重庆市第一中学2026届高三5月三诊考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份重庆市第一中学2026届高三5月三诊考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,故 .
2. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,故 .
3.记为正项等比数列的前项和．若，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,且 ,解得 或 ,又 是正项等比数列,故 ,又 ,则解得 .
4.设且，且，若，则的最小值是
A. 3B. C. 9D. 18
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,所以 ,则 ,当且仅当 时,等号成立,故 的最小值为 .
5.已知，则
A. B. 7C. D.
【答案】D
【解析】所求式 .
6.正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正八面体 的棱长为 ，正八面体 可看作是由两全等的、 所有棱长都为 的正四棱锥 和 拼接而成,其中中间截面是边长为 的正方形,
是正八面体的对称轴,且 平面 ,故 ,又 ,故 ,则正四面体
的棱长为 ,其高为 .
7.设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则
A. B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】设抛物线 的焦点为 的中点为 ， 由 作 差 得 到 ,即 ,又 ; 焦点弦 ,故 解得 .
8.设函数向左平移个单位后得到函数，若点是函数与的图象上从左至右依次相邻的三个交点，且，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 向左平移 个单位后得到: ,故 ,又因为 ,故 ,所求式 . 令 ,即 ,解得 ,从而 ,所以 ,不妨设 ,由正弦曲线的对称性和周期性知: ,设 边上的高为 ,则 ,又 ,则 ,所以 ,从而 ,故 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是
A.
B. 数据点P对应的残差的绝对值为5
C. 该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米
D. 乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好
【答案】BCD
【解析】对于 A: 线性回归方程斜率 ,说明 与 正相关,因此相关系数 , 故 A 错误;
对于 B: 计算数据 对应的残差,当 时, ,所以残差为 ,则数据点 对应的残差的绝对值为 5,选项 B 正确;
对于 : 已知 ,则样本中心点的纵坐标: ,将 代入回归方程 ,可得平均建筑面积约为 95 平方米,选项 正确;
对于 : 决定系数越大,模型的拟合效果越好, ,选项 正确.
10.设函数，则
A. 当时，只有一个零点
B. 当时，在定义域内单调递增
C. 对于任意实数的图象都是中心对称图形
D. 若存在极值点，则一定存在两个
【答案】ACD
【解析】对于 : 当 时, ,令 ,解得 ,故 正确;
对于 B: 当 时, 的定义域为 在 上单减, 在 上单增,故 在 上单减,故 B 错误;
对于 : 函数 的定义域为 ,因为 ,故对于任意实数 的图象都是中心对称图形,且对称中心为 ,故选项 正确;
对于 : ,令 ,则 ,又因为 , 故 ,当直线 与 有两个不同交点时 ,即 ,故当 时,即 有两个变号零点,即 一定存在两个极值点,故选项 正确.
11.平面直角坐标系中，直线，直线，动点满足，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，若，则
A. 动点P的轨迹方程为
B. 四边形PAOB的周长可以为
C. 直线AB与直线OP的斜率之积为2
D. 的最大值为
【答案】AD
【解析】对于 : 点 到直线 的距离为 ,到直线 的距离为 ,由题可得 ,所以 ,又 ,故动点 的轨迹方程为 ，故选项 A 正确；
对于 B:四边形 为矩形，其周长为: ， 而 ,当且仅当 时等号成立,故周长的最小值为 ，不可能为 ，故选项 B 错误；
对于 C:设 ，不妨设 在第一象限， 在第四象限， 由于 ,可得 的方程为 ,联立 ,解得 ,则 ,同理 ,可得 的方程为 ,联立 ,解得 ,则 ,故 ,而 ,故 , 故 选 项 错 误；
对 于 由 已知 ，所以: ,其中 表示 和原点连线的斜率,所以 ,所以当 时 单调递增,当 时, 单调递减,所以 ,故选项 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则________.
【答案】
【解析】 ,故 .
13.把7个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放2个球，则甲、乙、丙三个小球放在同一个盒子里的情况有_______种.
【答案】18
【解析】分组方式只有一种:一组 2 个、一组 2 个、一组 3 个，又甲、乙、丙三个小球要放在同一个盒子,故只需把 4 个球均分为 2 组后,再将这 3 组球放进盒子,即: .
14.平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为________.
