2026年中考数学二轮复习 专题12 几何作图与尺规作图专项(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题12 几何作图与尺规作图专项(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角题型三，作线段的垂直平分线题型五，无刻度直尺作图等内容，欢迎下载使用。

几何作图与尺规作图是中考数学几何板块基础必考模块，分值约 5～8 分，以填空题、作图题为主，部分地区会结合几何计算 / 证明以小综合题形式考查，整体以低中档题为主，侧重考查作图规范、几何定理理解与几何直观能力，是中考必须稳拿分的板块。
基础知识必备：掌握 7 大核心作图的尺规操作步骤，理解每一步作图的几何原理；能严格
遵循作图工具要求（直尺、圆规、无刻度直尺），规范保留作图痕迹；熟练运用网格的垂直、等距特性完成格点作图；能依托三角形、圆、平行四边形等图形的固有性质，用无刻度直尺找 关键点、作辅助线；明确中考作图失分点，会标注关键点、特殊符号（⊥、∠、= 等）。
2026 中考预测：
题型稳定：角平分线、线段垂直平分线、格点作图为选择 / 作图题必考内容，无刻度直尺作图为全国中考热点题型，作圆及切线常与圆的性质结合考查；
难度平稳：以基础作图、网格作图为主，无刻度直尺作图侧重基础几何性质应用，不设置偏题、
怪题，重点考查作图规范性与痕迹完整性；
命题趋势：网格中的无刻度直尺作图考查频率持续升高，作图题逐渐与简单几何性质应用结合，格点作图从正方形网格向正三角形网格延伸，侧重特殊角、特殊图形的构造。
题型一作一条线段等于已知线段
【典例 01】（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形????：①画∠???；②以点?为圆 心，1个单位长为半径画弧，分别交??，??于点?，?；③分别以点?，?为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点?；④连接??，??，??．若∠? = 44°，则∠???的大小是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形????是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：作图可得?? = ?? = ?? = ??
∴四边形????是菱形，
∴??∥??,∠??? = ∠???
∵∠? = 44°，
∴∠??? = ∠? = 44°，
∴∠??? = 1(180°−∠???) = 1(180°−44°) = 68°，
22
故选：C．
【变式 01】（2025·贵州贵阳·三模）如图，▱????中，?? = 5，?? = 3，以 A 为圆心，??长为半径画弧，交边??于点 E，则??的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段，
根据平行四边形的性质得?? = ?? = 3,?? = ?? = 5，再根据题意得?? = ??，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 3,?? = ?? = 5．根据题意，得?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 5−3 = 2．故选：A．
【变式 02】如图， 在△ ???中， ∠? = 49°， 分别以点?,?为圆心，??,??长为半径作弧，两弧相交于点
?，连接??,??，则∠???的度数为（ ）
A．41°B．49°C．51°D．59°
【答案】B
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理．
通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：通过尺规作图操作可得?? = ??,?? = ??，又?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴ ∠? = ∠? = 49°，故选：B．
【变式 03】（2025·吉林长春·二模）如图，在 △ ???中，?是边??上一点．按下列要求作图：①以点?为圆心，??为半径画弧；②以点?为圆心，??长为半径画弧；③两弧在??上方交于点?；④作直线??，交??于点?．下列结论不一定成立的是（ ）
A．?? ∥ ??B．∠? = ∠???
C．?? = ??D．四边形????是平行四边形
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据作图证明四边形????是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，?? = ??,?? = ??,
∴四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴∠? = ∠???,
故选项 A 、B、 D 正确；
无法证明?? = ??，即?? = ??不一定成立．故选：C．
【变式 04】（2024·贵州·中考真题）如图，在 △ ???中，以点 A 为圆心，线段??的长为半径画弧，交??于点 D，连接??．若?? = 5，则??的长为．
【答案】5
【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出?? = ??，即可求解．
【详解】解∶由作图可知∶ ?? = ??，
∵?? = 5，
∴?? = 5， 故答案为∶5．
【变式 05】（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段??与??所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若?? = ??，则下列各图中的线段
??都是相应线段??的双关联线段．
【问题解决】
问题 1：如图，在矩形????中，?? < ??，若对角线??与??互为双关联线段，则∠??? = °．
问题 2：如图，在等边△ ???中，点 D，E 分别在边??，??的延长线上，且?? = ??，连接??，??．
求证：线段??是线段??的双关联线段．证明：延长??交??于点 F．
∵△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°．
∵ ∠??? + ∠??? = 180°，∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???（依据）．
∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，∠? = ∠?；
…
任务：
问题 1 中的∠??? = °，问题 2 中的依据是；
补全问题 2 的证明过程；
如图，点 C 在线段??上，请在图 3 中作线段??的双关联线段??．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)30，等角的补角相等；
见解析
见解析
【分析】（1）设??，??的交点为 O，利用矩形的性质及已知可证明△ ???是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题 2 的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可∠??? = ∠??? = 60°，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设??，??的交点为 O，如图；
∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，∠??? = 90°；
∵对角线??与??互为双关联线段，
∴∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 30°；
故答案为：30°；
问题 2 中的依据是：等角的补角相等；故答案为：等角的补角相等；
解： ∵ ∠???是 △ ???的外角，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠?．
∵ ∠???是 △ ???的外角，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠?．
∵ ∠??? = ∠???，∠? = ∠?，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°．
即线段??与线段??所在直线形成的夹角中有一个角是60°．
∵ ?? = ??，
∴ 线段??与线段??是双关联线段．
解：答案不唯一，例如：
作法一：作法二：
如图，线段??即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
题型二 作一个角等于已知角
【典例 01】（2025·吉林长春·一模）下面是“作一个角使其等于∠???”的尺规作图方法．
上述方法通过判定△ ?′?′?′≌ △ ???得到∠?′?′?′ = ∠???，其中判定 △ ?′?′?′≌ △ ???的依据是（ ）
如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交??，??于点 C，D；
作射线?′?′，以点?′为圆心，??长为半径画弧，交?′?′于点?′；以点?′为圆心，??长为半径画弧，两弧交于点?′；
过点?′作射线?′?′，则∠?′?′?′ = ∠???．
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，?? = ?′?′，?? = ?′?′，?? = ?′?′，从而利用SSS即可证明 △ ?′?′?′≌ △ ???，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得，?? = ?′?′，?? = ?′?′，?? = ?′?′，
∴ △ ?′?′?′≌ △ ???(SSS)，
∴判定△ ?′?′?′≌ △ ???的依据是SSS，故选：A．
【变式 01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在 △ ???中，P 是边??的中点．按下列步骤尺规作图：①以点 B 为圆心，适当长为半径画弧、分别交??、??于点 D、E；②以点 P 为圆心，??的长为半径画弧，交线段??于点 F；③以点 F 为圆心，??的长为半径画弧，交前一条弧于点 G；④作直线??，交线段??于点
??
