湖北省圆创联盟2026届高三5月模拟考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖北省圆创联盟2026届高三5月模拟考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2. 已知集合 ,若 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ,得 . 因为 ,所以 .
3.已知复数 满足 ,则
A. i B. -i C. D.
【答案】C
【解析】设 ,则 ,即 ,所以 ,解得 ,所以 .
4.已知一组样本数据有两层,第一层有 个数据,平均数为 ,第二层有 个数据,平均数为 ,两层数据合到一起计算出的平均数为 ,后来第一层又增加了 个数据,这 个数据的平均数为 ,则新的样本数据的平均数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一: 由题意,知 , 所求平均数为 ).
方法二: 所求平均数为 .
5.已知函数 ,则
A. 是奇函数，且在区间 单调递增
B. 是偶函数，且在区间 单调递减
C. 是奇函数，且在区间 单调递减
D. 是偶函数，且在区间 单调递增
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,所以 为偶函数. 又 和 在 上大于 0 且单调递减,所以 在 上单调递减.
6.已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由题意,知 . 将点 代入椭圆方程,得 . 而 ,所以 .
7.已知随机事件 满足 ,则 至少有一个发生的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 知,事件 互斥且事件 互斥,故 . 所以 .
8.在 中,已知 . 记点 的运动轨迹为曲线 的外接圆 与曲线 交于 两点. 当 取最大值时,
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ,则 ,化简得 ,知曲线 是半径为 2 的圆 (去掉与直线 相交的两点). 结合图形,当直线 与圆 相切时, 最大,此时 的中点为圆心 ,半径为 ,两圆圆心距为 ,求得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知等比数列 的公比 ,则
A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列
C. 数列 是递增数列 D. 数列 是递增数列
【答案】BCD
【解析】由于不知道 的正负情况,故数列 不一定是递增数列, A 错误;
因为 ,所以数列 是递增数列, B 正确;
因为 ,所以数列 是递增数列, C 正确;
因为 ,且 ,所以数列 是递增数列, D 正确.
10.已知函数 ，则
A. 一定有零点
B. 曲线 与直线 恒有 3 个交点
C. 若 有 3 个零点,则它们的和为 0
D. 曲线 上始终存在中心和 4 个顶点都在其上的菱形
【答案】AC
【解析】对 A 选项,由三次函数图象可知,其至少有一个零点,故 A 正确;
对 选项,方程 可整理为 ,当 时,方程只有一个根, 对应曲线没有 3 个交点,故 错误;
对 选项,设其 3 个零点分别为 ,则 ,展开有 ,从而 ,故 C 正确;
对 选项,由于曲线 关于点 中心对称,不妨设 . 若存在符合条件的菱形,则其中心为原点,过原点互相垂直的直线为菱形的对角线. 由 ,曲线 在原点的切线斜率为 . 只有当 且直线的斜率大于 时,对应直线才与曲线 有两个交点,菱形才能存在,当 时,不存在这样的菱形. 故 D 错误.
11.已知正四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，高为 ，其五个顶点均在半径为 的球 的球面上,半径为 的球 与正四棱锥的五个面均相切,则
A. 若四棱锥 和三棱锥 的体积相等，则
B. 若 为底面中心，则
C. 若 与 重合,则
D. 若 在棱锥内,且在球 的球面上,则
【答案】ABD
【解析】设正方形 的中心为 ,取 的中点 ,连接 ,则 .
分别过 ,作 . 由题意,知 .
对于选项 ,由 ,得
,解得 ,故 正确;
对于选项 ,可以求得棱锥的表面积为 .
由 ,解得 ,
故 B 正确;
对于选项 ,有 . 在 中,有 .
由 ,得 ,解得 ,故 错误;
对于选项 ,有 . 在 中,有 . 由 ,得 ,化简得 ,即 ,解得 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 ，若 与 平行，则实数 ________.
【答案】-2
【解析】由已知得 . 由平行得 ,所以 .
13.已知 为曲线 上的两点, 则 _______.
【答案】
【解析】由题意 ,解得 ,则 .
14.已知点 分别为曲线 和 上的动点,过 分别作 轴的垂线 ,垂足分别为 . 若 ，则四边形 面积的最大值为________.
【答案】
【解析】设 ,则 . 由 ,得 .
由 ,得 ,所以 ,从而 .
梯形 的面积 .
令 ,有 .
