2026年中考数学二轮复习 专题10 解直角三角形的实际应用(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题10 解直角三角形的实际应用(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了仰角、俯角问题，方位角问题，坡度、坡角问题，测量高度与距离问题，解直角三角形与实际方案设计等内容，欢迎下载使用。

解直角三角形的实际应用是中考数学必考核心题型，分值稳定在 8～12 分，多以解答题形式 出现，属于中档必得分题。命题贴近生活实际，常结合测量、航海、建筑、山体护坡等背景，重点考查将实际问题转化为数学模型的能力，突出 “建模 — 转化 — 计算” 三步解题思路。基础知识必备：熟练掌握锐角三角函数定义及特殊角三角函数值；理解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等基本概念；能通过作高构造直角三角形，掌握 “有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除” 的解题原则；能结合勾股定理、方程思想进行综合计算，规范书写解题步骤。
2026 中考预测：
题型：考查题型平稳固定，以解答题为主，少数地区配套基础填空小题，核心围绕仰角俯角、方位角、坡度坡角三大经典场景命题，双直角三角形共用边模型为必考形式，部分题目增设简
短实际决策设问，贴合新课标考查方向。
难度：整体难度适中，全程定位中档基础题，无偏题、怪题与复杂几何综合，计算量适中，仅
需常规作垂直辅助线构造直角三角形即可求解，属于中考必拿分的保底题型，区分度侧重解题步骤规范度。
命题趋势：2026 年命题贴合新课标理念，背景素材更贴近生活测量、工程建设、航海搜救等实际场景，分值 8–12 分保持稳定；弱化机械计算，强化数学建模与规范解题，紧扣“建模—转化—计算”核心思路，牢牢立足基础考点，不做超纲拔高。
题型一 仰角、俯角问题
【典例 01】（2025·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌??，小辉准备利用所学的三角函数 知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度? = 1：0.75的斜坡从看台前的 B 处步行 50 米到达 C 处，测得广告牌底部 D 的仰角为45°，广告牌顶部 E 的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌?? = 15米，则该主楼??的高度约为（）（结果精确到整数，参考数据：sin53° ≈ 0.8，cs 53° ≈ 0.6，tan53° ≈ 1.3）
A．83mB．85mC．89mD．90m
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过 C 作?? ⊥ ??于 F，?? ⊥ ??于 G，则四边形????是矩形．解Rt △ ???，得?? = 40（米），设?? = ?米，解Rt △ ???，得出?? = ?? = ?米．再解Rt △ ???，根据1.3?−? = 15，求出? = 50，即可求解．
【详解】解：过 C 作?? ⊥ ??于 F，?? ⊥ ??于 G，如图所示：
则四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∵斜坡??的坡度? = 1∶0.75 == ，?? = 50米，
??
4
??3
∴?? = 30（米），?? = ?? = 40（米），设?? = ?米．
在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∴?? = ?? = ?米．
在R? △ ???中，∠??? = 53°，
∴?? = tan53° ⋅ ?? = 1.3?（米），
∵?? = 15米，
∴1.3?−? = 15，
∴? = 50，
∴?? = 50米，
∴?? = ?? + ?? = 40 + 50 = 90（米），故选：D．
【变式 01】（2026·陕西咸阳·一模）某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆??垂直于水平地面，在地面上选取?,?两处（点?,?,?在同一条直线上），测得地面上?,?两点的距离为15m，分别在点?和点?处测得旗杆顶端的仰角为35°和54.5°，请根据他们的测量数据，求旗杆??的高．（参考数据：sin35° ≈ 0.57，cs35° ≈ 0.82，tan35° ≈ 0.70，sin54.5° ≈ 0.81，cs
54.5° ≈ 0.58，tan54.5° ≈ 1.40）
【答案】旗杆??的高为7m
【分析】由题意得，∠? = 35°,∠? = 54.5°,?? ⊥ ??，然后根据锐角三角函数列出等式，得到?? = 2??，最后由?? = 15m即可求解．
【详解】解：由题意得，∠? = 35°,∠? = 54.5°,?? ⊥ ??，
∵在Rt △ ???中，tan∠? = ??，
??
∴?? = ?? ⋅ tan∠? = ?? ⋅ tan35° = 0.70??．
∵在Rt △ ???中，tan∠? = ??，
??
∴?? = ?? ⋅ tan∠? = ?? ⋅ tan54.5° = 1.40??，
∴0.70?? = 1.40??，
∴?? = 0.70 = 1，即?? = 2??．
??1.40
2
∵?? = 15m，
∴?? + ?? = 15m，
∴2?? + ?? = 15m，解得?? = 5m，
∴?? = 1.40?? = 1.40 × 5 = 7(m)．
答：旗杆??的高为7m．
【变式 02】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点?处测得山顶?的仰角为30°，沿坡面倾角为15°的坡面??向上行进80?到达点?，此时测得山顶?的仰角为45°．
3
(1)求点?的垂直高度??(精确到0.1m)； (2)求山体的垂直高度??(精确到0.1m)．
2
(参考数据：sin15° ≈ 0.26，cs15° ≈ 0.97，tan15° ≈ 0.27，
≈ 1.41，
≈ 1.73)
【答案】(1)20.8m；
(2)77.4m
【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点?的垂直高度；
（2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合30°角的三角函数关系列方程求解．
【详解】（1）解：在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 15°，?? = 80m，
sin∠??? = ??，
??
∴ ?? = ?? ⋅ sin15° ≈ 80 × 0.26 = 20.8(m)．
答：点?的垂直高度??约为20.8m．
（2）解：过点?作?? ⊥ ??于点?，
解得? ≈ 77.4m．
答：山体的垂直高度??约为77.4m．
3 ，
1.73
?
∴ ?+56.8 =
3
3 ≈ 1.73，
??3
在Rt △ ???中，∠??? = 30°，tan30° = ?? =
∴ ?? = 77.6 + (?−20.8) = (? + 56.8)m．
??
在Rt △ ???中，cs∠??? = ??，
∴ ?? = ?? ⋅ cs15° ≈ 80 × 0.97 = 77.6(m)，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = 20.8m，?? = ??．
设山体的垂直高度?? = ?m，则?? = ??−?? = (?−20.8)m．
∵ ∠??? = 45°，∠??? = 90°，
∴△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = ?? = (?−20.8)m．
【变式 03】数学活动小组欲测量山坡??上一座信号塔??的高度，如图，?? ⊥ ??于点 E．在 A 处测得信号塔顶端 D 的仰角为30°，沿水平地面前进 47 米到达 B 处，已知山坡坡角∠??? = 37°，?? = 50米．（图中
3
343
各点均在同一平面内，参考数据：sin37° ≈ 5，cs37° ≈ 5，tan37° ≈ 4，
求??的高度；
求信号塔??的高度
≈ 1.7）
【答案】(1)30 米
(2)19.3 米
【分析】（1）在Rt △ ???中，由?? = ?? ⋅ sin∠???求出??的高度；
（2）先求出??的长，再求出??的长，在Rt △ ???中，由?? = ?? ⋅ tan∠???求出??的长，最后根据
?? = ??−??，求得信号塔??的高度．
【详解】（1）解：∵?? ⊥ ??于点 E，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = 37°，?? = 50（米），
∴在Rt △ ???中，
?? = ?? ⋅ sin∠??? = ?? ⋅ sin37° = 50 × ≈ 30（米），
3
5
答：??的高度约为 30 米；
（2）解：∵∠??? = 90°，∠??? = 37°，?? = 50（米），
∴在Rt △ ???中，
?? = ?? ⋅ cs∠??? = ?? ⋅ cs37° = 50 × ≈ 40（米）．
4
5
∵?? = 47（米），?? ≈ 40（米），
∴?? = ?? + ?? ≈ 47 + 40 ≈ 87（米），
∵∠??? = 90°，∠??? = 30°，?? ≈ 87（米），
∴在Rt △ ???中，
?? = ?? ⋅ tan∠??? = ?? ⋅ tan30° ≈ 87 × 3 ≈ 49.3（米），
3
∴?? = ??−?? ≈ 49.3−30 ≈ 19.3（米）．
答：信号塔??的高度约为 19.3 米．
【变式 04】（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图②，商字高度为??，点 C，E 分别在商字两侧（A，C，E 在同一水平线上）．??，??均为同一测角仪的高度．
实地测量：在 F 处测得商字顶部 B 的仰角为60°，在 D 处测得商字顶部 B 的仰角为40°，?? = 34.5m，
?? = ?? = 1.5m．
(1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：sin40° ≈ 0.64,cs
3
40° ≈ 0.77,tan40° ≈ 0.84，≈ 1.73）；
(2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可）
【答案】(1)21.0m
(2)多次测量角度求其平均值
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键．
（1）设?? = ?m，则?? = (?−1.5)m，根据题意得到方程?−1.5 + ?−1.5 = 34.5，解方程即可得到答案；
（2）根据平均值的意义进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，连接??交??于点 M．
由题意可知，四边形????，????均为矩形．设?? = ?m，则?? = (?−1.5)m．
在Rt △ ???中，∠??? = 60°，
tan60°
tan40°
??