Q．则??的值为（ ）
131
A．3B．2C．2D．2
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由中
点定义可得?? = 2??，由作图过程可得∠??? = ∠?，可得 △ ??? ∽△ ???
????1
== ．
【详解】解：∵ △ ???中，P 是边??的中点，
∴?? = 2??．
由作图过程可得，∠??? = ∠?，
∵∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
，从而证明??
??2
????1
∴ ?? = ?? = 2，
故选：D．
【变式 02】（2024·山东德州·中考真题）已知∠???，点 P 为??上一点，用尺规作图，过点 P 作??的平行线．下列作图痕迹不．正．确．的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，??是∠???的平分线，且?? = ??，
∴∠1 = ∠2，∠1 = ∠3，
∴∠2 = ∠3，
∴??∥??，故本选项不符合题意；
B、由作图知，??是∠???的平分线，且?? = ??，
∴∠3 = ∠4，∠1 = ∠2，不能说明∠2与∠4相等，
∴??与??不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形，
∴??∥??，故本选项不符合题意；
D、由作图知，∠1 = ∠?，
∴??∥??，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式 03】（2025·吉林·中考真题）如图，在 △ ???中，∠? = 45°,∠? > ∠??? > ∠?．尺规作图操作如下：
以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边??，??于点 M，N；（2）以点 C 为圆心，??长为半径画弧，交边??于点?′；再以点?′为圆心，??长为半径画弧，与前一条以点 C 为圆心的弧相交于三角形内部的点?′；（3）过点?′画射线??′交边??于点 D．下列结论错．误．的为（ ）
A．∠? = ∠???B．∠???=90°C．?? = ??D．?? + ?? = ??
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得∠? = ∠??? = 45°，则由三角形内角和定理和等边对等角得到∠???=90°，?? = ??，由大 角对大边得到?? > ??，再由?? + ?? = ?? + ?? = ??可得?? + ?? < ??．
【详解】解：由作图方法可得∠? = ∠??? = 45°，故 A 结论正确，不符合题意；
∴∠??? = 180°−∠?−∠??? = 90°，?? = ??，故 B、C 结论都正确，不符合题意；
∵∠? > ∠??? > ∠?，
∴?? > ??，
∵?? + ?? = ?? + ?? = ??，
∴?? + ?? < ??，故 D 结论错误，符合题意；故选：D．
【变式 04】（2025·陕西·中考真题）如图，已知∠??? = 50°，点?在边??上．请用尺规作图法，在∠???的内部求作一点?，使得∠??? = 25°，且??∥??．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作∠???的平分线??，再在??同侧作∠???，使 ∠??? = ∠??? = 50°，??交??于 P即可．
【详解】解：如图，点?即为所求；
理由如下：
由作图可知：??是∠???的平分线，
∴∠??? =
1
2∠??? =
1 × 50° = 25°，
2
∵∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴点?即为所求．
【变式 05】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在 △ ???中，?是边??的中点．按下列要求作图：
①以点?为圆心、适当长为半径画弧，交线段??于点?，交??于点?；
②以点?为圆心、??长为半径画弧，交线段??于点?；
③以点?为圆心、??长为半径画弧，交前一条弧于点?，点?与点?在直线??同侧；
④作直线??，交??于点?．下列结论不一定成立的是（）
A．∠??? = ∠?B．∠??? + ∠? = 180∘
C．?? = ??D．
1
?? = 2??
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出∠??? = ∠?，根据平行线的判定得出??∥??，根据平行线的
性质得出∠??? + ∠? = 180∘
????
== 1，即可得出?? = ??．
，根据平行线分线段成比例得出????
【详解】解：A．根据作图可知：∠??? = ∠?一定成立，故 A 不符合题意； B．∵∠??? = ∠?，
∴??∥??，
∴∠??? + ∠? = 180∘一定成立，故 B 不符合题意；
C．∵?是边??的中点，
∴?? = ??，
∵??∥??，
∴?? = ?? = 1，
????
∴?? = ??一定成立，故 C 不符合题意；
1
D．?? = 2??不一定成立，故 D 符合题意．
题型三作一个角的平分线
【典例 01】（2026·湖北·模拟预测）如图，在▱????中，已知?? = 12,?? = 8，以点 B 为圆心，适当长为
1
半径画弧，交??于点 M，交??于点 N，分别以点 M，N 为圆心，大于2??的长为半径画弧，两弧相交于点
E，连接??并延长交??于点 F，则??的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：??平分∠???，再结合平行四边形的性质，可得∠??? = ∠???，从而得到?? = ?? = 8，即可求解．
【详解】解：由作法得：??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵在▱????中，?? = 12,?? = 8，
∴?? = ?? = 12,?? = ?? = 8,?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 8，
∴?? = ??−?? = 4．故选：B
【变式 01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，四边形????中，?? ∥ ??，?? = 6，?? = 10．下列步骤作图：
1
①以点?为圆心，适当长度为半径画弧，分别交??、??于?、?两点；②分别以点?、?为圆心，大于2??的
长为半径画弧；两弧相交于点?；③作射线??交??于点?，则??的长为．
【答案】4
【详解】解：由作图可知，??平分∠???，
∴∠??? = ∠???
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 6，
∵?? = 10，
∴?? = ??−?? = 4．
【变式 02】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 60°，?? = 2．在??
1
和??上分别截取??，??，使?? = ??．分别以 M，N 为圆心、以大于2??的长为半径作弧，两弧在∠???