【答案】507
【解析】因为点 在曲线 上,故 ; 因为圆 与 轴都相切,故圆 的半径为 ,由圆 与圆 彼此外切,得到 ,则 ,因为 ,所以 ,即 ,数列 是以 为首项,4为公差的等差数列,即 ,故 , ,且 ,故 ,最小正整数 为 507 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在中，已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求的周长 .
【解析】(1) 设角 的对边分别为 ,则由已知: ,
因为 ,所以 , (3 分)
故 的面积 . (6 分)
(2)由余弦定理 , (9 分)
所以 ,
所以 的周长 . (13 分)
16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图象经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值.
【解析】(1) 由已椭圆的焦点坐标分别为 ,设 ,
由椭圆的定义可知
, (3 分)
所以 ,结合 可知 ,
所以椭圆方程为 . (6 分)
(2)设过 的直线方程为 ，
与椭圆 联立得 ，
设 ,
由韦达定理: , (9 分)
,
代入韦达定理整理得: (15 分)
17.随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为．
（1）若，求概率；
（2）若，记的概率为，当取得最大值时，求的值.
【解析】
(1) 5 位二进制数形如 ,
由于每个 有0,1两个取值,
所以全体 5 位二进制数总量为 个. (3 分)
其中满足 的二进制数有 5 个,分别为 , 所以 . (6 分)
(2)2026 位二进制数首位数码为 1 ，数码 0 独立且等可能出现在剩下的 2025 个数位上，每个数位出现 0 的概率为 ,
所以 0 出现的次数服从二项分布,即 ,
所以 , (10 分)
所以 ,
记 ,则 最大等价于 最大.
所以 ,此时 单调递增;
,此时 单调递减,
所以 为最大值.
综上,当 取得最大值时求 的值为 1013 . (15 分)
18.已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示．
（1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动．
（ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）若，证明：平面．
（2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值．
【解析】 (1)(i)解:由于 平面 ，所以 为平面 的法向量，
设直线 和平面 所成角为 ，
则 ,
因为 平面 ,
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 . (4 分)
(ii) 证明: 因为 ,
因为圆锥底面圆的半径 ,所以 ,
所以 ,
结合 可知 共线. (7 分)
所以 平面 .
下面证明平面 平面 ,
由于 ,
结合 平面 平面 ,所以 平面 ,
由于 ,显然 ,所以 为平行四边形, 所以 ,
结合 平面 平面 ,所以 平面 ,
由于 为平面 中的两条相交直线,所以平面 平面 ,
因 为 平 面 ,所以 平 面 . (11 分)
(2)解:以 为原点，建立如图坐标系，
此时 ,
设 ,
则 在圆锥侧面上 的夹角余弦值为 ,
即 ①, (13 分)
设平面 的法向量为 ,
由 ,
在平面 上 ②, (15 分)
，结合①②可得，
取等条件 ,
所以 的最小值为 . (17 分)
19.已知函数．（其中为自然对数的底数，）
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的值.
【解析】(1) ,
因为 为切点,所以切线斜率 ,
所以切线方程为 . (4 分)
(2)由已知 在 上恒成立，
记 ，则 在 上恒成立， ，
若 ,则 ,此时 单调递增;
,此时 单调递减,
所以 ,
只需 ,所以 ; (8 分)
若 ,则 单调递增,注意到 时 ,不合题意;
若 ,则 ,符合题意.
综上实数 的取值范围为 . (10 分)
(3)由于我们讨论 的大小关系,所以不妨设 ,
由第(2)问可知当 时 单调递增.
当 时, 在 时 ,仍有 单调递增,
所以当 均有 在 单调递增,
此时 ,
所以 ,这与 矛盾,此时无解. (12 分)
若 ,则 ,
记 ,则 与 在 时同号,
在 单调递增,
此时 ,注意到 时 ,
所以存在 ,使得 ,
若 ; 若 ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,
设 ,其中 ,
等价于 ,即 ,
① 若 ，则 ，此时:
所以 ,
由 可知 ,矛盾,此时无解. (13 分)
② 若 且 ，则:
此时 ,
由已知 ，即 ，
带入 (*) 可得: ,
验证 成立.
故 符合题意. (15 分)
③若 且 ，则同理可得:
,
带入 (*) 可得: ,
由于 ,
逐一验证可知只有 符合.
综上实数 的值为 . (17 分) .