??
∴tan60° = ??，即?? = tan60°
在Rt △ ???中，∠??? = 40°，
????
∴tan40° = ??，即?? = tan40°，
∵?? = ?? = 34.5m，
∴?−1.5 + ?−1.5 = 34.5，
tan60°tan40°
解得? ≈ 21.0．
答：商字的高度约为21.0m；
（2）多次测量角度求其平均值；皮尺应拉直等．（答案不唯一）
【变式 05】（2025·四川成都·模拟预测）图 1 是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图 2 所示，摄像头的仰角、俯角均为15°，摄像头的高度?? = 150cm，识别的最远水平距离?? = 150cm．( 参考数据：sin15° ≈ 0.26，cs15° ≈ 0.97，tan15° ≈ 0.27 ，sin
20° ≈ 0.34，cs20° ≈ 0.94，tan20° ≈ 0.36)
(1)若直立站在离摄像头水平距离130cm的点 C 处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高；
(2)小兰身高120cm，头部高度为15cm，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为20° (如图 3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明．
【答案】(1)185.1cm
(2)能，理由见解析
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键．
如图：过点 C 作??的垂线分别交仰角、俯角线于点 E、D，交水平线于点 F，根据正切值求出??长度，再利用三角形全等可求出?? = ?? = 35.1cm，最后利用矩形的性质求出??的长度，从而求出最大身高；
如图：过点?作??的垂线分别交仰角、俯角线于点 M，N，交水平线于点 P，则?? = ?? = 150cm，根据正切值求出??长度，再利用三角形全等可求出?? = ?? = 54.0cm，再求出??长度，然后与头部以下身高比较即可解答．
【详解】（1）解：如图：过点 C 作??的垂线分别交仰角、俯角线于点 E、D，交水平线于点 F，
??
在Rt △ ???中，tan∠??? = ??．
∴ ?? = ?? ⋅ tan15° = 130 × 0.27 = 35.1cm．
∵ ?? = ??,∠??? = ∠???,∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 35.1cm，
∴ ?? = ?? + ?? = 150 + 35.1 = 185.1cm，
∴该人脸识别系统能识别的最大身高185.1cm．
（2）解：能，理由如下：
如图：过点?作??的垂线分别交仰角、俯角线于点 M，N，交水平线于点 P，则?? = ?? = 150cm，
??
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? ，
∴ ?? = ?? ⋅ tan20° = 150 × 0.36 = 54.0cm，
∵ ?? = ??,∠??? = ∠???,∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 54.0cm，
∴ ?? = ??−?? = 150−54.0 = 96.0cm．
∵120−15 = 105，
∴105 > 96
∴小兰能被识别．
题型二 方位角问题
【典例 01】（2025·广东·二模）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，??和??表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在?处测得点?位于北偏东45°，乙勘测员在?处测得点?位于南偏西73.7°，测得?? = 840m，
24724
?? = 500m，请求出点?到??的距离（ ）m（参考数据sin73.7° ≈ 25，cs73.7° ≈ 25，tan73.7° ≈ 7 ）
A．160B．330C．480D．520
【答案】C
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作
?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??于?，设?? = ?，根据矩形的性质用?表示出??、??，根据正切的定义用?表示出
??，根据题意列式计算即可．
【详解】解：作?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??于?，
则四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，?? = ??，
设?? = ?，则?? = ?，?? = 840−?，在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∴ ?? = ?? = 840−?，则?? = ?? = 840−?，
在Rt △ ???中，?? =
??
tan∠???24
7
≈?，
由题意得，840−? + 7
24
? = 500，
解得，? = 480，
即点?到??的距离约为480 m，故选：C．
【变式 02】（2026·安徽·模拟预测）如图，某货轮向正北方向航行，在?处时测得灯塔?在货轮的北偏西37°方向，灯塔?在货轮的北偏东45°方向．当货轮到达?处时，测得灯塔?在货轮的正西方向，灯塔?在货轮的正东方向，且灯塔?，?相距630海里．
?处与灯塔?的距离是多少海里？
当货轮到达?处时，测得货轮与灯塔?的距离是 600 海里，此时灯塔?在货轮的什么方向上？（参考数据：
sin37° ≈ 0.60，cs37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75）
所以∠??? = 37°，即灯塔?在货轮的南偏东37°方向上．
??600
在Rt △ ???中，sin∠??? = ?? = 360 = 0.6，
解得?? ≈ 270（海里），
故?处与灯塔?的距离约是 270 海里；
（2）由（1）可得?? = 630−270 = 360（海里），
≈ 0.75，
??630−??
??
在Rt △ ???中，tan37° = ?? =
合方位角定义即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可知，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = 37°，∠??? = 45°，则?? = ??，
∵ 灯塔?，?相距630海里，
∴ ?? = ?? = 630−??，
??600
（2）由题意得△ ???为直角三角形，利用正弦函数定义，sin∠??? = ?? = 360 = 0.6，故∠??? = 37°，结
【答案】(1)?处与灯塔?的距离约是 270 海里
(2)灯塔?在货轮的南偏东37°方向上
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由题意得∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = 37°，∠??? = 45°，则?? = ??，
根据灯塔?，?相距630海里，可得?? = ?? = 630−??，在Rt △ ???中，已知∠??? = 37°，利用三角函数定义即可解答；
【答案】5km
【分析】过点 A 作?? ⊥ ??于点 A，过点 C 作?? ⊥ ??于点 C，交??于点 F，交??于点 G，过点 D 作?? ⊥ ??
于点 E，然后利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：过点 A 作?? ⊥ ??于点 A，过点 C 作?? ⊥ ??，交??于点 F，交??于点 G，过点 D 作?? ⊥ ??
于点 E，
根据题意，得∠??? = 48°，∠??? = 58°，四边形????是矩形，?? ∥ ?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 48°，∠??? = ∠??? = 58°，?? = ?? = 1km，?? = ??，
∵小明以2.8km/h的速度从 C 打卡点沿?→?方向步行至 D 打卡点用了60min = 1h，
∴?? = 2.8 × 1 = 2.8(km)，
∴?? = ??sin58° ≈ 2.8 × 0.85 ≈ 2.38(km)，
?? = ??cs58° ≈ 2.8 × 0.53 ≈ 1.48(km)，
∵tan∠??? = ??，
∴?? = ??tan∠??? = 1.48 × tan48° ≈ 1.48 × 1.11 ≈ 1.64(km)，
??
∵tan∠??? = ??，
??
【变式 03】（2026·陕西西安·一模）2026 年 1 月 1 日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示 A、B、C、D 四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在 A 的正东方向，C 在 B 的正北方向，D 在 A 的北偏东48°方向且在 C 的北偏西58°方向，小明以2.8km/h的速度从 C 打卡点沿?→?方向步行至 D 打卡点用了60min，?? = 1km，求 A 打卡点与 B 打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：sin58° ≈ 0.85，cs58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60，tan48° ≈ 1.11）
∴?? = ??tan∠??? = 1 × tan48° ≈ 1 × 1.11 ≈ 1.11(km)，
∴?? = ?? + ?? + ?? = 1.11 + 1.64 + 2.38 = 5.13 ≈ 5(km)，
∴?? ≈ 5(km)．
【答案】20km
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点?作?? ⊥ ??，垂足为?，通过解Rt △ ???和Rt △ ???得?? = tan37°和?? = tan45°，根据?? = ??−??
求得??，再解Rt △ ???求得??即可．
??
??
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?，
在Rt △ ???中，∠? = 37°，
∵ tan37° = ??，
??
∴ ?? = tan37°，
??
在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∵ tan45° = ??，
??
【变式 04】（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地 A 处的正东方向设置了两个相距6km的补给点 B，C．一支探险小队从基地 A 处出发，沿北偏东26°方向行进至 D 处，此时在补给点 B，C 处分别测得∠??? = 45°，∠? = 37°．求探险小队行进的距离??．（结果取整数，参考数据：sin 26° ≈ 0.44，cs26° ≈ 0.90，tan26° ≈ 0.49，sin37° ≈ 0.60，cs37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75）
∴ ?? = tan45°，
??
∵ ?? = ??−??，
∴
????
tan37° tan45°
−
= 6，
∴ ?? ≈ 18，
在Rt △ ???中，∠??? = 26°，
∵ cs26° = ??，
??
∴ ?? = cs26° ≈ 20(km)
因此，探险小队行进的距离??为20km．
??