内交于点 F．作射线??交??于点 D，则点 D 到??的距离为．
【答案】2 3/2 3
3 3
【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，??平分
∠???，求得?? = ??，∠??? =
1∠??? = 30°，解直角三角形即可求解．
2
【详解】解：作?? ⊥ ??于点?，则点 D 到??的距离为??的长，
由作图可知，??平分∠???，
∵∠??? = 90°，
∴?? = ??，
∵Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 60°，
∴∠??? =
1∠??? = 30°，
2
∵?? = 2，
，
2 3
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = 3
．
2 3
∴?? = ?? = 3
3
故答案为：2 3．
【变式 03】（2025·陕西汉中·一模）如图，在 △ ???中，∠? = 90∘，点?在边??上，连接??，过点?在??右侧作射线?? ⊥ ??．请你用尺规作图法在射线??上作一点?，连接??，使得 △ ??? ∽△ ???．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】本题考查相似三角形的尺规作图，涉及知识点：相似三角形的判定（两角对应相等）、尺规作 角．解题方法是利用 “两角对应相等的三角形相似”，通过尺规作角使 △ ???与 △ ???的角对应相等；解题关键是确定相似三角形的对应角，易错点是作角时的对应关系错误．解题思路：由△ ??? ∽△ ???且
∠??? = ∠? = 90∘，通过尺规作∠??? = ∠???，其与射线??的交点即为点?．
【详解】解：要使△ ??? ∽△ ???，已知∠??? = ∠? = 90∘，只需使∠??? = ∠???（两角对应相等，三角形相似）．
通过尺规作∠??? = ∠???，射线??与射线??的交点?，满足 △ ??? ∽△ ???．如图所示，
作图步骤：
以点?为圆心，任意长为半径画弧，分别交??、??、??于点?、?、?；
取??为半径，以?为圆心画弧，与步骤 1 的弧交于点?；
连接??并延长交??于点?；
【变式 04】（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线??，使扇形???的面积被直线??平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形???的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点?为圆心的弧??，交??于点?，交??于点?，使扇形???的面积与扇形???的面积比为1∶4．
【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形???的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形???的面积与扇形
???半径之比为1∶2，只要画出??或??的中点即可．方法一：作扇形???半径??的垂直平分线找到中点
?，然后以??为半径作弧交半径??于点?．方法二：扇形???的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形是斜边的一半，过?点作出??的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以?为圆心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]作法一：如图所示
1
①连接??，分别以点?和点?为圆心，大于2??的长为半径作弧，
两弧交于点?，标注出点?
②画直线??
③直线??即为所求作法二：如图所示
①以?为圆心，适当长为半径画弧，交??于点?，交??于点?，
1
②分别以?、?为圆心，大于2??的长为半径作弧，两弧交于点?，标注出点?.
③画直线??，直线??即为所求
[拓展探究]
∵ 扇形???的面积与扇形???的面积比为1∶4，设扇形???的半径为?，扇形???的半径为?
∴ 扇形???的面积∶扇形???的面积 = ?2∶?2 = 1∶4
∴ ? = 2?
∴ 只要画出??或??的中点即可作法一：
①作??的垂直平分线交??于点?，标注出点?
②以?为圆心??长为半径画弧，交??于点?，标注出点?
③弧??即为所求．（同理作??的垂直平分线也可得分）作法二：
过?点作出??的垂线或者过?点作??的垂线，取垂线段的长度为半径，以?为圆心画弧即可．（依据：含30°的直角三角形是斜边的一半）
【变式 05】（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形???中，∠??? = 90°．
先作∠???的平分线；设它交??边于点?，再以点?为圆心，??为半径作 ⊙ ?（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
1
(2)若?? = 3，sin? = 2，求△ ???的面积．
【答案】(1)图见解析；
△ ???的面积为 3．
【分析】（1）以点?为圆心，小于??长为半径画弧交??、??，再分别以该弧与??、??的交点为圆心画弧，连接点?与两弧交点并延长交??边于点?，再以点?为圆心，??为半径作 ⊙ ?；
（2）由特殊角的三角函数值可得∠? = 30°，结合角平分线的定义、等角对等边、解直角三角形的相关计算求出??、??，即可求出 △ ???的面积．
【详解】（1）解：作图如下：
1
解： ∵ ∠??? = 90°，sin? = 2，
∴ ∠? = 30°，
∵ ??是∠???的平分线，
∴ ∠??? = ∠??? =
1∠??? = 30° = ∠?，
2
∴ ?? = ??·tan30° =
× 3 = 1，?? = ?? = 2?? = 2，
3
3
3
11
∴△ ???的面积为2 × ?? × ?? = 2 × 2 ×
= 3．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的作法、圆的作法、角平分线的定义、等角对等边、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．
题型四 作线段的垂直平分线（作垂线）
【典例 01】（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°,∠? = 30°,?? = 4．以点?为圆心，
1
以??长为半径作弧，交??于点?；再分别以点?和点?为圆心，以大于2??长为半径作弧，两弧相交于点?，
作射线??交??于点?，则??的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查含 30 度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含 30
度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知?? ⊥ ??，然后根据含 30 度直角三角形的性质可得
?? = 2?? = 8,?? =
1?? = 2，进而问题可求解．
2
【详解】解：由作图可知：?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = 90°，∠? = 30°，?? = 4，
∴?? = 2?? = 8,∠? = 60°，
∴∠??? = 90°−∠? = 30°，
∴?? =
1?? = 2，
2
∴?? = ??−?? = 6，故选：B．
【变式 01】（2025·福建漳州·三模）如图， △ ???中，∠??? = 90°，∠? = 62°，分别以点?，?为圆心，大
1
于2??的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于?，?两点，连接??，??与??交于点?，则∠???
的大小为（ ）
A．28°B．30°C．31°D．38°
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得??垂直平分??，则点 O 是??的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出?? = ??，则∠??? = ∠? = 62°，据此可得答案．
【详解】解：由作图方法可得??垂直平分??，
∴ 点 O 是??的中点．
∵ ∠??? = 90°，
∴ ?? = ?? =
1??．
2
∴ ∠??? = ∠? = 62°．
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 28°．故选：A．
【变式 02】（2025·天津·一模）如图，在 △ ???中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于1??的长为半径作弧，
2
两弧相交于 M、N 两点，连接??，交??于点 H，以点 H 为圆心，??的长为半径作的弧恰好经过点 C，以点 B 为圆心，??的长为半径作弧交??于点 D，连接??，若∠? = 26°，则∠??? = （）．
A．64°B．58°C．52°D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
如图，连接??，先根据作图过程、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理证明∠??? = 90°，易得∠? = 64°，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，连接??．由作图可知，??垂直平分线段??，?? = ??,?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠???,∠??? + ∠???，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，即∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = (∠??? + ∠???) = 90°，
∵∠? = 26°，
∴∠? = 90°−26° = 64°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 1(180°−64°) = 58°．
2
故选：B．
【变式 03】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形????中，对角线??、??相交于点?．以点?为圆心，适
1
当长为半径画弧，分别交??、??于点?、?；再分别以?、?为圆心，大于2??的长为半径画弧，两弧在∠???