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
故当 时， 取最大值 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)若 存在大于零的极值，求 的取值范围；
(2)对于函数 ，若 ，则称 为 的不动点. 判断是否存在 ，使得 的极值点同时也是不动点, 并说明理由 .
【解析】(1) 的定义域为 . . (1 分)
若 ,则 单调递减,无极值; (3 分)
若 ,由 ,得 . 则 为 的极值点. (5 分)
由题意，有 ，解得 .
所以 的取值范围是 . (6 分)
(2)由(1)知， 为 的极值点.
由不动点的定义,有 ,整理得 . (8 分)
令 ,则 . 由 ,知 单调递增. (9 分)
因为 , (11 分)
所以存在 ,使得 的极值点同时也是不动点. (13 分)
16.记 为等差数列 的前 项和,已知 .
(1)求 ；
(2)记数列 的前 项和为 ，且 . 若对 ，求 的取值范围.
【解析】(1)由题意 ，所以 ，
解得 . (3 分)
所以 . (5 分)
(2)由(1)知， ， . (6 分)
所以当 时, . (8 分)
当 时， 也成立，所以 . (9 分)
等价于 ,
整理得, . (11 分)
记 ,则 ,
而 ,所以
当 或 时, 有最大值. (13 分)
当 时, ; 当 时, . (14 分)
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ，故 . (15 分)
17.如图，已知平行六面体 的底面 是边长为 的菱形，
(1)证明:平面 平面 ；
(2)对确定的 与 ，求使得平行六面体表面积取最大值的 ；
(3)在(2)的条件下，当直线 与平面 所成的角最大时，求 与 的关系.
【解析】
( 1 )由条件可知， .
因为 ,
所以 .
所以 . (2 分)
因为 平面 平面 ,
所以 平面 . (3 分)
因为 平面 ,所以平面 平面 . (4 分)
(2)平行六面体的表面积 . (6 分) 所以,当 时,平行六面体的表面积取最大值. (7 分)
(3)在(2)的条件下，该平行六面体为长方体. 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， .
所以 .
设平面 的法向量为 .
由 得
令 ,得 ,所以 . (10 分)
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 (13 分)
因为 ,当且仅当 时取等号,所以 . (14 分)
所以,直线 与平面 所成的角最大时, . (15 分)
18.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 为 上的动点,且 到两焦点的距离的差的绝对值为 2 .
(1)求 的方程；
(2)过点 作斜率为 和 的直线，分别与 交于点 ， ，求 的最小值；
(3)过点 的直线 交 于 、 两点，过点 的直线 交 于 、 两点， 与 交于点 ，且 与 的斜率之积为 . 证明: 与 面积的乘积为定值.
【解析】(1)由题意， ， ，所以 . (1 分)
所以 的方程为 . (2 分)
(2)设 ，则 .
因为 ,
所以 的方程为 的方程为 . (3 分) 设 .
将直线 的方程与曲线 方程联立,
得 ,
解得 . (4 分)
同理,可得 . (5 分)
所以 . (6 分)
所以
(7 分)
由于 ，所以 ，从而 的最小值为 . (8 分)
(3)设 ，则 .
设 ,则 . (9 分)
设 的倾斜角为 的倾斜角为 ,则 .
所以 . (10 分)
于是,
(11 分)
联立 与 的方程,得 .
设 .
则 . (12 分)
所以, PAPB=1+k12x3−x0x4−x0 =1+k12x3x4−x0x3+x4+x02 =1+k123−k12−4k12−3−4k12x0+3−k12x02 =1+k123−k12k12x0+22−3x02+3 =1+k123−k12y02−3x02+3=91+k123−k12. (14 分)
同理, . (15 分)
所以
,为定值. (17 分)
19.现有 枚质地均匀的硬币,第一次分别抛掷这 枚硬币,完成后,将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷,记两次抛掷后正面朝上的次数之和为 .
(1)当 时,求 的分布列与数学期望;
(2)对确定的 ,使得 成立,请直接写出 ,不用推导;
(3)求 .
【解析】( 1 )当 时,由题意知 的可能取值为0,1,2,3,4.
的分布列为
(6 分)
(2)当 时,求得 的分布列为
当 为偶数时, ; (8 分)
当 为奇数时, . (10 分)
(3)设第一次正面朝上的次数为 ，第二次正面朝上的次数为 ， 则 .
(12 分)
从而, . (13 分)
由组合数的性质, ,所以 . (14 分)
所以
(17 分)0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6