信阳市2026年高三第三次测评数学试卷（含答案解析）

这是一份信阳市2026年高三第三次测评数学试卷（含答案解析），共6页。试卷主要包含了已知集合,则，若集合，，则=等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，分别为所对的边，若函数
有极值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
4．函数的图象大致是( )
A．B．
C．D．
5．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．2
7．已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
8．若集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
9．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
12．已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是___________．
14．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:
①的值域为;
②;
③;
④
其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)
15．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．
16．已知函数，则函数的极大值为 ___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和.
18．（12分）已知满足 ，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（1）当时，求与的交点的极坐标；
（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.
20．（12分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为．
（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程．
21．（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
22．（10分）已知在中，角、、的对边分别为，，，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
试题分析：由已知可得有两个不等实根.
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.
2．D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
3．C
【解析】
由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间
上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.
4．B
【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
【详解】
设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.
本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.
5．B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
6．D
【解析】
设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．
【详解】
解：设，，，
∵，
∴，即，①
又，②，
由①②可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
7．B
【解析】
计算，再计算交集得到答案
【详解】
,表示偶数，
故.
故选：.
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
8．C
【解析】
试题分析：化简集合
故选C．
考点：集合的运算．
9．C
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.
【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.
故选：C.
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
10．C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
11．D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
12．B
【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.
【详解】
若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
故选:B
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.
【详解】
解：由题意得，
，解得，
所以，
故答案为：
此题考查函数定义域的求法，属于基础题.
14．②
【解析】
根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④.
【详解】
对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误；
对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确；
对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误；
对于④，由定义可知
，所以④错误；
综上可知，正确的为②.
故答案为：②.
本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.
15．
【解析】
分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,
【详解】
令；当时，，不合题意；
当时，，
令，得或，
所以在区间和上单调递减.
因为，且在区间上单调递增，
所以在处取极小值，即最小值为.
若，，则，即.
当时，，当时，则.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为.
故答案为：
本题考查不等式恒成立问题.
不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．
16．
【解析】
对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.
【详解】
，故
解得， ，
令，解得
函数在单调递增，在单调递减，
故的极大值为
故答案为：.
本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.
试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）, 所以,故.
（2）,
考点：等差数列的通项公式；数列的求和.
18．见解析
【解析】
选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.
【详解】
选择①时：,，故.
根据正弦定理：，故，故.
选择②时，，，故，为钝角，故无解.
选择③时，，根据正弦定理：，故，
解得，.
根据正弦定理：，故，故.
本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1），；（2）
【解析】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），再对分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.
【详解】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），
当时，联立解得交点，
当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）
当时，无交点；
综上，曲线与直线的点极坐标为，，
（2）把直线的参数方程代入曲线，得，
可知，，
所以.
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
20．（1），；（2）.
【解析】
（1）设点极坐标分别为,，由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；
（2）设点对应的参数分别为，则，，将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得，，则，求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.
【详解】
（1）设点极坐标分别为，，
因为,则，
所以曲线的极坐标方程为，
两边同乘,得，
所以的直角坐标方程为,即.
（2）设点对应的参数分别为，则,，将直线的参数方程（参数），代入的直角坐标方程中，整理得.
由韦达定理得，，
所以，当且仅当时，等号成立，则，
所以当取得最小值时，直线的普通方程为.
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系．
21．（1）（2）选择方案二更为划算
【解析】
（1）计算顾客获得7折优惠的概率，获得8折优惠的概率，相加得到答案.
（2）选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
【详解】
（1）该顾客获得7折优惠的概率，
该顾客获得8折优惠的概率，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率.
（2）若选择方案一，则付款金额为.
若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.
，
，
则.
因为，所以选择方案二更为划算.
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22．（1）7（2）14
【解析】
（1）在中，，可得 ，结合正弦定理，即可求得答案；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
（1）在中，，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
解得，
.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
红球个数
3
2
1
0
实际付款
7折
8折
9折
原价