内交于点?；作射线??，交??于点?．若?? = 7，?? = 2，则?△??? = ．
【答案】7
【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理．
作?? ⊥ ??交??于 I，根据菱形的性质可知?? ⊥ ??，由作图可知??平分∠???，即?? = ?? = 2，进而根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作?? ⊥ ??交??于 I，
∵菱形????，
∴?? ⊥ ??，即?? ⊥ ??，由作图可知??平分∠???，
∴?? = ?? = 2，
11
∴?△??? = 2 × ?? × ?? = 2 × 7 × 2 = 7，
故答案为：7．
【变式 04】（2025·河南·中考真题）如图，四边形????是平行四边形，以??为直径的圆交??于点?．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心?（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点?是??的中点，连接??,??．求证：四边形????是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
运用尺规作直径??的垂直平分线即可；
根据平行四边形的性质结合题意得到?? ∥ ??，1
1，即?? = ??，由一组对边平行且
?? = 2??,?? = 2??
相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵??是直径，
∴运用尺规作直径??的垂直平分线交??于点?，
∴点?即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??,?? = ??，
∵点?,?分别是??,??的中点，
11
∴?? ∥ ??，?? = 2??，?? = 2??，即?? = ??，
∴四边形????是平行四边形．
【变式 05】（2025·福建·中考真题）如图，矩形????中，?? < ??．
求作正方形????，使得点 E，G 分别落在边??,??上，点 F，H 落在??上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若?? = 2,?? = 4，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析
2
10
【分析】（1）作??的中垂线交??于点?，交??于点?，以??为直径画圆，交??于点?,?，即可得到正方形
????；
（2）勾股定理求出??的长，进而求出??的长，证明 △ ???∽ △ ???，求出??的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出??的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形????就是所求作的正方形．
由作图可知，?? = ??，?? ⊥ ??，
∵矩形????，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
由作图可知，?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????为矩形，
∵?? ⊥ ??，
∴四边形????为正方形；
（2）由（1）知：?? = ??，?? = ??，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠? = 90°，
在Rt △ ???中，?? = 2,?? = 4，
??2 + ??2
∴ ?? == 2 5，
∴ ?? =
1?? = 5．
2
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°．又∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
??
??
??5
∴ ?? = ??，即 2 = 4 ，
．
5
∴ ?? = 2
在Rt △ ???中，?? = ??，
10
2
∴ ?? = 2?? =，
10
2
∴正方形 EFGH 的边长为．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相 似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
题型五作圆及圆的切线问题
【典例 01】（2025·青海西宁·一模）如图，在 △ ??? 中，?? ⊥ ?? ，垂足为 D．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作 △ ???的外接圆 ⊙ ? ，作直径??，连接??；
(2)证明： △ ??? ∽△ ???．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关键：
根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作??,??的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心?，再以?为圆心，??的长为半径画圆，延长??交 ⊙ ?于点?，连接??，即可；
（2）根据圆周角定理得到∠??? = ∠??? = 90°,∠??? = ∠???，即可得证；
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
∵??为直径，
∴∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90° = ∠???，又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
【变式 01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段??长为 8，O 是??上一点，且?? = 3，以 O 为圆心，
??为半径作圆在??的上方求作点 P 使得??相切于 ⊙ ?．
【答案】见解析
【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以??为直径作圆，与 ⊙ ?在??上方的交点即为所求点 P．
【详解】解：如图，点 P 即为所作．
【变式 02】（2026·陕西西安·一模）如图，已知 △ ???，点 P 在??边上，请用尺规作图法，求作⊙ ?，使圆心 O 在??边上，且 ⊙ ?与??边相切于点 P．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
过点 P 作??的垂线，交??于点 O，以点 O 为圆心，以??的长为半径作圆即可．
【详解】解：如图， ⊙ ?即为所求作的圆．
由作法可知， ??是 ⊙ ?的半径，且?? ⊥ ??，
∴??是⊙ ?的切线，
∴ ⊙ ?即为所求作的圆．
【变式 03】如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，?? = 3，?? = 4，D 是??的中点．
求作 ⊙ ?：使圆心 O 在??上，且⊙ ?经过 B、D 两点，与??交于点 E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
连接??，在（1）的条件下，求??的长度．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 6
5
【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键．
点 O 一定在线段??的垂直平分线上，而圆心 O 在??上，则点 O 为??的中点，据此作线段??的垂直平分线交??于点 O，再以点 O 为圆心，??的长为半径画弧交??于点 E 即可；
由（1）可知，??为 ⊙ ?的直径，则∠??? = 90°；由勾股定理可得??的长，证明 △ ??? ∽△ ???，
????
得到?? = ??，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接??， 由（1）可知，??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°；
∵在Rt △ ???中，∠? = 90°，?? = 3，?? = 4，
??2 + ??2
∴?? == 5；
∵D 是??的中点，
∴?? =
1?? = 2；
2
∵∠??? = ∠? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
??2
∴?? = ??，即 3 = 5，
6
∴?? = 5．
【变式 04】（2025·广东深圳·二模）已知直线?与 ⊙ ?相切于点 D．
(1)如图 1，??是⊙ ?的直径，延长??与直线?交于点 A，过点 B 作?? ⊥ ?，垂足为 C，交⊙ ?于点 F，连接
??．若?? = 5，?? = 12，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题：，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
(2)如图 2，点 P 是圆上一点，请用尺规在直线?上求作一点 Q，使得??与 ⊙ ?相切（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)13
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
问题：求⊙ ?的半径；利用相似三角形的判定和性质构建方程求解；
连接??，??，作∠???的角平分线交直线 l 于点 Q，作直线??即可．
【详解】（1）解：提出问题：圆 O 的半径是多少?
解：连接??，
∵直线与圆相切于点 O，
∴?? ⊥ ?，
∵?? = 5，?? = 12，?? ⊥ ?，
∴根据勾股定理可得?? = 13，
∵?? ⊥ ?，?? ⊥ ?，
∴∠??? = ∠???， 又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
∴?? = ??，
??
??