【变式 05】（25-26 九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年， 2025年 9 月 3 日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，?、?、?、?是长安街沿线的四个观看点 且位于同一平面内，已知?位于?的正东方向且位于?的西北方向上，?位于?的北偏东75°方向上且位于?的
2
北偏东30°方向上，?位于?的南偏东60°方向上．经测量?，?两点相距600米．（参考数据：≈ 1.414，
3
6
≈ 1.732，≈ 2.449）．
(1)求??的长度（结果保留整数）；
(2)小明和小亮同时从?出发去往?处，小明沿?→?→?方向步行且速度为1m/s，小亮沿?→?→?方向步行且速度为1.5m/s，请问小明和小亮谁先到达?处，并说明理由．
【答案】(1)311
(2)小亮早到，理由见解析
【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）延长??交??于?，由题意?? ⊥ ??,∠1 = 60°,∠2 = 30°,∠3 = 75°,∠??? = 45°，则在Rt △ ???中，可求?? = ?? = 300 2，进而在Rt △ ???中，可求??,??长，利用?? = ??−??题目可解．
（2）作?? ⊥ ??，可求∠??? = 60°，∠? = 45°，在Rt △ ???和在Rt △ ???中利用三角函数则线段??,??可
求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可．
【详解】（1）解：延长??交??于?，
由题意?? ⊥ ??,∠1 = 60°,∠2 = 30°,∠3 = 75°,∠??? = 45°，在Rt △ ???中，
∵∠??? = 45°,∠??? = 90°,?? = 600米，
∴?? = ?? ⋅ sin45° = 600 × 2 = 300 2米，
2
∴ ?? = ?? = 300 2米，在Rt △ ???中，
∵ ∠1 = 60°，
∴ ∠??? = 90°−60° = 30°，
??
∴ ?? = ???30°
= 300 2 = 300 6米，?? = 2?? = 600 2米，
3
3
∴ ?? = ??−??，
= 300 6−300 2，
2
= 300 ×6−，
≈ 300 × (2.449−1.414)，
≈ 311米，
答：??的长度为311米；
（2）解： ∵ ∠3 = 75°,∠??? = 45°,∠2 = 30°，
∴∠??? = 90°−75° = 15°，∠??? = 90°−45° = 45°，
∴ ∠??? = 15° + 45° = 60°，∠??? = 45° + 30° = 75°，
∴ ∠? = 180−75°−60° = 45°，
作?? ⊥ ??， 在Rt △ ???中，
1
∴ ?? = ?? ⋅ cs60° = 600 × 2
= 300米，
?? = ?? ⋅ sin60° = 600 × 3 = 300 3米，
2
在Rt △ ???中，
??
?? = sin45°
= 300 3 = 300 6米，
2
2
?? = ?? = 300 3米，
∴ ?? = ?? + ?? = (300 + 300 3)米，
小明沿?→?→?方向步行且速度为1m/s，小亮沿?→?→?方向步行且速度为1.5m/s，
3
∴ ?? + ?? = 311 + 300 + 300≈ 1131米，
小明用时：1131 ÷ 1 = 1131s，
2
?? + ?? = 600
+300
≈ 1583米，
6
小亮用时1583 ÷ 1.5 ≈ 1055s，
∵ 1055 < 1131，
∴小亮早到．
题型三 坡度、坡角问题
【典例 01】（2026·湖北·模拟预测）如图，斜坡??的坡度? = 1 ∶ 2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树
??，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子??的长为10m，求大树??的高．
【答案】 4 15−2 5 m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．如图，过点?作水平地面的平行线，交??的延长线于点?，设?? = ?米，?? = 2?米，勾股定理求出? = 2 5，解直角三角形求出?? = tan∠???·?? = 3?? = 4 15，进而求解即可．
【详解】解：过点?作水平地面的平行线，交??的延长线于点?，则∠??? = ∠???，
在Rt △ ???中，tan∠??? = tan∠??? = ? = ?? = 1，
??
2
设?? = ?米，?? = 2?米，
∴?? =??2 + ??2 = 5? = 10，
∴? = 2 5，
∴?? = 2 5，?? = 4 5，
∵∠??? = 180°−60°−90° = 30°，
∴?? = 3?? = 4 15，
∴?? = ??−?? = 4 15−2 5 m
答：大树??的高度为 4 15−2 5 m．
【答案】4 5
【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为1∶2，得?? = 2，可
??1
求得??，进而用勾股定理求出??．
【变式 01】（2026·上海闵行·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶2，它把物体从地面送到离地面 4 米高的地方，那么物体所经过的路程是米（结果保留根号）．
【详解】解：作?? ⊥ ??，
∵坡度为1∶2，
∴?? = 1，
??
2
即?? = 2，
∴?? = 8，
41
∴?? =42 + 82 = 4 5．
故答案为：4 5．
【变式 02】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，??是斜坡??上的一个仿真树信号塔，斜坡??的长为 20 米，坡角为30°，在坡底 C 处测得塔尖 A 的仰角为60°，在水平地面的点 D 处测得塔尖 A 的仰角为37°（图中的 点 A，B，C，D，E，F 均在同一平面内，?? ∥ ??，?? ⊥ ??）．
求仿真树信号塔??的高度；
3
求 C，D 两点之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈ ，sin37° ≈ 0.60，cs
37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75）
【答案】(1)仿真树信号塔??的高度为 20 米
(2)C，D 两点之间的距离约为22.7米
【分析】（1）延长??交??于点 G，根据已知易得：?? ⊥ ??，然后在Rt △ ???中，利用含 30 度角的直角 三角形的性质可得?? = 10米，?? = 10 3米，从而在Rt △ ???中，利用锐角三角函数的定义求出??的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）在Rt △ ???中，利用锐角三角函数的定义求出??的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：延长??交??于点 G，
∴?? = ??−?? = 40−10 3 ≈ 22.7（米），
∴C，D 两点之间的距离约为22.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
≈= 40（米），
tan37°0.75
??30
∴?? =
在Rt △ ???中，∠??? = 60°，
∴?? = ?? ⋅ tan60° = 10 3 × 3 = 30（米），
∴?? = ??−?? = 30−10 = 20（米），
∴仿真树信号塔??的高度为 20 米；
（2）解：在Rt △ ???中，∠??? = 37°，?? = 30米，
1
2
∴?? = ?? = 10（米），?? = ?? ⋅ 3 = 10 3（米），
∵?? ∥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??，
在Rt △ ???中，∠??? = 30°，?? = 20米，
【变式 03】（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形????，其中?? ∥ ??，路基顶宽?? = 8 m，路基底宽?? = 32m，斜坡??的坡度? = 3∶5，斜坡??的坡度? = 1∶1，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡??进行加固，使得改造后的坡角（∠?）减小8°，求改造后的路基底宽??长．（参考数据：sin
37° ≈ 0.60，cs37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75）
【答案】35m
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点 A，D 作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为点 F，G．设?? = 3?，则?? = 5?，根据??的坡度? = 1∶1，
可得?? = ?? = ?? = 3?，∠??? = 45°，∠? = 45°−8° = 37°，从而得到?? = 3? = 9m．在Rt △ ???中，
利用锐角三角函数解答即可．
【详解】解：分别过点 A，D 作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为点 F，G．
由题意知?? = ?? = 8m，?? = ??．
∵ ??的坡度? = 3∶5，
∴ tan? = ?? = 5，
可设?? = 3?，则?? = 5?．
??
