由正弦定理得
因此，
又因为，所以.
（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，
理由如下：
由正弦定理得，
所以，
所以.
因为，所以，
所以当即时，取到最大值2，
所以的周长有最大值，最大值为3.
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.
21．（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；
（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.
【详解】
（1）∵函数在上单调递减，
∴，即在上恒成立，
∴，
又∵函数在上单调递增，
∴，即在上恒成立，，
∴综上可知，.
（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，
在上为增函数，而，
∴当时，，当时，.
∴
∴
即，
∴.
本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.
22．（1） （2）9060元
【解析】
(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.
【详解】
解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则
.
（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，
，
，
，
所以（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.
本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.
1
2
3
4
3.2
4.8
7.5
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10