设半径为?则?? = ?? = ?，?? = 13−?，
∴13−? = ?，
135
65
解得? = 18；
（2）解：如图，直线??即为所求．
【变式 05】如图，已知矩形????．
(1)用无刻度的直尺和圆规在图 1 中求作⊙ ?，使⊙ ?与边??、??分别相切于点?、?；（保留作图痕迹）
(2)用无刻度的直尺和圆规在图 2 中求作⊙ ?，使 ⊙ ?经过?、?两点且与边??相切于点?；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键．
作线段??的垂直平分线交??于点 P，以点 P 为圆心，??为半径画圆即可．
按照要求作图即可．
【详解】（1）解： ⊙ ?即为所求，
∵四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠??? = 90°
由作图得出?? = ??且为 ⊙ ?的半径，
∴??,??都是 ⊙ ?的切线
故⊙ ?与边??、??分别相切于点?、?；
（2）解：①作线段??的垂直平分线??分别交??于点 E，交??于点?；
②作线段??的垂直平分线交??于点 Q；
③以 Q 为圆心，??长为半径作 ⊙ ?，如下： ⊙ ?即为所求．
∵ ⊙ ?经过?、?两点，
∴点?在??的垂直平分线上，
∵四边形????是矩形，
∴?? ∥ ??
∴∠??? = ∠??? = 90°
则点?为切点，故在圆上，
∴??是圆的弦，
∴作出弦??的垂直平分线，与上述的垂直平分线??交于一点即为点?（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点）
题型六格点作图问题
【典例 01】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）实践操作：如图是5 × 5的正方形网格，每个小正方形的边长都为 1．
(1)请在图中画出等腰 △ ???，使得点?在格点上，?? = ??，且∠??? < 90°；
(2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边??上的高??，并保留作图痕迹．
【答案】(1)见详解
(2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理与网格、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
根据网格的特点和勾股定理即可作图；
根据矩形的性质和等腰三角形三线合一进行作图即可；
【详解】（1）解：如图， △ ???即为所求，
32 + 42
证明：∵?? = 5,?? == 5，
∴?? = ?? = 5，
∴ △ ???是等腰三角形；
（2）解：如图，??即为所求，
∵点 H 是矩形????的对角线的交点，
∴?? = ?? =
1??，
2
∵ △ ???是等腰三角形，
∴?? ⊥ ??，
即边??上的高为??；
【变式 01】（2025·江西南昌·模拟预测）图①、图②、图③均是5 × 5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B 均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段??为边画 △ ???，使点 C 在格点上，且tan? = 1；
2
(2)如图②中以线段??为边画 △ ???，tan? = 3；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图−应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
取格点?，连接??，??，使△ ???为等腰直角三角形，此时tan? = 1，故△ ???为所求；
取格点?，连接??交格线于?，连接??， △ ???是等腰直角三角形，可得?? = ??，∠? = 90°，得出
??2??22
?? = 3，?? = 3，所以tan∠??? = 3，故△ ???即为所求．
【详解】（1）解：如图：取格点?，连接??，??， △ ???即为所求；
（2）解：如图：取格点?，连接??交格线于?，连接??， △ ???即为所求．
【变式 02】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．）
(1)画出 △ ???关于??对称的 △ ??1?；
(2)在??边上找一点 D，在??边上找一点 E，使得△ ??? ∽△ ???，且相似比为3∶5．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求．
通过观察格点中??的位置，利用对称点到??的格点距离相等的特征，在??另一侧找到 B 的对称点
?1，连接??1、?1?完成轴对称作图；
先根据网格确定??的格点长度，按3∶5的相似比在??上找到点 D，使??:?? = 3∶2，则??:?? = 3∶5，再利用格点中与??平行的连线与??交于点 E，于是满足△ ??? ∽△ ???．
【详解】（1）如图， △ ??1?即为所求．
（2）如图，点 D、E 即为所求．
【变式 03】（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的 3 个 4 格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形????的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
(1)如图 1，?是格点，先将点?绕点?逆时针旋转90°，画对应点?，再画直线??交??于点?，使直线??平分矩形????的面积．
(2)如图 2，先画点?关于直线??的对称点?，再画射线??交??于点?，使?? ∥ ??．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
旋转变换的性质作出点?的对应点?即可，连接??交网格线于点?，作直线??交??于点?即可；
取格点?,?，连接??,??交于点?，取格点?,?,?，网格线的中点?，连接??,??交于点?，作直线??交??于点?，直线??即为所求．
【详解】（1）解：如图，点?，直线??即为所求．
（2）解：如图，点?，直线??即为所求．
【变式 04】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点， △ ???的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
??1
在方格纸中，画出 △ ???（点?在格点上），满足?? = 2，且△ ???的面积是 5；
在 △ ???的边??上画出点?，使线段??的长是 3 个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接
??，并直接写出tan∠???的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，tan∠??? = 6
17
【分析】（1）作?? = 5，??边上的高为2，?? =
12 + 22
= 5，?? =
= 2
??1
= ；
，则??2
42 + 22
5
（2）取格点?和?，使?? = 2，?? = 3，连接??交边??于点?，利用相似三角形的判定和性质求得
36817
?? = 5?? = 3；作?? ⊥ ??，证明 △ ??? ∽△ ???，求得?? = 5，?? = 5，?? = ?? + ?? = 5 ，再利用正
切函数的定义求解即可．
【详解】（1）解： △ ???如图所示：
；
（2）解：点?如图所示：
作?? ⊥ ??，则??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??
????5−3
= =
??
??
??，即 345 ，
68
∴?? = 5，?? = 5，
12
∴?? = 4−?? = 5 ，
17
∴?? = ?? + ?? = 5 ，
6
．
??6
==
∴tan∠??? =
??
5
1717
5
【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式 05】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的5 × 4网格，每个小正方形的顶点叫做格点． △ ???三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
在图（1）中，画 △ ???的中线??；
在（1）的基础上，在线段??上画点 E， 使?? = 2??；
在图（2）中，E 为格点，在线段??上画点 F， 使?? ∥ ??；
在（2）的基础上，在线段??上画点 G， 使?△??? = 2?△???．
【答案】(1)见解析
见解析
见解析
见解析
【分析】（1）找到以??为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到??的中点；
连接??，可证??为??边中线，则??与??的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点?；
连接??，可证明四边形????为平行四边形，所以?? ∥ ??，则??与??交点即为点?；
因为?? ∥ ??，所以?△??? = ?△???，若使?△??? = 2?△???，即使?△??? = 2?△???，即使?? = 2??，利用平行线分线段成比例定理作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接??交??于点?，连接??即为所求；
∵四边形????为矩形，
∴?为??的中点，
连接??即为△ABC 的中线；
解：如图，连接??与??交于点?，?点即为所求；
∵ ?为??中点，
∴??为??边中线，
则??与??的交点?为三角形的重心，根据重心性质可知?? = 2??，
∴?点即为所求；
解：如图，连接??交??于?，??即为所求；
∵ ?? = ?? = 3,?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，
∴?? ∥ ??，
则??与??交点即为点?，故??即为所求；
解：如图，连接??,??，??与??交于点?，?点即为所求；
∵?? = ?? = 1,?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，
∴ ?? ∥ ??，
????2
∴ ?? = ?? = 1，
即?? = 2??，
∴?△??? = 2?△???，
∵?? ∥ ??，
∴?△??? = ?△???，
∴?△??? = 2?△???，故?点即为所求．
【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
题型七 无刻度直尺作图
【典例 01】（2025·江苏南京·三模）如图，已知线段??和直线?．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线?作符合要求的点?（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）．
(1)∠??? = 30°；
(2)∠???的度数最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键．
1
在??下方作等边三角形???，以点 C 为圆心，??的长为半径画圆， ⊙ ?交直线 l 于点 P 和点?′，由
等边三角形的性质可得∠??? = 60°，由圆周角定理可得∠??? = ∠?