3
∵ ??的坡度? = 1∶1，
∴ ?? = ?? = ?? = 3?，∠??? = 45°，∠? = 45°−8° = 37°，
∴ ?? + ?? + ?? = 5? + 8 + 3? = 32，解得? = 3，
∴ ?? = 3? = 9m．
在Rt △ ???中，?? = ?? ≈= 12(m)，
9
tan?0.75
∴ ?? = ?? + ?? + ?? = 5 × 3 + 8 + 12 = 35(m)．
答：改造后的路基底宽??长约为35m．
【变式 04】（25-26 九年级上·江苏徐州·期末）如图，大楼的顶部竖有一块广告牌??，同学们在山坡的坡脚
?处测得广告牌底部?的仰角为53°，沿坡面??向上走到?处测得广告牌顶部?的仰角为45°，已知山坡??的 坡度? = 2∶3，?? = 14米，?? = 26米，求广告牌??的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
13
434
参考数据：sin53° ≈ 5，cs53° ≈ 5，tan53° ≈ 3，
≈ 3.606
【答案】广告牌??的高度为10.7米
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用．
作?? ⊥ ??交??于 H，作?? ⊥ ??交??于 F，设垂直高度?? = 2?，水平距离?? = 3?，根据勾股定理求出
? ≈ 3.882，求出?? = 7.764米，，进而求出?? = 37.646米，根据三角函数求出?? = 37.646米，?? ≈ 34.667
米，进而根据?? = ?? + ??−??计算即可．
【详解】解：如图，作?? ⊥ ??交??于 H，作?? ⊥ ??交??于 F，
设垂直高度?? = 2?，水平距离?? = 3?，
由勾股定理得：(2?)2 + (3?)2 = 142，
解得? = 14 13 ≈ 3.882，
13
∴ ?? = 2? = 2 × 3.882 = 7.764米，
∴ ?? = 3? = 3 × 3.882 = 11.646米，
∴?? = ?? + ?? = 26 + 11.646 = 37.646米，
∵ 仰角为 45 度，tan45° = 1，
∴ ?? = ?? = 37.646米，
∵?? = ?? × tan53° ≈ 34.667米，
∴?? = ?? + ??−?? = 37.646 + 7.764−34.667 = 10.743 ≈ 10.7米．答：广告牌??的高度为10.7米．
【变式 05】（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长??与??交于 E 点，已知坡道??的坡比? = 1：2.4，??的长为 7.2 米，??的长为 0.4 米．
(1)请求出??的长；
(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点 D 到??的距离）．
【答案】(1)2.6 米
(2)该车库入口的限高数值为 2.4 米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线．
（1）根据? = 1：2.4，得出tan∠??? = 1
5??5
= ，即 = ，求出?? = 3米，得出?? = 3−0.4 = 2.6（米）；
2.412
??12
5
（2）过点 D 作?? ⊥ ??于 H，证明∠??? = ∠???，得出tan∠??? = tan∠??? = 12，设?? = 5?，
??2 + ??2
?? = 12?，根据勾股定理求出?? =
=
= 13?，根据?? = 2.6米，得出
(12?)2 + (5?)2
? = 0.2，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，?? ⊥ ??，
∵? = 1：2.4，
15
∴tan∠??? = 2.4 = 12，
∴?? = 5 ，
??12
∵?? = 7.2米，
∴?? = 3米．
∵?? = 0.4米，
∴?? = 3－0.4 = 2.6（米）；
（2）解：过点 D 作?? ⊥ ??于点 H，如图所示：
∵∠???＋∠??? = ∠???＋∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
5
∵tan∠??? = 12，
5
∴tan∠??? = tan∠??? = 12，
∴?? = 5 ，
??12
∴设?? = 5?，?? = 12?，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 13?，
(12?)2 + (5?)2
∵?? = 2.6米，
∴13? = 2.6，解得? = 0.2，
∴?? = 12? = 12 × 0.2 = 2.4（米），答：该车库入口的限高数值为 2.4 米
题型四 测量高度与距离问题
课题：测量大门高度
甲组的测量报告
乙组的测量报告
测量示意图
测量方案与测量数据
在点?处用距离地面1.6m的测角仪测出大门顶端?的仰角? = 55°
在点?处放一面镜子，在点?处通过镜子反射刚好看到大门的顶端?，?? = 1.6m，
?? = 37m，? = 29°
参考数据
sin55° ≈ 0.82，cs55° ≈ 0.57 ，
tan55° ≈ 1.43
sin29° ≈ 0.48，cs29° ≈ 0.87，tan
29° ≈ 0.55， 3 ≈ 1.73
计算大门高度
【典例 01】具有河南十大地标之称的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣 小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为
的测量报告存在问题，并提出修改建议；
请根据正确的测量报告计算出中国文字博物馆大门的高度（结果精确到1m）．
答：中国文字博物馆的大门高度约为19m．
??
在直角△ ???中，tan∠??? = ??，
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = 34.1 × tan29° ≈ 19（m）．
∴?? = ??−?? = 37−2.9 = 34.1（m），
≈ 2.9（m），
tan?tan29°
??1.6
∴?? ==
??
在直角△ ???中，tan? = ??，
（2）解：由题意可知∠???为反射角，且∠??? = 29°，
∴∠??? = ∠??? = 29°，
??
??
建议：应测量出??的距离，才能利用tan? = ?? = ??求出??的长，进而求出大门??的高；
(2)中国文字博物馆大门的高度约为19m
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识是关键．
甲的报告没有△ ???边长的数据，无法解直角三角形，建议加一个边长相关的数据即可；
先在直角△ ???中利用正切函数求出??的长，然后求出??的长，最后在直角 △ ???中，利用正切函数求出??的长即可．
【详解】（1）解：甲的测量报告存在问题：
??
??
【答案】(1)甲，建议：应测量出??的距离，才能利用tan? = ?? = ??求出??的长，进而求出大门??的高
【变式 01】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践
【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件．
【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件????．
【工具准备】直尺、测角仪、切割机、计算器等．
【测量过程】在??边上选取一点?，量得?? = 3.5dm，?? = 4dm，矩形的一个顶点?在??边上，另两个顶点?，?均在??边上，测得∠? = 35°，∠? = 65°．
【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：sin35° ≈ 0.6，cs35° ≈ 0.8，tan35° ≈ 0.7，sin65° ≈ 0.9， cs65° ≈ 0.4，tan65° ≈ 2.1．
【问题解决】求矩形配件????的长和宽．（结果精确到0.1dm）
【答案】矩形配件????的长和宽分别约为5.9dm，3.6dm
【分析】作?? ⊥ ??于 H，解Rt △ ???求出??，解Rt △ ???求出??，??，解Rt △ ???求出??，得出??，即可解答．
【详解】解：如图，作?? ⊥ ??于?，在Rt △ ???中，sin∠? = ??，
??
∵ ∠? = 65°，?? = 4dm，
∴ ?? ≈ 4 × 0.9 = 3.6dm，
在Rt △ ???中，cs∠??? = ??，
??
∵矩形????，?? = 3.5dm，
∴??∥??，
∴ ∠??? = ∠? = 65°，∠? = ∠??? = 35°，
∴ ?? ≈ 3.5 × 0.4 = 1.4dm，
∵sin∠??? = ??，
??
∴ ?? = ?? × sin∠??? ≈ 3.5 × 0.9 = 3.15(dm)，
在Rt △ ???中，tan∠??? = tan∠? = tan35° = ??，
??
∴ ?? ≈ 3.15 ÷ 0.7 = 4.5(dm)，
∴ ?? = ?? + ?? = 1.4 + 4.5 = 5.9(dm)．
∴矩形配件????的长和宽分别约为5.9dm，3.6dm．
【变式 02】（2026·贵州·一模）【课本再现】
?
?
（1）如图 1，在锐角△ ???中，为证明=
??
=成立，小明给出了
?
=的证明过程如下：
sin?
sin?
sin?
sin?
sin?
如图，过?点作?? ⊥ ??于?点，
??
在Rt △ ???中， ∵ sin? = ??， ∴ ?? = ?·sin?，
??
在Rt △ ???中， ∵ sin? = ??， ∴ ?? = ?·sin?，
??
∴ ?·sin? = ?·sin?， ∴ sin? = sin?．
? ?
请继续完成=
?
=的证明过程．
sin?sin?sin?
【迁移应用】
（2）如图 2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图 3，某测量队想测量东山寺塔的高度??，他们在塔底?的正东方的点?处测得塔顶?的仰角为30°，然后从点?处出发，沿着 南偏西25°的方向行进了92m到达点?（?,?,?三点位于同一水平面内），且点?在点?南偏东35°方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度??．（结果精确到1m；参考数据：sin55° ≈ 0.82，sin65° ≈ 0.91， 3 ≈ 1.73）
【答案】（1）见解析；（2）东山寺塔的高度??为56m
【分析】（1）过?作?? ⊥ ??于?点，构造直角三角形，利用正弦函数定义得到线段关系，进而证明等式；
（2）根据方向角信息算出∠?和∠???，用正弦定理求??，再在Rt △ ???中求??．
【详解】解：（1）如图，过?作?? ⊥ ??于?点，
在Rt △ ???中，
??
∵ sin? = ??，
∴ ?? = ?·sin?，
在?? △ ???中，
??
∵ sin∠??? = ??，
∴ ?? = ?·sin∠???，
∴ ?·sin? = ?·sin∠???，
??
∴ sin? = sin∠???，
???
∴ sin? = sin? = sin?．
（2）如图，根据题意，∠??? = 90°−25° = 65°，∠??? = 90°−35° = 55°，
∴ ∠? = 180°−65°−55° = 60°，
????
由（1）的结论得sin? = sin∠???，
??92
即sin60° = sin55°，
92× 3
∴ ?? = 2 ≈ 97.05(m)，
0.82
在Rt △ ???中，
??
