2026届广东省东莞市东莞高级中学高考数学必刷试卷含解析

这是一份2026届广东省东莞市东莞高级中学高考数学必刷试卷含解析，共3页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，复数满足 ,则的值是，已知满足，，,则在上的投影为，函数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )
A．B．C．D．
2．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（ ）
A．B．-2C．D．2
5．复数满足 (为虚数单位),则的值是( )
A．B．C．D．
6．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
7．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知满足，，,则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．2
9．函数（）的图像可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A．2B．5C．D．
11．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
12．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．
14．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
15．已知，，，则的最小值是__．
16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角所对的边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边长.
18．（12分）已知数列满足（），数列的前项和，（），且，．
（1）求数列的通项公式：
（2）求数列的通项公式．
（3）设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的均有．
19．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（12分）设函数，.
（1）求函数的极值；
（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.
21．（12分）已知函数，.
（1）证明：函数的极小值点为1；
（2）若函数在有两个零点，证明：.
22．（10分）已知函数.
（1）若，且，求证：；
（2）若时，恒有，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．
【详解】
根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为，
集合，，表示的平面区域即为图中的，，
根据几何概率的计算公式可得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
2、B
【解析】
利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.
【详解】
由等差数列的性质可得，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示，平面，从而平面，
易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∴结合四个选项可知，只有正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
4、A
【解析】
设，用表示出，求出的值即可得出答案.
【详解】
设
由
，
，
.
故选：A
【点睛】
本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.
5、C
【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】
由得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
6、D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
7、C
【解析】
利用复数相等的条件求得，，则答案可求．
【详解】
由，得，．
对应的点的坐标为，，．
故选：．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．
8、A
【解析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
9、B
【解析】
根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.
【详解】
由题可知：，
所以当时，，
又，
令，则
令，则
所以函数在单调递减
在单调递增，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.
10、D
【解析】
根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
11、B
【解析】
试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
12、A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
【点睛】
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14、
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
15、．
【解析】
因为，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，
所以，当且仅当，取等号.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.
16、
【解析】
由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.
【详解】
设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图
则，所以，，解得，
所以，，，
由，得，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）.
【解析】
（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.
（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.
【详解】
（1）因为，，
所以，，
所以，即.
因为，所以，
因为，所以.
（2）
.
在中，由正弦定理得，
所以，解得.
【点睛】
本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.
18、（1）（）．（2），．（3）
【解析】
（1）依题意先求出,然后根据 ,求出的通项公式为,再检验的情况即可;
（2）由递推公式,得, 结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;
（3）通过（1）、（2）可得,所以,,,,．记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.
【详解】
解：（1）因为数列满足（）
①；
②当时,．
检验当时, 成立.
所以,数列的通项公式为（）．
（2）由,得, ①
所以,． ②
由①②,得,,
即,, ③
所以,,． ④
由③④,得,,
因为,所以,上式同除以,得
,,
即,
所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,
故,．
（3）因为．
所以,,,,．
记,
当时,．
所以,当时,数列为单调递减,当时,．
从而,当时,．
因此,．
所以,对任意的,．
综上,．
【点睛】
本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.
19、（1），；（2）.
【解析】
（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
也适合上式，所以，.
设数列的公比为，则，由，
两式相除得，，解得，，；
（2）设数列的前项和为，则，
.
【点睛】
本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）当时， 无极值；当时， 极小值为；（2）.
【解析】
（1）求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；
（2）构造函数，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.
【详解】
（1）依题，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；
当时，令，得，
令，得
所以函数在上单调递增，
在上单调递减.
此时函数有极小值，
且极小值为.
综上：当时，函数无极值；
当时，函数有极小值，
极小值为.
（2）令
易得且，
令
所以，
因为，，从而，
所以，在上单调递增.
又
若，则
所以在上单调递增，从而，
所以时满足题意.
若，
所以，，
在中，令，由（1）的单调性可知，
有最小值，从而.
所以
所以，由零点存在性定理：
，使且
在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
故当，不成立.
综上所述：的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.
21、（1）见解析（2）见解析
【解析】
(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2) 函数在有两个零点，即方程在区间有两解， 令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.
【详解】
解：（1）证明：因为，
当时，，，
所以在区间递减；
当时，，
所以，所以在区间递增；
且，所以函数的极小值点为1
（2）函数在有两个零点，
即方程在区间有两解，
令，则
令，则，
所以在单调递增，
又，
故存在唯一的，使得， 即，
所以在单调递减，在区间单调递增，
且， 又因为，所以，
方程关于的方程在有两个零点，
由的图象可知，，
即.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.
22、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；
（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.
【详解】
（1），，所以，函数单调递增，
所以，当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
要证，即证.
不妨设，则，，
下证，即证，
构造函数，
，所以，函数在区间上单调递增，
，，即，即，
，且函数在区间上单调递增，
所以，即，故结论成立；
（2）由恒成立，得恒成立，
令，则.
①当时，对任意的，，函数在上单调递增，
当时，，不符合题意；
②当时，；
③当时，令，得，此时，函数单调递增；
令，得，此时，函数单调递减.
.
.
令，设，则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得最大值，即.
因此，的最大值为.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.