?′
? = 2∠??? = 30°；
如图所示，延长??交直线 l 于点 C，以??为直径作圆，过点 A 作?? ⊥ ??交以??为直径的圆于 D，以 C 为圆心，??的长为半径画弧，交直线 l 于点 P，则点 P 即为所求；可证明当过点 A 和点 B 的圆与直线
l 相切时，∠???的度数最大，此时可证明 △ ??? ∽△ ???，则可证明??2 = ?? ⋅ ??，可证明
△ ??? ∽△ ???，则??2 = ?? ⋅ ??，则?? = ??．
【详解】（1）解：如图所示，点 P 和点?′即为所求；
（2）解：如图所示，点 P 即为所求；
【变式 01】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形????中，?? = 4，?? = 7，把矩形折叠，使得点 B
与边??上的点 P 重合，??为折痕，点 M，N 分别在边??，??上．
请用尺规在图中作出过点 M，D，P 的⊙ ?；（不写作法，保留作图痕迹）
若直线??与过 M，D，P 三点的⊙ ?相切，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)见解析
2
(2)5
【分析】（1）连结??，作??的垂直平分线，与??交于点 O，再以点 O 为圆心，??为半径画圆即可；
（2）过 O 作?? ⊥ ??交??于 E 、交??于 F ，连接?? ，根据切线性质，正方形性质及翻折，可得Δ???≌ Δ???，从而求解．
【详解】（1）解：在矩形????中，由∠? = 90°，
则Rt △ ???的外接圆是以斜边??为直径的圆，作图如下图 1：
1
①分别以 A，B 为圆心，大于2??的长度为半径，上下画弧，两弧上下各交于一点，连接这两个点，与??
交于点 O，
②以点 O 为圆心，??为半径画圆，则圆 O 即为所作图形．
（2）解：过?作?? ⊥ ??交??于?、交??于?，连接??，如图（2）所示：
则四边形????是矩形，
∵ ??是 ⊙ ?的切线，
∴ ∠??? = 90°
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
四边形????是矩形， ∴ ∠? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
由题意，把矩形折叠，??为折痕，
∴ ??垂直平分??，
∴ ?? = ??，
在Δ???和Δ???中
∠??? = ∠???
∵∠? = ∠???
?? = ??
∴ Δ???≅Δ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 4，?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??−?? = 7−4 = 3，
??2 + ??2
∴ ?? =
=
= 5，
42 + 32
5
∴⊙ ?的半径为2．
【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆相切的性质、折叠性质、圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题关键．
【变式 02】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系， △ ???为格点（网格线的交点）三角形．
将 △ ???先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得 △ ?1?1?1，画出平移后的△ ?1?1?1；
画出 △ ???关于?轴对称的 △ ?2?2?2；
(3)用无刻度直尺在??边上作一点?，使∠??? = 45°（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析；
见解析；
见解析．
【分析】本题考查作图−平移变换、作图−轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质作图即可；
根据轴对称的性质作图即可；
在??的右侧作?? ⊥ ??，且?? = ??，连接??交??于点?，则点?即为所求．
【详解】（1）如图， △ ?1?1?1即为所求
如图， △ ?2?2?2即为所求
如图，在??的右侧作?? ⊥ ??，且?? = ??，连接??交??于点?，
此时△ ???为等腰直角三角形，
∴ ∠??? = 45°，即∠??? = 45°，则点?即为所求．
【变式 03】（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：
第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作∠???的角平分线交对角线??于点 E；作∠???的角平分线交对角线??于点 F；连接??、??（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：证明猜想如图，四边形????是菱形，对角线??、??交于点 O．??平分∠???，??平分∠???．求证：四边形????是菱形．
证明：在菱形????中，?? ⊥ ??，?? = ??，??∥??，
∴ ∠??? = ∠???（两直线平行，内错角相等），
∵ ??平分∠???，??平分∠???，
∴ 2∠??? = ∠???，2∠??? = ∠???，
∴ ①，
∴ ?? ∥ ??（内错角相等，两直线平行），
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
② ，
∠??? = ∠???
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ③，又∵ ??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ?? ⊥ ??，且 E、F 均在??上，
∴ ?? ⊥ ??，即?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是菱形（④）．
【答案】作图见解析；①∠??? = ∠???；②?? = ??；③?? = ??；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱
形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知??∥??，得到
∠??? = ∠???，结合角平分线可推得①，再证明 △ ???≌ △ ???，得出②，再证明四边形????是平行四边形，结合?? ⊥ ??，即可证明四边形????是菱形，得到④．
【详解】解：如图所示，就是所求作的图形；
证明：在菱形????中，?? ⊥ ??，?? = ??，??∥??，
∴ ∠??? = ∠???（两直线平行，内错角相等），
∵ ??平分∠???，??平分∠???，
∴ 2∠??? = ∠???，2∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??（内错角相等，两直线平行），
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，又∵ ??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ?? ⊥ ??，且 E、F 均在??上，
∴ ?? ⊥ ??，即?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：①∠??? = ∠???；②?? = ??；③?? = ??；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【变式 04】（2025·广东深圳·中考真题）如图 1，在Rt △ ???中，?是??的中点，?? = ??，?? = ??．
求证：四边形????为菱形；
如图 2，若点?为??上一点，?? = 4，且?，?，?三点均在⊙ ?上，连接??，??与 ⊙ ?相切于点?，
①求∠??? = ；
②求⊙ ?的半径?；
利用圆规和无刻度直尺在图 2 中作射线??∥??，交??于点?，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②? = 4
3
(3)见解析
【分析】（1）先证明四边形????为平行四边形，斜边上的中线得到1
，即可得证；
?? = 2?? = ?? = ??