∵ tan∠??? = ?? ，
∴ ?? = 97.05 × tan30° ≈ 56(m)．
答：东山寺塔的高度??为56m．
【变式 03】（2026·山西长治·一模）长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式．2010 年在原址东侧 35 米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔??的高度．（结果精确到 1 米）
【答案】91 米
【分析】延长??交??于点 M，延长??交??的延长线于点 N， ?? = ??，?? = ?? = 78米．利用锐角三角函数的定义，设?? = ?? = ?米，进而在Rt △ ???和Rt △ ???中，利用锐角三角函数的定义，分别求得
?? ≈ 0.4?米，?? = ? = 7 米，?? ≈ 0.64?米，进而可求解．
390
【详解】解：延长??交??于点 M，延长??交??的延长线于点 N，
课题
测量潞州六府塔新塔的高度
测量工具
无人机，测角仪，秒表等
测量示意图
测量过程
如图 1，测量小组使无人机在点 C 处竖直上升飞行至点 D 处，在点 D处测得塔顶 B 的仰角为45°，塔底的俯角为32.5°，然后以3.9m/s的速度竖直上升20s飞行至点 E 处，测得塔顶 B 的俯角为22°．
说明
点 A，B，C，D，E 均在同一竖直平面内，且点 A，C 在同一水平线上，
?? ⊥ ??．
参考数据
sin32.5° ≈ 0.54，cs32.5° ≈ 0.84，tan32.5° ≈ 0.64，sin22° ≈ 0.37， cs22° ≈ 0.93，tan22° ≈ 0.40．
由题可知∠??? = 32.5°，∠??? = 45°，∠??? = 22°，四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，?? = ?? = 3.9 × 20 = 78（米）．在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∴设?? = ?? = ?米，
在Rt △ ???中，∠??? = 22°，?? = ?? = ?米，
∴ ?? = ?? ⋅ tan22° ≈ 0.4?（米），
∵ ?? = ?? + ?? = 78米，
∴ ? + 0.4? = 78，? = 7 ，
390
在Rt △ ???中，∠??? = 32.5°，?? = ?米，
∴ ?? = ?? ⋅ tan32.5° ≈ 0.64?（米），
∴ ?? = ?? + ?? ≈ ? + 0.64? = 1.64? ≈ 91（米）．答：潞州六府塔高度约为 91 米．
【变式 04】（2026·山西运城·一模）项目学习
项目主题
智能机器人的高度测量与计算
驱动问题
如何测量智能机器人的高度
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图 1 是一款智能机器人，图 2 是其
项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告．
【答案】点?到地面的高度约为166cm
【分析】如图，过点?,?分别作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为?,?，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?．则四边形????为矩形，在Rt △ ???中，求出?? = 121.25(cm)，再求出??，即可解答．
【详解】解：如图，过点?,?分别作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为?,?，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?．
则四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，∠??? = 90°．
请根据上述数据，计算该机器人的最高点?距地面??的高度．（结果精确到1cm．参考数据：sin 75° ≈ 0.97，cs75° ≈ 0.26，tan75° ≈ 3.73）
侧面示意图，底座是矩形????，
??是上部显示屏，??是侧面支架
数据测量
?? = 25cm，?? = 40cm，
?? = 125cm，∠??? = 75°，
∠??? = 135°
计算
……
交流展示
……
在Rt △ ???中，sin∠??? = ?? = ?? = sin75° ≈ 0.97，
??125
∴ ?? = 121.25(cm)，
∴ ?? = 121.25cm．
∵ ∠??? = 90°，∠??? = 75°，
∴ ∠??? = 15°，
∴ ∠??? = ∠???−∠???−∠??? = 135°−90°−15° = 30°，
11
∴ ?? = ?? = × 40 = 20(cm)，
2
2
∴ ?? + ?? + ?? = 20 + 121.25 + 25 = 166.25 ≈ 166(cm)，
∴点?到地面的高度约为166cm．
【变式 05】（25-26 九年级上·江苏泰州·期末）图 1 是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图 2，支架??连接靠背??和小桌板??，点?是杯托处，此时靠背??垂直于地面，小桌板??平行于地面，测得?? = 15cm，∠??? = 37°．
在图 2 中，∠??? =
靠背??绕点?旋转至与小桌板支架??重合的位置，如图 3 所示，杯托?处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯
??竖直放在杯托?处（?与?重合，水杯??宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点?到靠背??的距离不得小于0.6cm．
①∠??? = °．
②求乘客水杯的最大高度．
（参考数据：tan37° ≈ 3，tan53° ≈ 4，sin37° ≈ 3，sin53° ≈ 4）
4355
【答案】(1)127°
(2)①53；②19.7cm
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
（1）作?? ∥ ??，由题意可知?? ⊥ ??，则∠??? = 53°．结合?? ∥ ??，可以计算出∠??? = 127°；
（2）①根据平行线的性质可得∠??? = ∠??? = 53°；
②过 G 点作?? ⊥ ??于 H 点， ?? ∥ ??交??于 M 点，过 M 点作?? ⊥ ??于 N 点，则?? = 0.6cm，
?? = ??，?? = ??．在Rt △ ???中，利用三角函数的定义可得?? ≈ 0.75cm，则可得?? ≈ 0.75cm，
?? = ??−?? = 14.25cm．在Rt △ ???中，利用三角函数的定义可得?? ≈ 19cm，进而可得杯子的高度为 19 + 0.7 = 19.7cm．
【详解】（1）解：如图，作?? ∥ ??，
由题意可知?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = 37°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 90°−37° = 53°，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = 180°−∠??? = 180°−53° = 127°．
故答案为：127°．
（2）解：①∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 53°．
故答案为：53．
②如图，过 G 点作?? ⊥ ??于 H 点， ?? ∥ ??交??于 M 点，过 M 点作?? ⊥ ??于 N 点，则?? = 0.6cm，
?? = ??，?? = ??．
∵?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 53°，∠??? = ∠??? = 53°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
??4
∵sin∠??? = ?? ≈ 5，
∴0.6 ≈ 4
??5，
解得?? ≈ 0.75cm，
∴?? ≈ 0.75cm，
∵?? = 15cm，
∴?? = ??−?? = 15−0.75 = 14.25cm，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵tan∠??? = ?? ≈ 3，
??
4
∴ ?? ≈ 4，
14.25
3
解得?? ≈ 19cm，
∴19 + 0.7 = 19.7cm，
∴乘客水杯的最大高度约为19.7cm．
题型五解直角三角形与实际方案设计
【典例 01】69．（25-26 九年级上·河南信阳·期末）2025 年春晚名为《秋 BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠??? = 45°，胳膊?? = 40cm，?? = 30cm，旋转的手绢近似圆形，半径?? = 25cm，??与手臂??保持垂
直．∠??? = 66．4°．
(1)求肘关节点 B 与手绢旋转点 O 之间的水平宽度（??的长度）；
(2)机器人跳舞时规定手绢端点 C 与舞者安全距离范围为30cm~40cm．在图②中，手绢端点 C 在??与舞者之间，机器人与舞者之间距离为100cm，问此时手绢端点 C 与舞者距离是否在规定范围内？并说明理
2
由．（结果保留整数）（参考数据：sin66.4° ≈ 0.92,cs66.4° ≈ 0.40,sin23.6° ≈ 0.40,≈ 1.41）
【答案】(1)12cm
(2)在规定范围内，理由见解析
【分析】（1）作?? ⊥ ??于 E，则∠??? = 90°,由条件可知∠??? = ∠??? = 66.4°根据cs∠??? = ??
??
= 0.4，计算即可；
（2）作?? ⊥ ??于 E，则∠??? = 90°,适当解直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图，作?? ⊥ ??于 E，则∠??? = 90°,由条件可知∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 66.4°
由题意可得：?? = 30cm，
∴ cs∠??? =
??
??
= 0.4，
∴?? = 12cm；
答：??的长度约为12cm．
（2）解：在规定范围内，理由如下：
如图，作?? ⊥ ??于 E，则∠??? = 90°，
由（1）可得：∠??? = ∠??? = 66.4°，
∴?? = ?? ⋅ sin∠??? ≈ 25 × 0.92 = 23(cm)，
∠??? = 45°，
∴?? = ?? ⋅ sin∠??? ≈ 40 × 0.705 = 28.2(cm)
∴此时手绢端点 C 与舞者距离为100−(28.2 + 12 + 23) = 36.8 ≈ 37(cm)，
∵安全距离范围为30cm~40cm，
∴此时手绢端点 C 与舞者距离在规定范围内．
【变式 01】（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡??上的古塔??的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿??，点 D 在斜坡??上，?? = 1米，点 E 在平地上，?? = 1米，小红用量角器测得∠??? = 15°．
斜坡??的坡角为；
同一时刻，小红测得身高 1.6 米的自己在平地上的影长也是 1.6 米，古塔的影子一部分在长 12 米的斜坡??
上，一部分在平地??上，影子的顶端与点 E 重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算
3
出古塔的高．（精确到 0.1 米，参考数据：≈ 1.73）
【答案】(1)30°
(2)5.4 米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键．
（1）由“等边对等角”得∠??? = ∠??? = 15°，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡??的坡角；
（2）先在Rt △ ???中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出??、??的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是45°，从而得出△ ???是等腰直角三角形，易得?? = ??，最后??−??计算出古塔??的高．
【详解】（1）解： ∵ ?? = 1米，?? = 1米，
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 15°，
∵ ∠???是 △ ???的外角，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 30°，
∴ 斜坡??的坡角为30°．
（2）解：如图，
∵ ∠??? = 30°，∠??? = 90°，?? = 12米，
∴ ?? = ?? = × 12 = 6（米），
1
1
22
在Rt △ ???中，tan30° = ??，
??
∴ ?? = 3 ，解得?? = 6 3米，
∵ ?? = 1米，
63
∴ ?? = ?? + ?? = 6 3 +1 ≈ 6 × 1.73 + 1 = 11.38 ≈ 11.4（米），
∵ 小红测得身高 1.6 米的自己在平地上的影长也是 1.6 米，
∴ 太阳光与地面的夹角为45°，
∴ ∠??? = 45°，
∴ ∠? = ∠??? = 45°
∴ ?? = ?? ≈ 11.4米，
∴ ?? = ??−?? ≈ 11.4−6 = 5.4（米）．答：古塔的高约为 5.4 米．
【变式 02】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞?处发现了暗河（如
图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着?，?两村庄，山洞?位于?村庄南偏东30°方向，且位于?村庄南偏东60°方向．为方便?，?两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞?处向公路?? 紧急修建一条最近的简易公路??.现已知?，?两村庄相距6千米．
(1)求这条最近的简易公路??的长（保留 3 个有效数字）；
(2)每修建1千米的简易公路需费用 16000 元，请求出修建该简易公路的最低费用．
2
(本题参考数据：
≈ 1.414，
≈ 1.732)
3
【答案】(1)这条最近的简易公路长为 5.20 千米
(2)修建简易公路的最低费用为 83200 元
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）过?作?? ⊥ ??于?，根据垂线段最短得到??为最近的简易公路，设?? = ?，解直角三角形，求出??,??
的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可；
（2）用路长乘以单价，进行计算即可．
【详解】（1）解：如图：过?作?? ⊥ ??于?，??为最近的简易公路．
设?? = ?，依题意得：
在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠? = 30°，
???
∵ tan30° = ?? = ??，
?
∴ ?? = tan30°，
?
同理：?? = tan60°．
∵ ?? = ??−?? = 6，
??
∴ ∴−
= 6，
tan30° tan60°
解得：? = 3 3 ≈ 5.20；
答：这条最近的简易公路长为 5.20 千米；
（2）5.20 × 16 000 = 83200(元)．
答：修建简易公路的最低费用为83200元．
【变式 03】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长?? = 4
米，宽?? = 2米，初始时点?、?、?在同一水平线上，车厢底部??离地面的高度为 1.3 米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点?旋转，箱体底部??形成不同角度的斜坡．
当斜坡??的坡角为37°时，求车厢最高点?离地面的距离；
点?处的转轴与后车轮转轴（点?处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货箱对角线??、??的交点?是货箱侧面的重心，卸货时如果?、?两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡??的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试
2
说明你的理由．（精确到 0.1 米，参考值：sin37° ≈ 0.60，cs37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75，≈ 1.4142）
【答案】(1)5.3米
(2)不会，理由见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
要求车厢最高点 C 离地面的距离，所以过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为 H，再过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 P，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 Q，这样构造一个矩形????，两个直角三角形 △ ???和 △ ???，然后进行计算即可；
要求 A、G 两点的水平距离，所以过点 G 作?? ⊥ ??，垂足为 O，再过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为 M，交??于点 I，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 N，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 K，这样构造一个矩形????，四个直角三角形，分别为Rt △ ???，Rt △ ???，Rt △ ???，Rt △ ???，然后进行计算即可．
【详解】（1）解：过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为 H，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 P，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 Q，
则四边形????为矩形，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，?? = ??sin37° = 4 × 0.6 = 2.4(m)，
∴?? = ?? = 2.4(m)，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 37°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 90°−37° = 53°，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 37°，
在Rt △ ???中，?? = ??cs37° = 2 × 0.8 = 1.6(m)，
∴1.6 + 2.4 + 1.3 = 5.3(m)，
答：车厢最高点 C 离地面的距离是5.3米；
（2）解：不会发生安全事故，
理由是：过点 G 作?? ⊥ ??，垂足为 O，过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为 M，交??于点 I，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 N，过点 B 作?? ⊥ ??，垂足为 K，
则四边形????为矩形，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，?? = ??sin45° = 4 × 2 = 2 2(m)，
2
∴?? = ?? = 2 2(m)，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 90°−45° = 45°，
在Rt △ ???中，?? = ??cs45° = 2 × 2 = 2(m)，
2
∵0.7 = 0.7，
∴不会发生安全事故．
2
2
12
∴?? = ?? = ?? =≈ 0.7(m)，
∵?? = ??，
??
??
∴?? = ??
∴?? = ?? = 2(m)，
在Rt △ ???中，
∵∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 2(m)，
∴?? = ??−?? = 2(m)，在Rt △ ???中，
∵∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 2(m)，
∵??∥??，
3
【变式 04】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点 A 出发到公园广场点 F 处玩耍，已知从点 A 到点 F 有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F 在 A的正东方向，且在 C 的正南方向 450 米处，在 E 的正北方向 360 米处，A 在 B 的南偏西30°方向，D 在 A 的
2
东南方向，C、E 分别在 B、D 的正东方向且?? = 400米．（参考数据：
求路线①的长度．（结果精确到个位）
≈ 1.41，
≈ 1.73）
【答案】(1)1369 米
(2)选择路线①
由于路线②道路较窄，平均步行速度为1.1m/s，路线①平均步行速度1.4m/s，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；
（1）过点 B 作?? ⊥ ??于点 M．由题意知，四边形????是矩形，?? = 450m，∠??? = 30°，则有
?? = ?? = 450m，然后根据三角函数可进行求解；
（2）过点 D 作?? ⊥ ??于点 N，由题意，四边形????是矩形，?? = 360m，∠??? = 45°，则有
?? = ?? = 360m,?? = ??，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】（1）解：过点 B 作?? ⊥ ??于点 M．
由题意知，四边形????是矩形，?? = 450m，∠??? = 30°，
∴?? = ?? = 450m．
∵在Rt △ ???中，
??
∴?? = cs∠??? =
450
3
2
= 300 3（米）．
∴路线①的长度为：
?? + ?? + ?? = 300 3 +400 + 450 = 850 + 300 3 ≈ 1369m．答：路线①的长度约为 1369 米．
（2）解：过点 D 作?? ⊥ ??于点 N，
由题意，四边形????是矩形，?? = 360m，∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 360m,?? = ??，
在Rt △ ???中，∴?? =??
tan∠???
??
米，
= 360?? =
sin∠???
= 360 2米，
由（1）知，?? = ?? ⋅ tan∠??? = 450 × 3 = 150 3（米），
3
?? = ?? = 400米，
∴?? = ?? + ??−?? = 150 3 +400−360 = (40 + 150 3)米．
∴?? = ?? = (40 + 150 3)米，
∴路线②需要的时间为：
【变式 05】（2026·上海金山·一模）
??+??+??
= 400+360 2+150 3 ≈ 1061(s)，
1.11.1
路线①需要的时间为：
??+??+??
= 850+300 3 ≈ 978(s)，
1.41.4
∵978 < 1061，
∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场．
坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为1 ∶ 12，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过75cm，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图 1、图 2、图 3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图 4．折返形坡道（坡道??一休
息平台??一坡道??′）设计需满足以下关
键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1 ∶ 10，水平长度最大560cm，休息平台宽度最小150cm，轮椅入口宽度最小 150cm．
甲组
?? = 39cm，
?? = 109cm，?? = 250cm．
乙组
?? = 91.2cm，
?? = 26.6cm
丙组
?′? = 9.8cm，
?? = 33.6cm
休息平台宽为
??，轮椅入口宽为??，?′? = 30cm，点?到连廊的距离??为520cm．
根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（??或?′?′），并判断是否安全；
【答案】(1)坡度? = 7 ∶ 24，坡高?? = 70cm，不安全
(2)坡道??的坡高为22cm，坡度为1 ∶ 10，坡道??′的坡高为48cm，坡度为48 ∶ 580
【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，矩形的性质，坡度，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意可知?? = 39cm，?? = 70cm，由勾股定理可得?? = 240cm，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解；
（2）当休息平台位于连廊最左段，即点 I 和点 S 重合时，过点 V 作?? ⊥ ?′?′，可知四边形???′?为矩形，
先求出??、??，即可求出坡道??的坡高和坡度，再求出??、?′?，即可求出坡道??′的坡高和坡度．
【详解】（1）解：由图 1 可知?? = ?? = 39cm，?? = ?? = ??−?? = 109−39 = 70cm，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ?? =??2−??2 =2502−702 = 240cm，
故原坡道的坡度为? = ?? ∶ ?? = 70 ∶ 240 = 7 ∶ 24，
∵ 24＞12，
∴ 原坡道不安全．
7
1
（2）解：如图，当休息平台位于连廊最左段，即点 I 和点 S 重合时，过点?′作?′?′ ⊥ ??，过点 V 作?? ⊥ ?′
?′，可知四边形???′?为矩形，
根据题意可知?? = 150cm，?? = ?? = 150cm，
∵ ?? = 520cm，
为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道??、坡道??′）的坡度和坡高以及设计过程．
∴ ?? = ??−??−?? = 220cm，
当坡道??的坡度为1 ∶ 10时，?? = 220 × 1 = 22cm，
10
由（1）可知?′?′ = 240cm，?′?′ = 70cm，
∵ 四边形???′?为矩形，
∴ ?′? = ?? = 22cm，?? = ??′ = ?? + ??−?′? + ?′?′ = 580cm，
∴ ?′? = ?′?′−?′? = 48cm，
故坡道??′的坡度为?′? ∶ ?? = 48 ∶ 580，
∵ 580 < 10，
故坡道??′符合题目要求．
答：坡道??的坡高为22cm，坡度为1 ∶ 10，坡道??′的坡高为48cm，坡度为48 ∶ 580．
48
1
（限时训练：30 分钟）
2
1．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”：北京时间 2024 年 11 月 15 日 23 时 13 分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约 10 分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点 A 处时，在 P 处测得 A 点的仰角∠???为30°，A 与 P 两点的距离为 10 千米；它沿铅垂线上升到达 B 处时，此时在 P 处测得 B 点的仰角∠???为45°，则天舟二号从 A 处到 B 处的距离??的长为（ ）（参考数
3
据：
≈ 1.7,
≈ 1.4）
A．2.0千米B．1.5千米C．2.5千米D．3.5千米
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含 30 度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是
解题的关键．根据题意可得：?? ⊥ ??，然后在Rt △ ???中，利用含 30 度角的直角三角形的性质可得?? = 5
千米，?? = 5 3千米，再在Rt △ ???中，利用锐角三角函数的定义求出??的长，最后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：?? ⊥ ??，
在Rt △ ???中，∠??? = 30°，?? = 10千米，
∴ ?? = ?? = 5（千米）)，?? = 3?? = 5 3（千米），
1
2
在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∴ ?? = ?? ⋅ tan45° = 5 3（千米），
∴ ?? = ??−?? = 5 3−5 ≈ 3.5（千米），
∴ 天舟二号从 A 处到 B 处的距离??的长约为3.5千米，故选：D．
12．（2025·河南南阳·二模）如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼
343
梯??长为 5 米，调整后的楼梯??会加长（ ）（参考数据：sin37° ≈ 5，cs37° ≈ 5，tan37° ≈ 4）．
A．0.5 米B．1 米C．1.5 米D．2 米
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键．根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化．
【详解】解：由题意得：sin37° = 5 ，
??