（2）①根据菱形的性质，得到∠??? = ∠???，等角对等边得到∠??? = ∠???，三角形的外角得到
∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠??? = 2∠???，切线得到∠??? = 90°，再根据角的和差关系进行求解即可；
②解直角三角形???，进行求解即可；
（3）利用尺规作图作∠??? = ∠???，即可．
【详解】（1）解： ∵ ?? = ??，?? = ??
∴ 四边形????为平行四边形，又∵ ∠??? = 90°，且?为??中点
∴ ?? =
1?? = ?? = ??，
2
∴ 平行四边形????为菱形．
① ∵ 四边形????为菱形．
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，又∵ ?? = ?? = ?，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠??? = 2∠???，
∵ ??切 ⊙ ?于?，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 2∠??? + ∠??? = 90°；
∴ ∠??? = 30°；
②设半径为?，
∵ ?? = 4，
∴ ?? = 4−?，
∵ ∠??? = 30°，∠??? = 90°，
??
?1
∴ sin∠??? = ?? = 4−? = 2；
4
解得：? = 3；
由题意，作图如下：
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式 05】（2025·江苏·一模）用直尺和圆规作出下列图形．
(1)如图②，点?是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点?，使它们将正方形的面积四等分；
(2)如图③，在四边形????中，?? ∥ ??，?? + ?? = ??，点?是??的中点，如果?? = ?，?? = ?，且
? > ?，请过点?作一条直线将四边形????的面积平分，并简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接??、??相交于点?，作直线??分别交??、??于?、?两点，过点?作用??的垂线分别交??、??于?、?两点，则直线??、??将正方形????的面积四等分．可应用 △ ???≌ △ ???得出结论．
（2）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解．
【详解】（1）解：如图②，连接??、??相交于点?，作直线??分别交??、??于?、?两点，过点?作用??的垂线分别交??、??于?、?两点，则直线??、??将正方形????的面积四等分．
理由如下：
∵点?是正方形????对角线的交点，
∴点?是正方形????的对称中心．
∴?? = ??，?? = ??．在△ ???和 △ EOB中，
∵∠??? = 90°−∠???,∠??? = 90°−∠???，
∴∠??? = ∠???．
∵?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ???≌ △ ???（ASA）．
∴?? = ?? = ?? = ??．
∴?? = ?? = ?? = ??．
设点 O 到正方形????一边的距离为?．
1111
2
∴(?? + ??)? = 2(?? + ??)? = 2(?? + ??)? = 2(?? + ??)?
∴S四边形???? = ?四边形???? = ?四边形???? = ?四边形????．
∴直线??、??将正方形????面积四等分．
（2）如图③，在??上截取?? = ?? = ?，作直线??，直线??即为所求作：
延长??至点 E，使?? = ?，延长??至点 F，使?? = ?，连接??．
∴??∥??，?? = ??．
∴四边形????为平行四边形．
∵?? = ?? = ? + ?，
∴平行四边形????为菱形．
连接??交??于点?，则 △ ???≌ △ ???．
∴?? = ??，即点?、?重合．
∴点?是菱形????对角线的交点．
∵在??上截取?? = ?? = ?，
∴?? = ?? = ?．
设点?到菱形????一边的距离为?，连接??，
∴?
1
+ ?
1?
+ ?△???．
△???
△??? = 2(?? + ??)? = 2(?? + ??)? =
△???
∴当?? = ?时，直线??将四边形????的面积分成相等的两部分．
【点睛】本题考查了正方形性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形的面积，基本尺规作图等知识点的应用，作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质求面积、根据菱形的性质与判定求面积．
（限时训练：30 分钟）
1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形????：（1）画∠???；（2）以点?为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交??、??于点?、?：（3）分别以点?和点?为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点?；（4）连接??、??、??．若∠? = 40°，则∠???的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形????是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得?? = ?? = ?? = ??
∴四边形????是菱形，则??∥??，∠??? = ∠??? =
1
2∠???
又∵∠? = 40°，
∴∠??? = ∠??? = 1∠??? = 1(180°−∠?) = 70°
22
故选：D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， △ ???中，?? = ?? = 10，点?为??的中点，以点?为圆心，适当长为半径画弧，分别交??，??于点?，?，分别以点?，?为圆心，大于??的长的一半为半径画弧，两弧交于点?，画射线??交??于点?，连接??，则??的长是（ ）
2
A．5B．5
【答案】A
C．8D．5
3
【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得??平分∠???，由?? = ??
得?? ⊥ ??，再由点?为??的中点得
1，进而即可得解．
?? = 2??
【详解】解：由作图知，??平分∠???，
∵?? = ?? = 10，
∴?? ⊥ ??，
∵点?为??的中点，
∴?? =
?? = 5，
1
2
故选：A．
3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在 △ ???中，?? = 16，?? = 12，?? = 10，∠???的平分线??与??相交于点?．在线段??上取一点?，以点?为圆心，??长为半径作弧，与射线??相交于点?和点?，再分别以
1
点?和点?为圆心，大于2??的长为半径作弧，两弧相交于点?，作射线??，与??相交于点?，连接??．则
△ ???的周长为（）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知
?? ⊥ ??，证明 △ ???≌ △ ???，得到?? = ??，?? = ??，进而求出??的长，得到??垂直平分??，得到
?? = ??，进而推出 △ ???的周长等于?? + ??的长即可．
【详解】解：由作图可知，?? ⊥ ??，设??,??交于点?，则：∠??? = ∠??? = 90°，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，?? = ?? = 12，
∴??垂直平分??，?? = ??−?? = 4，
∴?? = ??，
∴ △ ???的周长为?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? = 14；故选 B
4．（2026·四川成都·一模）如图，在 △ ???中，?? = ??，∠??? = 90°．按以下步骤作图：①分别以点
1
A，B 为圆心，以大于2??长为半径作弧，两弧交于点 E，F；②作直线??；③以点 B 为圆心，以??为半径
画弧交直线??于点 G；④连接??交??于点 P．则∠??? = ．
【答案】75°
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质．如图，由题意易得
∠? = ∠? = 45°，??∥??，?? =
1??，则有∠??? = ∠??? = 30°，进而问题可求解．
2
【详解】解：如图所示：
由题意得??垂直平分??，?? = ??，
∴?? =
1
2?? =
1??，
2
??1
∴sin∠??? = ?? = 2，
∴∠??? = 30°，
∵∠??? = 90°，
∴??∥??，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∵?? = ??，
∴∠? = ∠? = 45°，
∴∠??? = ∠??? + ∠? = 75°；故答案为：75°．
5．（2026·上海闵行·一模）在Rt △ ???中，∠? = 90°,∠??? = 60°,?? = 12，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出??的长是．
【答案】6
【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，含30°的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图痕迹可知，??平分∠???，?? ⊥ ??，因为∠??? = 60°，则∠??? = 30°，利用含30°的直角三角形的性质即可求??．
【详解】解：根据作图痕迹可知，??平分∠???，?? ⊥ ??，
∵∠??? = 60°，
∴∠??? = 30°，
∵?? = 12，
∴?? =
1
2?? =
1 × 12 = 6．
2
故答案为：6．
6．（2026·陕西西安·一模）如图，点 A 在⊙ ?外，求作⊙ ?的一条直径??，使?? = ??．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】要作出⊙ ?的直径??使?? = ??，需利用线段垂直平分线的性质，延长??交 ⊙ ?于?,?两点，作线段??的垂直平分线即可．
【详解】如图所示
7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，??为正方形????的对角线．
尺规作图：作??的垂直平分线?交??于点?，在?上确定点?，使得点?到∠???的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
在（1）的条件下，求∠???的度数．（请直接写出∠???的度数）
【答案】(1)画图见解析
(2)22.5°
【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
由题意先作??的垂直平分线?，再根据点?到∠???的两边距离相等可知点?在∠???的角平分线上，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得∠???，然后由∠??? + ∠??? = 90°和∠??? + ∠??? = 90°，得到∠??? = ∠???，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线?，点?即为所求.