∴?? ≈ 5 × = 3，
3
5
∴调整后的楼梯长?? =
3
sin30°
= 6，
∴调整后的楼梯会加长：6−5 = 1(m)．
故选：B．
3．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练．如图，消防车的
【答案】2 + 5 3 /5 3 +2
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据?? = ??，?? = ??tan∠???，?? = ?? + ??，即可求解．
【详解】解：依题意，四边形????是矩形，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，tan∠??? = ??
??
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = ?? ⋅ tan60° = 5 3，
∴?? = ?? + ?? = 2 + 5 3，故答案为：2 + 5 3．
云梯??可以绕点?转动，且可伸缩，?离地面的距离?? = 2米，当云梯顶部?在大楼所在直线??上时，?离大楼的距离?? = 5米，∠??? = 60°，此时顶端?离地面的距离?? = 米．（结果保留根号）
【答案】(24 3−24)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过 Q 作?? ⊥ ??于 B，在Rt △ ???和Rt △ ???中，根据正切的定义可得出?? = ??，?? = 3
??，结合?? = ?? + ?? = 24，可求出?? = 12 3−12，然后根据含30°的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：过 Q 作?? ⊥ ??于 B，
4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口?的南偏东60°方向有一座小岛?，一艘船从港口?出发沿正东方向行驶 24 海里后到达?处，在?处测得小岛?恰在其西南方向，那么小岛?与港口?相距海里．（结果保留根号）
故答案为：(24 3−24)．
??
∴?? = 3??，
∵?? = ?? + ?? = 24，
∴?? + 3?? = 24，
∴?? = 12 3−12，
∴?? = 2?? = 24 3−24，
即小岛?与港口?相距(24 3−24)海里，
3
∴tan30° = 3 = ??，
??
在Rt △ ???中，tan∠??? = ??，
∴?? = ??，
??
∴tan45° = 1 = ??，
??
在Rt △ ???中，tan? = ??，
，
根据题意，得∠??? = 90°−60° = 30°，∠? = 45°，
5．无人机表演时，一架无人机由?处飞至?处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点?，?的上方，且
?? ∥ ??．由?处观测?处和?处的仰角分别为68.2°和42.3°，由?处观测到?处的仰角为59°．已知两个观测点
5105
?，?之间的距离为10米，求?，?两点之间的距离．（参考数据：tan68.2° ≈ 2，tan42.3° ≈ 11，tan59° ≈ 3）
【答案】30 米
【分析】作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，则?? = ??，设?? = ?米，?? = ?米，
(10 + ?)，
解得? = 8，? = 12，
∴?? = ?? = ?? + ?? + ?? = 8 + 10 + 12 = 30，
∴?，?两点之间的距离为30米．
5
? = ?
23
，
5 ? = 10 (10 + ?)
∴ 25 11
∵??＝??，
5
3
∴?? = ?? × tan59° ≈ ?，
??
在Rt △ ???中，tan59° = ??，
11
10
∴?? = ?? × tan42.3° ≈
??
在Rt △ ???中，tan42.3° = ??，
5
2
∴?? = ?? × tan68.2° ≈ ?，
??
在Rt △ ???中，tan68.2° = ??，
由题，∠???＝68.2°，∠???＝42.3°，∠???＝59°，
设?? = ?米，?? = ?米，
利用三角函数的比值关系表示出??，??的长，利用?? = ??建立方程求解即可．
【详解】解：如图，作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，则?? = ??，
6．（2026·陕西·模拟预测）小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下：
项目
测量建筑物??的高度
工具
卷尺，测角仪等
∴?? = 1.6? ≈ 11.41(m)，
故建筑物??的高度约是11.41m．
3
∴1.6? + 10 = 10 3 + 3?，解得：? ≈ 7.13，
∵?? + ?? = ??，
3
3
∴?? = ?? ⋅ tan30° = 3(30 + ?) = 10 3 + 3 ? m．
由题意得：?? = ?? = 10m，?? = ??，设?? = ?? = ?m，则?? = ?? + ?? = (30 + ?)m．
在Rt △ ???中，∠??? = 58°，
∴?? = ?? ⋅ tan58° ≈ 1.6?m． 在Rt △ ???中，∠??? = 30°，
【详解】解：如图，延长??交??于点?，
3
?? + ?? = ??，得1.6? + 10 = 10 3 + 3?，求出 x 值，然后由?? = 1.6?求解即可．
3
3
?? = ?? ⋅ tan58° ≈ 1.6?m；解Rt △ ???，得?? = ?? ⋅ tan30° = 3(30 + ?) = 10 3 + 3 ? m．根据
【答案】建筑物??的高度约是11.41m
【分析】延长??交??于点?，设?? = ?? = ?m，则?? = ?? + ?? = (30 + ?)m．再解Rt △ ???，得
7．某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同
测量示意图
测量数据
∠??? = 30°, ∠??? = 58°, ?? = 10m，?? = 30m
说明
水平地面??上方有一水平的平台??，?? ⊥ ??，所有点均在同一竖直平面内
问题
求出建筑物??的高度．（结果保留两位小数；参考数据：sin58° ≈ 0.85,
cs58° ≈ 0.53, tan58° ≈ 1.6, 3 ≈ 1.73）
一平面内，在看台??底部?处测得旗杆顶端?的仰角为45°，沿斜坡??走13米到达斜坡?处，测得旗杆顶端?的仰角为26.7°，且斜坡??的坡度? = 5∶12，其中点?，?，?，?在同一条水平直线上．求：
点?到地面??的距离；
旗杆??的高．（精确到1米）（参考数据：sin26.7° ≈ 0.45，cs26.7° ≈ 0.89，tan26.7° ≈ 0.50）
【答案】(1)5米
(2)22米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及坡度、仰角、勾股定理及三角函数等知识点，熟练运用直角三角形的边角关系和勾股定理是解答本题的关键．
利用坡度的定义设出直角三角形的两条直角边，结合斜坡长度，通过勾股定理列方程求解，确定点?到地面??的距离；
过点?作?? ⊥ ??，结合45°仰角得到?? = ??，再利用26.7°仰角的正切值，列出关于??的方程，依次进行解方程、实数运算，从而求出旗杆??的高度．
【详解】（1）解： ∵ 斜坡??的坡度? = 5∶12，
∴ 设?? = 5?，则?? = 12?，
∵ ?? = 13，??2 +??2 = ??2，
∴ (5?)2 + (12?)2 = 132，解得? = 1，
∴ ?? = 5(m)，
答：点?到地面??的距离为5米；
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?，设?? = ?(m)．
?+12
解得? ≈ 22(m)．
答：旗杆??的高约为22米．
?−5
∴≈ 0.5，
??
在Rt △ ???中， ∵ tan26.7° = ??，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = (? + 12)m，
= ?(m)，
??
tan45°
∴ ?? =
??
在Rt △ ???中， ∵ tan45° = ??，
由（1）得?? = 5(m)，?? = 12(m)，?? = ??−?? = ??−?? = (?−5)m，
课题
测量步道??的长度
成员
组长：×××组员：×××
测量工具
测角仪，皮尺
测量示意图
测量数据
点 C 在点 A 的正东方向，点 E 在点 A 的正北方向，点 B，D 都在点 C 的正北
8．（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道??的长度，如图三角形花园???边上修建了一个四边形人工湖泊????，并沿湖泊修建了人工步道．
(1)根据测量数据，求步道??的长度；
(2)为了安全，市政府准备在人工湖????周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数）
【答案】(1)210 米
(2)865.6 米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用．
过点 D 作?? ⊥ ??交??的延长线于点 F，由正弦的定义求解即可得出答案．
（2）解直角三角形算出??，??，??，进而求出??，再根据围栏长度为?? + ?? + ?? + ??代入计算即可．
【详解】（1）解：过点 D 作?? ⊥ ??交??的延长线于点 F，
由题意可知：∠? = 90°，?? = ?? = 168，
在Rt △ ???中，
??
sin∠??? = ??，
方向，测得：?? = 168米，?? = 80米，点 B 在点 A 的北偏东30°方向上，点 D 在点 E 的北偏东53°方向上．
参考数据
434
sin53° ≈ 5，cs53° ≈ 5，tan53° ≈ 3， 3 ≈ 1.7
??
∴ ?? = sin53° =
168
4
5
= 210，
∴ 步道??的长度为 210 米．
解：在Rt △ ???中，∠??? = ∠??? = 30°，?? = 168，
∴ ?? =
??
sin30°
= 336，?? =
??
tan30°
= 168 3．
在Rt △ ???中，?? = ??
tan53°
= 126，
∴ ?? = ?? + ??−??
= 80 + 168 3−126
= 168 3−46
∴ 围栏长度为：?? + ?? + ?? + ??
= 336 + 80 + 210 + 168 3−46
= 580 + 168 3
≈ 865.6（米）
9．（2026·陕西西安·二模）如图①是我市路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是平面示意图．路灯??
和汽车折臂升降机的折臂底座??都垂直于地面??，且它们之间的水平距离?? = 2.5m，折臂底座高
?? = 1m，上折臂??与下折臂??的夹角∠??? = 90°，下折臂?? = 2.5m，下折臂端点?到地面??的距离是 3m．求路灯??的高．
【答案】路灯??的高为6m．
【分析】过点 P 作?? ⊥ ??于点 H，过点 C 作?? ⊥ ??于点?，由勾股定理可得??，可得??，过点 P 作?? ⊥ ??
于点 G，可得∠??? = ∠???，得tan∠??? = tan∠???，可得?? = 3m，即可得路灯??的高．
【详解】解：过点 P 作?? ⊥ ??于点 H，过点 C 作?? ⊥ ??于点?，如图，
则四边形????是矩形，
∴?? = 1m，?? = ??，
∵?? = 3m，
∴?? = ??−?? = 3−1 = 2(m)
??2−??2
在Rt △ ???中，?? =
=
= 1.5(m)，
2.52−22
∴?? = 1.5m，
∴?? = ?? + ?? = 2.5 + 1.5 = 4(m)，
过点 P 作?? ⊥ ??于点 G，则四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 3m，?? = ?? = 4m，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴tan∠??? = tan∠???，
∴=，即 = 2 ，
??
??
??1.5
????4
∴?? = 3m，
∴?? = ?? + ?? = 3 + 3 = 6(m)．
∴路灯??的高为6m．
10．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图 1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图 2），测得底座高??为2cm，∠??? = 150°，支架??为18cm，面板长??为24cm，??为6cm．（厚度忽略不计）
求支点 C 离桌面 l 的高度；（结果保留根号）
【答案】(1)支点 C 离桌面 l 的高度为(9 3 + 2)cm
(2)当 α 从30°变化到70°的过程中，面板上端 E 离桌面 l 的高度增加，增加了约7.9cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点 C 作?? ⊥ ?于点 F，过点 B 作?? ⊥ ??于点 M，易得四边形????为矩形，那么可得
?? = ?? = 2cm,∠??? = 90°，所以∠??? = 60°，利用60°的三角函数值可得??长，加上??长即为支点 C
离桌面 l 的高度；
当面板??绕点 C 转动时，面板与桌面的夹角 α 满足30° ≤ ? ≤ 70°时，保护视力的效果较好．当?从30°变化到70°的过程中，面板上端 E 离桌面 l 的高度增加还是减少？面板上端 E 离桌面 l 的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70° ≈ 0.94，cs70° ≈ 0.34，tan70° ≈ 2.75）
（2）过点 C 作?? ∥ ?，过点 E 作?? ⊥ ??于点 H，分别得到??与??所成的角为30°和70°时??的值，相减即可得到面板上端 E 离桌面 l 的高度增加或减少了．
【详解】（1）解：过点 C 作?? ⊥ ?于点 F，过点 B 作?? ⊥ ??于点 M，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°．
由题意得：∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∴?? = ?? = 2cm,∠??? = 90°．
∵∠??? = 150°，
∴∠??? = 60°．
∵?? = 18cm，
∴?? = ?? ⋅ sin60° = 18 × 3 = 9 3(cm)．
2
∴?? = ?? + ?? = (9 3 + 2)cm，
答：支点 C 离桌面 l 的高度为(9 3 + 2)cm；
（2）解：过点 C 作?? ∥ ?，过点 E 作?? ⊥ ??于点 H，
∴∠??? = 90°．
∵?? = 24cm,?? = 6cm，
∴?? = 18cm，
当∠??? = 30°时，
1
?? = ?? ⋅ sin30° = 18 × = 9(cm)；
2
当∠??? = 70°时，
?? = ?? ⋅ sin70° ≈ 18 × 0.94 = 16.92(cm)；
∴16.92−9 = 7.92 ≈ 7.9(cm)，
答：当 α 从30°变化到70°的过程中，面板上端 E 离桌面 l 的高度增加，增加了约7.9cm．
11．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂?? = 12cm，中臂?? = 8cm，底座?? = 4cm．
(1)若上臂??与水平面平行，∠??? = 60°，计算点 A 到地面的距离（结果保留根号）；
3
(2)在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图③，计算此时点 A 到地面的距离
2
（精确到0.1cm，
≈ 1.414，
≈ 1.732）．
【答案】(1)(4 3 + 4)cm
(2)3.7cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．
（1）过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为 M，则∠??? = 90∘，证∠??? = 30°，由含角30° 的直角三角形的性质得，即可得出答案；
（2）过点 B 作??垂直于地面，垂足为 G，分别过点 A，C 作??的垂线，垂足分别为 E，F，则四边形????
是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为 M，则∠??? = 90∘，
∵??垂直水平地面，臂??与水平面平行，
∴?,?,?三点共线，
∵ ∠??? = 60°，?? = 8cm，
∴ ∠??? = 30°，
1
∴ ?? = ?? = 4(cm)，?? = 3?? = 4 3(cm)，
2
∴ ?? = ?? + ?? = (4 3 + 4)cm，
即点 A 到地面的距离为(4 3 + 4)cm；
（2）解：如图，过点 B 作??垂直于地面，垂足为 G，分别过点 A，C 作??的垂线，垂足分别为 E，F，则四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 4??；
∵ ∠??? = 135°，∠??? = 105°，
∴ ∠??? = 135°−90° = 45°，∠??? = 45°，∠??? = 105°−45° = 60°，
∴ ?? = ?? = 2?? = 4 2(cm)，?? = ?? × sin∠??? = 12 × 3 = 6 3(cm)，?? = 1?? = 6(cm)，
2
2
2
∴ 点 A 到地面的距离为?? = ?? + ??−?? = 4 2 +4−6 = 4 2−2 cm ≈ 3.7cm．
12．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问 80．（25-26 九年级下·江西·开学考试）图 1 是某越野车的侧面示意图，折线段 ABC 表示车后盖，已知?? = 0.9m，
?? = 0.5m，∠??? = 118°，该车的高度?? = 1.75m．如图 2，打开后备箱，车后盖 ABC 落在??′?′处，??′
与水平面的夹角∠?′?? = 32°．
求打开后备箱后，车后盖最高点?′到地面 l 的距离；
若聪聪爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖?′处经过，有没有碰头的危险？请说明理由（结果精确到
3
0.01m，参考数据：sin32° ≈ 0.530，cs32° ≈ 0.848，tan32° ≈ 0.625，≈ 1.732）
【答案】(1)车后盖最高点?′到地面 l 的距离为2.23m
(2)没有危险，见解析
【分析】（1）作?′? ⊥ ??，垂足为点 E，在Rt △ ??′?中，求出?′?的长，即可得出结果；
（2）过点?′作?′? ⊥ ?′?，垂足为点 F，解Rt △ ?′??′中，求出?′?的长，进而点?′到地面 l 的距离，进行判断即可．
【详解】（1）解：如图，作?′? ⊥ ??，垂足为点 E．
在Rt △ ??′?中，∠?′?? = 32°，??′ = ?? = 0.9m，
∴sin32° = ??′，
∴?′? = ??′sin32° ≈ 0.9 × 0.530 = 0.477(m)，
∴?′? + ?? = 0.477 + 1.75 = 2.227 ≈ 2.23(m)．
?′?
∵平行线间的距离处处相等，
∴车后盖最高点?′到地面 l 的距离为2.23m．
（2）没有危险，理由如下：
如（1）图，过点?′作?′? ⊥ ?′?，垂足为点 F．
∵∠?′?? = 32°，∠?′?? = 90°，
∴∠??′? = 58°．
∵∠??′?′ = ∠??? = 118°，
∴∠?′?′? = ∠??′?′−∠??′? = 60°． 在Rt △ ?′??′中，?′?′ = ?? = 0.5m，
∴?′? = ?′?′cs60° = 0.25(m)．
∵平行线间的距离处处相等，
∴点?′到地面 l 的距离为2.23−0.25 = 1.98(m)．
∵1.98 > 1.83，
∴没有危险．