解：∵四边形????是正方形，??是对角线，
∴∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∵??平分∠???，
∴∠??? =
1
2∠??? =
1 × 45° = 22.5°，
2
∵直线? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 22.5°．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形????．
(1)尺规作图：在??边上找一点 E，将矩形????沿??折叠，使点 C 落在边??上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若?? = 3，?? = 5，求??的长．
【答案】(1)图见解析
(2)?? = 5
3
【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
以?为圆心，??为半径画弧，交??于点?，作∠???的角平分线，交??于点?，??即为所求；
（2）折叠的性质，得到?? = ??,?? = ??，在Rt △ ???中，勾股定理求出??的长，进而求出??的长，设
?? = ?? = ?，在Rt △ ???中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，??即为所求；
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = 90°,?? = ?? = 5,?? = ?? = 3，
∵由折叠可得?? = ?? = 5,?? = ??，
??2−??2
在Rt △ ???中，由勾股定理，得：?? == 4，
∴?? = ??−?? = 1，
设?? = ?? = ?，则：?? = ??−?? = 3−?，
在Rt △ ???中，由勾股定理，得：?2 = 12 + (3−?)2，
5
解得：? = 3，
5
∴?? = 3．
9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图是由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段??的端点均在格点上．
将线段??向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段??，点?的对应点为?，点?的对应点为?，画出四边形????，并直接写出四边形????的周长；
(2)在（1）的条件下，在线段??上画点?，连接??、??，使?? = ??．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．）
2
26
【答案】(1)见解析；2+2
见解析
【分析】本题考查作图-平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
根据平移的性质作图即可；结合勾股定理计算即可．
（2）取格点?,?,连接??交??于点?，则点?为??的中点；作格点?,使?? = ?? = 13，连接??,交??于点
?，则??垂直平分??，则点 E 即为所求．
【详解】（1）解：如图，四边形????即为所求．
12 + 12
由勾股定理得?? = ?? =
= 2，?? = ?? =
= 26，
52 + 12
2
∴四边形????的周长为?? + ?? + ?? + ?? = 2+2 26；
（2）解：如图，取格点?,?,连接??交??于点?，则点?为??的中点；作格点?,使?? = ?? = 13，连接
??,交??于点?，则??垂直平分??，连接??、??，则点 E 即为所求．
10．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形????，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠???的平分线??，交边??于点?．
②过?作?? ⊥ ??，垂足为?；
(2)求证：四边形????是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可；
（2）先根据平行线加角平分线得?? = ??，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
证明：∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵矩形????，
∴?? ∥ ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∵?? = ??，
∴四边形????是正方形．
11．（2025·河南·模拟预测）如图， △ ???内接于 ⊙ ?，??是 ⊙ ?的直径，D 是⊙ ?上的一点，??平分
∠???，??与??相交于点 E．
请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 C 作⊙ ?的切线，交??延长线于点 F；
5
当 ⊙ ?的半径为 5，sin ? = 3时，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 24
5
【分析】（1）延长??，以点?为圆心，取合适长度画弧与??及延长线交于两点，再分别以此两点为圆心，取大于??的一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点 O，延长??交这条直线于点 F，由此作 图即可；
（2）由角平分线定义和圆周角定理可证得?? ∥ ??，再由??为⊙ ?的切线可得∠??? = 90°，根据圆周角定 理可知∠??? = 90°，由此证得∠??? = ∠?，在Rt △ ???和Rt △ ???中分别解直角三角形求出??、??的长，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线??为所求；
（2） ∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∵ ∠? = ∠?，
∴ ∠??? = ∠?，
∴ ?? ∥ ??，
∵ ??为⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠?，
在Rt △ ???中， ∵ sin ? = ?? = 3，
??5
∴ ?? =
3 × 10 = 6，
5
在Rt △ ???中， ∵ sin ∠??? = ?? = sin ? = 3，
??5
3
∴ ?? = 5 × 6 =
??2−??2
∴ ?? =
18
5 ，
=
24
62−( 18 )2
5
= 5 ，
24
则??的长为 5 ．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，角平分线定义，圆周角定理，解直角三角形，切线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5 × 5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点?、?、?均在格点上，?、?是线段??与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图①中，过点?作??的垂线；
在图②中，在??上找一点?，连结??，使1；
?? = 2??
在图③中，在??上找一点?，连结??，使1．
?? = 4??
【答案】(1)见解析
见解析
见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，格点作图题，利用斜边的中线等于斜边的一半，，解题关键是斜边的中线等于斜边的一半．
取格点 E，连结??即可；
取格点 E，连接??交??于点 M，连接??，点 M 即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）；
取格点 F，H，连接??交??于点 N，连接??，点 N 即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）．
【详解】（1）解：如图所示：
直线??即为所求；
如图所示：
?? ⊥ ??，?为??中点，
∴?? =
1??，
2
点 M 即为所求；
如图所示：
?? ⊥ ??，?为??中点，
∴?? = ?? =
1??，
4
∴点 N 即为所求．